基于Simulink輪邊二級(jí)減速系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析

路新惠

（河南工業(yè)貿(mào)易職業(yè)學(xué)院 機(jī)電工程系，河南 鄭州 451191）

1 引言

輪邊行星減速系統(tǒng)是動(dòng)力傳遞減速增扭的重要環(huán)節(jié)，其安裝使用，使礦用自卸車后橋更加緊湊，減小其尺寸，提高車輛的通過(guò)性能和整車的裝備質(zhì)量，應(yīng)用越來(lái)越普遍[1]。目前，對(duì)齒輪傳動(dòng)所用的靜態(tài)設(shè)計(jì)方法逐漸不能適應(yīng)運(yùn)行的要求，因而必須采用現(xiàn)代的分析方法和手段。對(duì)輪邊減速系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性研究，重要是建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型和分析方程。對(duì)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的研究，研究人員多采用純扭轉(zhuǎn)模型進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[2]采用純扭轉(zhuǎn)建模與平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)建模，通過(guò)二者的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)前者的優(yōu)勢(shì)更為明顯；文獻(xiàn)[3]對(duì)輪邊減速系統(tǒng)進(jìn)行純扭轉(zhuǎn)模型建模，并對(duì)齒面動(dòng)載荷進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)[4]建立封閉行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析模型，采用數(shù)值解析法多系統(tǒng)在不同激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[5]在純扭轉(zhuǎn)模型建模基礎(chǔ)上，對(duì)模型改進(jìn)，研究了系統(tǒng)的固有特性。

以電動(dòng)輪礦用自卸車二級(jí)輪邊減速器為研究對(duì)象，建立二級(jí)減速系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型和方程。首先對(duì)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的非線性因素進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，進(jìn)而運(yùn)用集中質(zhì)量法建立了純扭轉(zhuǎn)非線性動(dòng)力學(xué)模型，并在推導(dǎo)了構(gòu)件相對(duì)位移的基礎(chǔ)上，運(yùn)用牛頓力學(xué)方程得到運(yùn)動(dòng)微分方程?；赟imulink軟件建立了二級(jí)減速系統(tǒng)模型，模型中包括了扭矩、剛度、阻尼、位移和誤差模塊。在模型的基礎(chǔ)上，分析了負(fù)載扭矩、時(shí)變嚙合剛度、阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。

2 二級(jí)系統(tǒng)非線性模型和方程

2.1 動(dòng)力學(xué)模型

所研究的電動(dòng)輪礦用自卸車其路邊減速系統(tǒng)為二級(jí)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)模型，如圖1所示。系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示。

圖1 二級(jí)輪邊減速系統(tǒng)Fig.1 Secondary Wheel Gear System

圖2 二級(jí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Dynamic Model

圖中：θas、θap、θac、θar—太陽(yáng)輪、行星輪、行星架、內(nèi)齒圈的扭轉(zhuǎn)角位移；xas、xap、xac、xar—太陽(yáng)輪、行星輪、行星架、內(nèi)齒圈的扭轉(zhuǎn)線位移分別，其值為扭轉(zhuǎn)角位移與標(biāo)準(zhǔn)安裝下基圓半徑之積；ras、rap、rar—太陽(yáng)輪、行星輪、內(nèi)齒圈的基圓半徑；rac—行星架半徑，其值為太陽(yáng)輪與行星輪的節(jié)圓半徑之和，標(biāo)準(zhǔn)安裝下亦即太陽(yáng)輪與行星輪的分度圓半徑之和；kasp、casp、basp、easp—太陽(yáng)輪與行星輪組成的外嚙合副的嚙合剛度、嚙合阻尼系數(shù)、齒側(cè)間隙、綜合嚙合誤差；karp、carp、barp、ersp—行星輪與內(nèi)齒圈組成的內(nèi)嚙合副的嚙合剛度、嚙合阻尼系數(shù)、齒側(cè)間隙、綜合嚙合誤差。

