關(guān)于空間觀念及教學(xué)的思考

□董文彬

空間觀念是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，是小學(xué)階段重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。正因?yàn)槿绱?，空間觀念的培養(yǎng)一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研討的重要話題。筆者認(rèn)為，首先要思考這樣幾個問題：第一，空間觀念的本質(zhì)是什么？特別是對義務(wù)教育階段的兒童來說，他們空間觀念的形成與發(fā)展是教出來的嗎？先天因素與后天養(yǎng)成哪個重要？第二，空間觀念教學(xué)中，我們的數(shù)學(xué)教育能為后天培養(yǎng)起什么作用？如何幫助學(xué)生很好地發(fā)展空間觀念？

一、關(guān)于空間觀念

1.空間觀念的本質(zhì)是什么？空間觀念作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的核心概念，已經(jīng)有很多研究。史寧中教授曾明確指出： “空間觀念是對空間中物體的位置以及位置之間關(guān)系的感性認(rèn)識?！?/p>

關(guān)于空間觀念， 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2011年版）》是這樣界定的： “空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等?！?/p>

在對 “什么是空間觀念”的論述中，出現(xiàn)頻率最高的一個詞語是 “想象”。由此可見，空念觀念的本質(zhì)是空間想象力。這種想象力既包含現(xiàn)實(shí)世界物體到數(shù)學(xué)世界圖形的數(shù)學(xué)化過程的抽象，也包含數(shù)學(xué)化的平面圖形到現(xiàn)實(shí)世界物體的想象。小學(xué)數(shù)學(xué)中的空間觀念還有對空間方位的認(rèn)識，以及想象和判斷物體所在的位置及位置關(guān)系。

2.空間觀念是 “教”出來的嗎？下面以 “北師大版”三年級 （下冊）第二單元 “觀察物體”第二課時(shí)“看一看 （二）”中的一個問題為例 （如下圖）：

淘氣從窗外看到的情景會是下面哪幅圖？說說你的理由。

① ② ③ ④

課始，出示情境圖和問題后，教師提問： “請同學(xué)們先想一想，做出選判斷和選擇。需要時(shí)可與同伴合作，模擬題目中的情景做一做，看看你的選擇對不對？”一位學(xué)生想了半天，自言自語： “我就是想不出來！”這位學(xué)生極不情愿地操作，嘴里嘟噥著：“這回我是選擇出來了，可是有什么意義呢？考試的時(shí)候會讓我模擬操作嗎？”課堂鞏固環(huán)節(jié)，學(xué)生做一道與此題目類似的課后習(xí)題，這位學(xué)生又說： “我還是想不出來！”課后，教師也很沮喪： “想也想了，模擬著做也做了，學(xué)生獨(dú)自解決問題時(shí)還是想象不出來，我也沒辦法了！想象力是學(xué)生天生的，后天沒法培養(yǎng)，空間觀念這東西本身就不是教出來的！”也有的教師一聲嘆息： “空間觀念，想說愛你不容易?！?/p>

空間想象力是先天具備的還是后天習(xí)得的？或者說空間觀念是 “教”出來的嗎？空間觀念既然是一種空間想象力， “想象”這個詞似乎與生俱來，也的確因人而異?？臻g觀念有先天的因素，這種先天因素主要是人的一種直觀想象能力。有些人的直觀想象能力天生要強(qiáng)一些，他們往往能夠直觀洞察到事物的本質(zhì)，他們原初的想象和判斷往往也能夠直接抓住事物的核心，而有些人先天的直觀想象能力則要偏弱一些。我們必須承認(rèn)，學(xué)生的直觀想象能力的確與先天有關(guān)，但也有后天培養(yǎng)的因素。作為教育者，我們要思考的是我們的數(shù)學(xué)教育能為空間觀念的后天培養(yǎng)起什么作用。筆者認(rèn)為，這種作用主要體現(xiàn)在分析思辨、數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)表達(dá)能力。

二、關(guān)于空間觀念的培養(yǎng)及教學(xué)思考

1.空間觀念教學(xué)，應(yīng)當(dāng)全面而深入地認(rèn)識其學(xué)習(xí)載體及階段性發(fā)展區(qū)別。在小學(xué)階段，空間觀念的培養(yǎng)一般是伴隨著對核心概念的本質(zhì)認(rèn)識而呈階段性發(fā)展的。比如，小學(xué)數(shù)學(xué)五年級 （下冊） “展開與折疊”就是借助正方體與展開圖之間對應(yīng)的關(guān)系，完成二維圖形與三維圖形進(jìn)行相互間的轉(zhuǎn)化，以培養(yǎng)空間觀念。而這里空間觀念的發(fā)展是伴隨對正方體這個核心概念，是在對其本質(zhì)特征的再認(rèn)識中進(jìn)行的。再比如，小學(xué)數(shù)學(xué)五年級 （上冊） “軸對稱的再認(rèn)識”就是借助對軸對稱這個核心概念的本質(zhì)認(rèn)識而發(fā)展空間觀念的，而這里空間觀念是在三年級初步認(rèn)識軸對稱的基礎(chǔ)上在第二階段再認(rèn)識中進(jìn)一步發(fā)展的。