嚙合阻尼系數(shù)的計(jì)算，如式（1）所示。

式中：ζ1、ζ2—外、內(nèi)嚙合副相對(duì)阻尼比；ms、mp、mr—太陽(yáng)輪、行星輪、內(nèi)齒圈的質(zhì)量，kg。

2.2 構(gòu)件相對(duì)位移

齒輪結(jié)構(gòu)在嚙合線上的相對(duì)位移，是組成單元在此方向的線位移的代數(shù)和，是準(zhǔn)確建模的基礎(chǔ)[6]，根據(jù)圖2獲得各組成單元的相對(duì)位移為：

（1）第一級(jí)太陽(yáng)輪sa1與第一級(jí)行星輪pa1沿嚙合線方向的相對(duì)位移

（2）第一級(jí)行星輪pa1與第一級(jí)內(nèi)齒圈ra1沿嚙合線方向的相對(duì)位移：

（3）第二級(jí)太陽(yáng)輪sa2與第二級(jí)行星輪pa2沿嚙合線方向的相對(duì)位移

（4）第二級(jí)行星輪pa2與第二級(jí)內(nèi)齒圈ra2沿嚙合線方向的相對(duì)位移：

2.3 運(yùn)動(dòng)微分方程

采用牛頓力學(xué)方法建立系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)非線性運(yùn)動(dòng)微分方程。對(duì)于二級(jí)輪邊減速行星傳動(dòng)系統(tǒng)，規(guī)定輸入轉(zhuǎn)矩作用下各個(gè)構(gòu)件產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)楦髯越俏灰葡鄳?yīng)的正方向，取θas、θap、θac、ar為廣義角坐標(biāo)。動(dòng)力從第一級(jí)行星傳動(dòng)太陽(yáng)輪輸入，系統(tǒng)的第一個(gè)嚙合副即為第一級(jí)太陽(yáng)輪與第一級(jí)行星輪嚙合副。方程輸入扭矩為電機(jī)輸出扭矩Ts，通過(guò)第一級(jí)太陽(yáng)輪與第一級(jí)行星輪嚙合副輸出扭矩，另一部分克服第一級(jí)太陽(yáng)輪慣性力。由于系統(tǒng)采用齒輪綜合時(shí)變剛度所以嚙合變形的定義也隨之變化，xasp1第一級(jí)太陽(yáng)輪與第一級(jí)行星輪嚙合變形在齒輪分度圓切向的分量，也就是第一級(jí)太陽(yáng)輪與第一級(jí)行星輪嚙合點(diǎn)的線位移之差，故，第一個(gè)齒輪嚙合副的受力平衡方程為：

系統(tǒng)第二個(gè)齒輪嚙合副受到第一級(jí)太陽(yáng)輪的嚙合力輸入，通過(guò)第一級(jí)行星輪與第一級(jí)內(nèi)齒圈嚙合副輸出，同時(shí)通過(guò)第一級(jí)行星架輸出扭矩到第二級(jí)行星傳動(dòng)，另一部分克服第一級(jí)行星輪慣性力：

系統(tǒng)第三個(gè)齒輪嚙合副為第二級(jí)太陽(yáng)輪與第二級(jí)行星輪嚙合副，此嚙合副受到第一級(jí)太陽(yáng)輪的嚙合力、第一級(jí)內(nèi)齒圈嚙合力共同通過(guò)第一級(jí)行星輪經(jīng)第一級(jí)行星架輸入第二級(jí)太陽(yáng)輪。這一部分輸入經(jīng)過(guò)第二級(jí)太陽(yáng)輪與第二級(jí)行星輪嚙合副輸出嚙合力至第二級(jí)行星輪，另一部分克服第二級(jí)太陽(yáng)輪慣性力和第一級(jí)行星架慣性力[7]。

依次類推，系統(tǒng)第四個(gè)齒輪嚙合副方程為：

系統(tǒng)第五個(gè)齒輪嚙合副方程為：

式中：Jas1、Jas2—二級(jí)輪邊減速器第一、二級(jí)太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2；

Jap1、Jap2—二級(jí)輪邊減速器第一、二級(jí)行星輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2；

Jac1—二級(jí)輪邊減速器第一級(jí)行星架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2；

Jar12—二級(jí)輪邊減速器第一、二級(jí)內(nèi)齒圈及連接件等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2；θar12—二級(jí)輪邊減速器第一、二級(jí)內(nèi)齒圈及連接件等效扭轉(zhuǎn)角位移；Tas—二級(jí)輪邊減速器輸入轉(zhuǎn)矩，根據(jù)具體工況由電機(jī)輸入，N．m；Tar—二級(jí)輪邊減速器負(fù)載轉(zhuǎn)矩，由車輛行駛阻力計(jì)算得出，N．m。

綜合式（6）～式（9），建立二級(jí)輪邊減速行星齒輪系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。

2.4 方程無(wú)量綱化

定義無(wú)量綱時(shí)間自變量τ和無(wú)量綱激勵(lì)頻率Ω分別為τ=ωant、Ω==ωa/ωan。其中，ωan=（kmasp1/meq1）0．5，meq1=mas1map1/（mas1+map1），kmasp1為第一級(jí)太陽(yáng)輪與行星輪外嚙合副剛度均值，ωa為二級(jí)輪邊減速系統(tǒng)激勵(lì)頻率。

則式（6）～式（9）可以改寫為無(wú)量綱方程。

3 基于Simulink系統(tǒng)模型

根據(jù)數(shù)學(xué)模型所建立的二級(jí)輪邊減速器Simulink模型，如圖3所示。該模型各有4個(gè)矩陣模塊、剛度模塊、阻尼模塊、位移模塊和誤差分析模塊。根據(jù)建立的Simulink模型，采用solidworks軟件建立了減速器的三維模型。二級(jí)輪邊減速器主要結(jié)構(gòu)三維，如圖4所示。

圖3 系統(tǒng)Simulink模型Fig．3 Simulink Model of the System

圖4 系統(tǒng)三位模型Fig．4 3D Model of the System

4 參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響

4.1 負(fù)載扭矩的影響

根據(jù)實(shí)際運(yùn)行中常用工作狀況，滿載爬坡、滿載水平路面、空載運(yùn)輸?shù)热N運(yùn)行狀態(tài)，分別取3km/h、25km/h、35 km/h三種情況研究負(fù)載扭矩對(duì)二級(jí)級(jí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。二級(jí)系統(tǒng)3 km/h時(shí)輸出扭矩1318758N．m，輸入扭矩即電機(jī)輸出扭矩26323N．m；25km/h 時(shí)輸出扭矩 158251N．m，輸入扭矩 3158．7N．m；35 km/h 時(shí)輸出扭矩 113036N．m，輸入扭矩 2256．2N．m；此時(shí)無(wú)量綱間隙 b=2，剛度波動(dòng)系數(shù)為 0．2，阻尼系數(shù)為 0．03，誤差幅值為2[8]。

試驗(yàn)表明，對(duì)于第一級(jí)太陽(yáng)輪與行星輪嚙合副而言，無(wú)量綱間隙從1增大3時(shí)，幅值隨之減少，而且振動(dòng)特性變化比較明顯；對(duì)于第一級(jí)行星輪與內(nèi)齒圈嚙合副而言，隨著無(wú)量綱間隙的增大，嚙合副振動(dòng)的無(wú)量綱幅值先減少后增大，振動(dòng)特性幅值變化明顯；對(duì)于第二級(jí)太陽(yáng)輪與行星輪嚙合副而言，無(wú)量綱間隙的增大，嚙合副的幅值隨著減少，無(wú)量綱幅值越大，嚙合副在低頻區(qū)振動(dòng)情況越復(fù)雜；對(duì)于第二級(jí)行星輪與內(nèi)齒圈而言，隨著無(wú)量綱間隙的增大，嚙合副幅值隨之減少，而且當(dāng)無(wú)量綱的幅值較大時(shí)，振動(dòng)情況越復(fù)雜。

綜合可知，齒側(cè)間隙存在使系統(tǒng)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象等典型非線性特征。當(dāng)車輛負(fù)載較小時(shí)，其為影響系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的主要因素；而載荷較小時(shí)，其的影響很小。