正是因?yàn)榭臻g觀念發(fā)展的這種階段性特征，教師只有在教學(xué)前提前思考一些重要的核心問題，才能更好地幫助學(xué)生培養(yǎng)空間觀念。比如，教學(xué)五年級 （上冊） “軸對稱的再認(rèn)識”一課前，教師就需要思考以下問題：

（1）和三年級相比，五年級的軸對稱再認(rèn)識有哪些變化？需要再認(rèn)識些什么？如何進(jìn)行整體把握？

（2）五年級的軸對稱再認(rèn)識，承載的主要教學(xué)目標(biāo)是什么？ （知識目標(biāo)和素養(yǎng)目標(biāo)）

首先，三年級認(rèn)識軸對稱主要是判斷結(jié)果，判斷一個圖形到底是不是軸對稱圖形，這種判斷主要是基于動手操作的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)積累的基礎(chǔ)上進(jìn)行的感性判斷；而五年級認(rèn)識軸對稱除了判斷結(jié)果外，還要探究原因，主要從軸對稱的特征去探究的理性辨析。比如，為什么菱形和正方形是軸對稱圖形，平行四邊形就不是？菱形和正方形都是四邊相等，為什么對稱軸條數(shù)不一樣？其次，三年級對軸對稱圖形主要是初步的整體認(rèn)識，軸兩邊圖形一樣即可 （對折后能完全重合），五年級還需要對軸對稱圖形有細(xì)致觀察，更加注重軸兩邊圖形的點(diǎn)、線、角等構(gòu)成元素的位置關(guān)系。在補(bǔ)全軸對稱圖形的過程中，能用距離、角度等數(shù)學(xué)語言量化和描述軸兩邊的對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)線間的關(guān)系。再次，三年級時(shí)主要是認(rèn)識軸對稱本身的特點(diǎn)，而五年級還需要從運(yùn)動 （翻轉(zhuǎn)）的角度再次認(rèn)識圖形，以及圖形之間的關(guān)聯(lián)。也就是說，相對于三年級時(shí)從靜態(tài)的角度觀察圖形，五年級軸對稱 （包括平移、旋轉(zhuǎn)）的再認(rèn)識學(xué)習(xí)，拓展了觀察圖形的新角度——從動態(tài)的角度觀察、認(rèn)識和深入理解圖形。軸對稱是學(xué)習(xí)的具體載體，除了軸對稱本身的核心本質(zhì)特征要理解外，“核心素養(yǎng)——空間觀念”的培養(yǎng)是這部分內(nèi)容承載的重要目標(biāo)。對軸對稱的認(rèn)識的學(xué)習(xí)，從三年級到五年級，從操作想象到思維想象，從感性認(rèn)識到理性探究，學(xué)生經(jīng)歷了逐次深入的階段，空間觀念的發(fā)展也經(jīng)歷了從建立到深入發(fā)展的階段。然而，這種空間觀念的培養(yǎng)，從感性上看容易，從理性上看卻很困難。因?yàn)閺母行陨峡?，學(xué)生有與生俱來的對圖形結(jié)果的平面視覺和模糊感覺；從理性上看，學(xué)生需要對圖形運(yùn)動過程的空間想象和數(shù)學(xué)語言的精準(zhǔn)表達(dá)，而這些恰恰是需要后天培養(yǎng)的。在教學(xué)中，教師只有全面而深入地認(rèn)識了空間觀念的學(xué)習(xí)載體和階段性發(fā)展的區(qū)別，才能更好地培養(yǎng)空間觀念。

2.空間觀念教學(xué)，應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中積累想象的經(jīng)驗(yàn)，逐步發(fā)展高階思維。比如 “展開與折疊”一課，認(rèn)識長方體與正方體的展開圖，是小學(xué)階段促進(jìn)學(xué)生空間觀念發(fā)展的一項(xiàng)重要內(nèi)容。但是三維圖形與二維圖形之間的互相轉(zhuǎn)化，對于學(xué)生的空間想象能力要求較高，并不是教師給了學(xué)生想象的時(shí)間，學(xué)生就能想象出來的。需要教師將想象的過程進(jìn)行分解，分層遞進(jìn)，幫助學(xué)生在活動中積累想象的經(jīng)驗(yàn)，逐步發(fā)展空間觀念。例如，通過操作展開圖在立體與平面的轉(zhuǎn)換過程中建立表象，從而實(shí)現(xiàn)在不操作的前提下去想象動態(tài)折疊的樣子形成想象的經(jīng)驗(yàn)，再通過表達(dá)來解釋自己想象的結(jié)果，從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

另外，在教學(xué)中教師要特別注意在培養(yǎng)學(xué)生的高階思維中發(fā)展空間觀念。空間想象力就是一種高階思維，從操作表征到思維表征是學(xué)生空間想象力發(fā)展的一般途徑，但教師切忌在教學(xué)中不要一上來就進(jìn)入動手操作，相比于想象、思辨、推理，動手操作是一種低階思維，如果用這種操作性的低階思維代替了想象的高階思維，學(xué)生空間觀念的建立和發(fā)展必然大打折扣。如前文提到的 “觀察物體”的學(xué)習(xí)活動，不是以“我”為基準(zhǔn)，而是以 “他”為基準(zhǔn)判斷方位或者位置關(guān)系。在教學(xué)中，教師更應(yīng)注重讓學(xué)生先想象觀察、猜想思辨、合情推理，必要時(shí)再通過模擬場景、動手操作等對之前的高階思維結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，以在有條理的數(shù)學(xué)思考中發(fā)展空間觀念。

3.空間觀念教學(xué)，應(yīng)當(dāng)基于學(xué)情，注重進(jìn)行充滿智慧與挑戰(zhàn)的有價(jià)值的學(xué)習(xí)活動設(shè)計(jì)?？臻g觀念的培養(yǎng)，需要教師基于學(xué)情設(shè)計(jì)有價(jià)值的學(xué)習(xí)活動，這種學(xué)習(xí)活動應(yīng)該是充滿智慧與挑戰(zhàn)的，是一個讓學(xué)生的學(xué)習(xí)獲得從 “有”到 “更有”的過程。下面以 “軸對稱的再認(rèn)識 （二）”教學(xué)為例，簡析之。

教學(xué)前，對兩個班的80名學(xué)生進(jìn)行了前測，前測結(jié)果發(fā)現(xiàn)98%的學(xué)生對于教材 “問題串”中的三個題目都能畫對。而在絕大多數(shù)學(xué)生學(xué)前已經(jīng) “會”了的前提下，這節(jié)課該學(xué)什么？對于那些表面會畫但實(shí)際對問題一知半解的學(xué)生，如何達(dá)到對軸對稱圖形本質(zhì)的深入理解？對于那些已經(jīng)真正理解了問題本質(zhì)的學(xué)生，如何創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突發(fā)展他們的高階思維，進(jìn)而發(fā)展空間觀念？于是教師在教學(xué)中，整合教材資源，改編 “問題串”，重新設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動。