4.2 時(shí)變嚙合剛度的影響

由于齒輪副剛度隨嚙合位置的變化近似呈拋物線形式，取剛度波動(dòng)系數(shù)分別為 0．1、0．2、0．3 三種情況研究時(shí)變嚙合剛度的影響，此時(shí)車速25km/h輸出扭矩158251N·m，輸入扭矩3158．7N·m，無(wú)量綱間隙b=2，阻尼系數(shù)0．03，誤差幅值為2。

試驗(yàn)表明，對(duì)于第一級(jí)太陽(yáng)輪與行星輪嚙合副而言，剛度波動(dòng)系數(shù)從0．1增加到0．2時(shí)，無(wú)量綱幅值隨之增加，而且振動(dòng)跳躍現(xiàn)象更明顯復(fù)雜，剛度波動(dòng)系數(shù)從0．2增加到0．3時(shí)，無(wú)量綱幅值隨之減少，振動(dòng)跳躍現(xiàn)象變化不明顯；對(duì)于第一級(jí)行星輪與內(nèi)齒圈嚙合副而言，無(wú)量綱幅值隨著剛度波動(dòng)系數(shù)的增大，呈現(xiàn)一個(gè)先增加后減少的趨勢(shì)，振動(dòng)跳躍現(xiàn)象隨之復(fù)雜并趨于不變；對(duì)于第二級(jí)來(lái)說(shuō)均與第一級(jí)變化類似。綜合可知，在系統(tǒng)存在齒側(cè)間隙的情況下，系統(tǒng)均出現(xiàn)了跳躍的現(xiàn)象，說(shuō)明嚙合剛度不能改變系統(tǒng)的沖擊特性。

4.3 阻尼系數(shù)的影響

對(duì)于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)而言，在國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)單位制下，阻尼比在（10-4～10-1）之間，根據(jù)實(shí)際潤(rùn)滑方式，這里取阻尼系數(shù)ζ=0．01、0．03、0．05三種情況研究阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響[10]。此時(shí)車速25km/h輸出扭矩158251N．m，輸入扭矩即電機(jī)輸出扭矩3158．7N．m，無(wú)量綱間隙 b=2，剛度波動(dòng)系數(shù) μ=0．2，誤差幅值為 2。

試驗(yàn)表明，對(duì)于第一級(jí)太陽(yáng)輪與行星輪嚙合副而言，阻尼系數(shù)從0．01增加到0．03時(shí)，無(wú)量綱幅值隨之減少，且減少幅值較大，阻尼系數(shù)從0．03增加到0．05時(shí)，無(wú)量綱幅值減少的節(jié)奏較慢，變化不明顯，而且振動(dòng)特性情況變化不大；對(duì)于第一級(jí)行星輪與內(nèi)齒圈嚙合副而言，隨著阻尼系數(shù)的增大，齒輪副傳動(dòng)的無(wú)量綱幅值逐漸減少；對(duì)于第二級(jí)太陽(yáng)輪與行星輪嚙合副而言，阻尼系數(shù)從0．01增加到 0．03，從 0．03 增加到 0．05 時(shí)，明顯觀察出，無(wú)量綱幅值逐漸減少；對(duì)于第二級(jí)行星輪與內(nèi)齒圈嚙合副而言，隨著阻尼系數(shù)的增大，無(wú)量綱幅值隨之減少，振動(dòng)跳躍現(xiàn)象趨于平穩(wěn)。

5 實(shí)驗(yàn)分析

在某款安裝有二級(jí)行星減速器的車輛進(jìn)行實(shí)測(cè)，根據(jù)實(shí)際運(yùn)行中常用工作狀況，滿載工況，車速為20km/h的各級(jí)齒輪嚙合變形，車速在不同工況下變化時(shí)，一級(jí)太陽(yáng)輪-行星輪嚙合變形。當(dāng)車速為20km/h，驅(qū)動(dòng)電機(jī)1800轉(zhuǎn)/分時(shí)，各級(jí)齒輪嚙合變形。