活動一：這是一個軸對稱小房子的一半，你能想象出整個房子的樣子嗎？能畫出來嗎？

（生先想象，用手比畫，片刻，在學(xué)習(xí)單上畫）展示學(xué)生作品1：

師：看了這幅圖，你有什么感受？

生1：他畫得不對。

師：怎么判斷他畫得不對？

生1：對稱軸左右兩邊的圖形必須完全一樣，他畫得不一樣。

生2：房子下面最左邊一點(diǎn)到對稱軸有2格，而最右邊一點(diǎn)到對稱軸有3格，格數(shù)不同，所以錯了。

生3：按照他畫的房子，沿著虛線 （對稱軸）想象翻折后，兩邊的圖形不能完全重合。

師：那我們一起想象著折一折，如果把虛線左邊的圖形對折到右邊，右邊的圖形會是什么樣？

（生上前邊說邊畫出虛線右邊的圖形，如下）

師：反過來，如果把虛線右邊的圖形翻折到左邊，左邊的圖形又會是什么樣呢？

（生上前邊說邊畫出虛線左邊的圖形，如下）

展示學(xué)生作品2：

生1：感覺這個畫對了。

師：除了感覺外，你怎么知道他畫的是對的？

生1：沿著對稱軸想象對折后，兩邊的圖形能完全重合。

生2：將對稱軸兩邊圖形上的線逐一對應(yīng)比較，它們到對稱軸的格數(shù)一樣。

生3：也可以先找原來圖形上的點(diǎn)，再找和這些點(diǎn)的對稱點(diǎn)，注意格數(shù)得一樣。

師：原來一半的小房子上有很多點(diǎn)，是每個點(diǎn)都要數(shù)嗎？

生3：不用，只要找一些特殊的點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)就行了。

師：哪些點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn)？

（生上前指，畫出原圖形上每條線段的端點(diǎn)，共5個點(diǎn)，如下）

師：然后怎樣找到它們的對應(yīng)點(diǎn)呢？比如小房子房檐最左邊這個點(diǎn)A的對稱點(diǎn)怎么找？

（生上前，根據(jù)A點(diǎn)到對稱軸是3格，沿對稱軸垂直方向向右數(shù)出3格，畫出對稱點(diǎn)A＇，如下）

師：那其他點(diǎn)的對稱點(diǎn)又各自在哪，怎么找呢？

（生上前，根據(jù)各點(diǎn)到對稱軸的格數(shù)分別畫出相應(yīng)的對稱點(diǎn)）

生3：再把這些點(diǎn)的對稱點(diǎn)依次連線畫出來就行了 （如下）。

（總結(jié)方法：確定點(diǎn)——到對稱軸距離相等——對稱點(diǎn)→連線）

從上面的教學(xué)片段可以看出，教師讓學(xué)生先想后畫，這個過程及效果完全不能等同于讓學(xué)生上來就機(jī)械地直接畫。然后，再借助典型錯例，初步對軸對稱的特點(diǎn)進(jìn)行審視，引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中想象著從左到右、從右到左對圖形進(jìn)行翻折運(yùn)動，這個過程就是幫助學(xué)生建立和培養(yǎng)空間觀念的過程。最后，通過生生交流，對形狀、距離這些圖形元素逐漸明晰，啟發(fā)學(xué)生知其然也知其所以然。

活動二：數(shù)字 “9”的軸對稱圖形可能是什么樣？

師：軸對稱圖形在我們身邊非常常見，也很有意思。比如，“上”的軸對稱圖形是——

生 （眾）：下。

師：“2”的軸對稱圖形是——

生 （眾）： 5。

師：“9”的軸對稱圖形是——

生 （眾）： 6。

生1：不對，是反著的 “6”。

生2： 是反著的 “9”。

師：剛才大家還異口同聲說是 “6”，怎么想法又變了呢？數(shù)字 “9”的軸對稱圖形到底是什么樣呢？

（生想象片刻，在學(xué)習(xí)單上畫）

展示學(xué)生作品1：

師：按照他畫的結(jié)果，想象一下，原來的“9”在哪呢？

生1：左邊，哦……不對。

生2：上邊。

生3：下邊。

生4：上邊、下邊都有可能。

師揭曉結(jié)果 （如下）：

生5：哦，原來的 “9”在上邊。

在作品1的基礎(chǔ)上，同時(shí)再展示學(xué)生作品2、3：

師：后兩種畫法行嗎？

生6：行。

師：同樣，這三種畫法都是原來的 “9”在上邊，有什么不一樣呢？

生6：對稱軸的位置不同。

（生上前補(bǔ)畫出每幅圖的對稱軸，如下）

展示學(xué)生作品4：

師：再想象一下，原來的 “9”在哪？

生1：左邊。

生2：右邊。

生3：左邊、右邊都可能。

師揭曉結(jié)果 （如下圖）：

師：“9”的軸對稱圖形還有可能是別的樣子嗎？

生1：我想到還有可能對稱軸是斜著的情況。

生2：同意，對稱軸斜著畫的情況也可以。

師：你們太厲害了，連對稱軸斜著的情況都想到了，課后可以試著畫畫這種情況。

這個學(xué)習(xí)活動的設(shè)計(jì)是讓學(xué)生先想象，再交流，然后才是操作，操作不再是機(jī)械的，而是對 “軸對稱”數(shù)學(xué)概念的再反思。這個開放的問題能引起學(xué)生對 “軸”的重視 （第一個活動無法達(dá)到這個效果），激發(fā)學(xué)生的多角度數(shù)學(xué)思考與空間想象，讓學(xué)生在思維的開闊性中提煉畫法，理解數(shù)學(xué)的核心本質(zhì)，進(jìn)而發(fā)展空間觀念。

活動三：以虛線為對稱軸，試著畫出這個圖形的軸對稱圖形。

師：以虛線為對稱軸，你能想象出這個圖形的軸對稱圖形嗎？試著畫一畫。

（生想象，在學(xué)習(xí)單上畫）

展示學(xué)生作品1：

生1：我是這樣畫的，圖形上面最左邊一點(diǎn)到對稱軸是3格，沿對稱軸向右數(shù)出3格，找到它的對稱點(diǎn)，圖形下面最左邊的點(diǎn)到對稱軸也是3格，沿對稱軸向右也數(shù)出3格，這樣就找到它的對稱點(diǎn)，然后按照原來的圖形，把對稱點(diǎn)連線就畫出來了。

生2：他畫錯了。它畫完后整個圖形是個平行四邊形，而我們知道，平行四邊形不是軸對稱圖形。

師：還有其他方法嗎？知道他畫錯了？

生3：對稱軸是斜的，不能看成豎直的直接畫。

生4：想象著沿虛線對折一下，兩邊的圖形不能完全重合。

師：哦，那我們一起在頭腦中想象著沿虛線對折一下，完全重合了嗎？

生 （眾）：沒有。

師：那么這個圖形的軸對稱圖形到底應(yīng)該是什么樣呢？

生5：問題出在了對稱軸的方向上，只要把紙轉(zhuǎn)一下，讓對稱軸變成豎直方向就好畫了。圖形最上邊一點(diǎn)到對稱軸是1.5個格，它的對稱點(diǎn)在虛線右邊也應(yīng)該是1.5個格。同樣，圖形最下邊的點(diǎn)到對稱軸也是1.5個格，它的對稱點(diǎn)在虛線右邊還是1.5個格。只不過這里的1格是以小方格的對角線長為標(biāo)準(zhǔn)的（如下）。

師：換個角度觀察可幫助我們想象、思考和解決問題。如果不轉(zhuǎn)紙，有辦法解決嗎？

生6：我是邊想象著翻折邊畫的，把圖形沿對稱軸翻折過去，最上面這個點(diǎn)是在對稱軸往左3格，它的對稱點(diǎn)應(yīng)該從對稱軸向上也畫3格，同樣最下面這點(diǎn)的對稱點(diǎn)也是這樣找到，然后按照原圖形的樣子把對稱點(diǎn)依次連線，再想著對折驗(yàn)證一下，看對稱軸兩邊的圖形能否完全重合。

生7：我是這樣想的，圖形最上面這條線和對稱軸的夾角是45°，它對稱過去的線也應(yīng)該和對稱軸的夾角是45°，所以讓這條邊繞著軸上這個點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2個45°就得到對稱后的新邊，也就是向上畫3格的長度，最下面這條線對稱過去也同樣這樣畫，兩條對稱的線都畫出來后，再把這兩點(diǎn)連接起來就可以了（如下左圖）。而之前那種畫法它對稱過去那條線和對稱軸的夾角是135°了，45°和135°不對稱，所以畫錯了 （如下右圖）。

生8：我是先找原圖形上的關(guān)鍵點(diǎn)，然后沿著與對稱軸垂直的方向畫垂直線段，這點(diǎn)到對稱軸是1格半，垂直過去它的對稱點(diǎn)到對稱軸也應(yīng)該是1格半，下面這點(diǎn)的對稱點(diǎn)也是這樣畫，再把對稱點(diǎn)順次連接起來 （如下）。

這個學(xué)習(xí)活動的設(shè)計(jì)是聚焦平行四邊形，對稱軸也不是水平或豎直的軸。此活動環(huán)節(jié)聚焦學(xué)生的問題，在認(rèn)知沖突中再次明晰軸對稱的本質(zhì)特征。學(xué)生在矛盾爭辯的過程中，對軸對稱的本質(zhì)特征有了更深一層的認(rèn)識，甚至有學(xué)生提到了要關(guān)注線和軸的角度，對圖形的構(gòu)成元素以及元素之間位置關(guān)系對稱性的關(guān)注，這些正是空間觀念發(fā)展和培養(yǎng)的重要部分。

綜上所述，空間觀念的培養(yǎng)不是一件容易的事，也不是一蹴而就的事，又是一件非常重要的事。而無論是對空間觀念的審視，還是對空間觀念教學(xué)的思考，我們都要認(rèn)識到 “想象”對學(xué)生的重要性。我們在 “圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)，要基于學(xué)生情況、學(xué)習(xí)內(nèi)容，多思考、多實(shí)踐，思行相伴，設(shè)計(jì)有價(jià)值的學(xué)習(xí)活動，處理好低階思維與高階思維的關(guān)系，幫助學(xué)生更多地積累有關(guān)想象的思維活動經(jīng)驗(yàn)，以促進(jìn)學(xué)生空間想象力的建立和發(fā)展，最終指向空間觀念這一核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。