圖5 行星傳動(dòng)嚙合變形Fig.5 Meshing Deformation of Planetary Transmission

一級(jí)太陽(yáng)輪—行星輪嚙合變形，一級(jí)行星輪—內(nèi)齒圈嚙合變形如下圖，嚙合頻率784Hz。二級(jí)太陽(yáng)輪—行星輪嚙合變形，二級(jí)行星輪—內(nèi)齒圈嚙合變形如下圖，嚙合頻率228Hz。

由圖可知，輪邊減速器在輸入轉(zhuǎn)速1800轉(zhuǎn)/分工況下穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，輸入和負(fù)載基本不發(fā)生變化，齒輪嚙合變形大小由齒輪傳遞的力矩決定，符合輪邊減速器傳動(dòng)比規(guī)律。齒輪嚙合形變?cè)?e-4mm的振幅內(nèi)波動(dòng)，波形與齒輪嚙合綜合時(shí)變剛度波形有很強(qiáng)的相似性。但一級(jí)太陽(yáng)輪高速輸入端的一級(jí)太陽(yáng)輪—行星輪嚙合副嚙合變形受電機(jī)輸入影響為主要因素，只有這一對(duì)齒輪的嚙合變形出現(xiàn)負(fù)值，表明在勻速工況下只有輸入齒輪會(huì)發(fā)生嚙合—分離現(xiàn)象?？梢酝茢嘣诙嗉?jí)行星傳動(dòng)穩(wěn)定地勻速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，其中的齒輪副嚙合變形大小由它傳遞的力矩決定，受齒輪嚙合時(shí)變剛度影響在穩(wěn)定值周圍波動(dòng)。

當(dāng)轉(zhuǎn)速為1000r/m、1500r/m、2000r/m時(shí)，嚙合頻率分別為436Hz、653Hz、871Hz時(shí)，一級(jí)太陽(yáng)輪—行星輪嚙合變形。

圖6 一級(jí)太陽(yáng)輪-行星輪嚙合變形Fig.6 Meshing Deformation of a Solar Wheel and a Planetary Wheel

由圖可知，齒輪同一個(gè)嚙合副，由于驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速增加，齒輪嚙合頻率增大，齒輪綜合時(shí)變剛度變化加快，則齒輪嚙合變形波形變化也更加明顯，當(dāng)齒輪嚙合頻率較大時(shí)，齒輪嚙合變形在較短的時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)于剛度變化相似的波形。當(dāng)齒輪嚙合頻率降低時(shí)，齒輪嚙合綜合剛度變化較慢，使得齒輪嚙合變形的波動(dòng)也隨之減小。

6 結(jié)論

針對(duì)礦用自卸車二級(jí)輪邊減速器，建立二級(jí)行星齒輪系統(tǒng)的非線性純扭轉(zhuǎn)模型，基于運(yùn)動(dòng)微分方程搭建二級(jí)減速系統(tǒng)Simulink模型。分析了齒輪副的齒側(cè)間隙、時(shí)變嚙合剛度和綜合嚙合誤差等對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性影響變化規(guī)律，并通過(guò)試驗(yàn)對(duì)仿真分析進(jìn)行了驗(yàn)證。通過(guò)分析可知：（1）齒側(cè)間隙的存在使系統(tǒng)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象等典型非線性特征；當(dāng)系統(tǒng)的負(fù)載較小時(shí)，其是影響系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的主要因素，隨負(fù)載的增加，其影響逐漸減小。（2）在系統(tǒng)存在齒側(cè)間隙的情況下，系統(tǒng)均出現(xiàn)了跳躍的現(xiàn)象，說(shuō)明嚙合剛度不能改變系統(tǒng)的沖擊特性。（3）系統(tǒng)的阻尼系數(shù)增加，會(huì)伴隨著齒輪副穿傳動(dòng)誤差的幅值逐漸減小，當(dāng)前者達(dá)到一定的數(shù)值時(shí)，后者的誤差幅值的跳躍現(xiàn)象將會(huì)消失。（4）試驗(yàn)分析可知，仿真分析結(jié)果的可靠性，二者變化趨勢(shì)一致，仿真結(jié)果可作為優(yōu)化設(shè)計(jì)的參考依據(jù)。

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