具有柔性內(nèi)齒圈的行星齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析

王立新，吳雙馬，劉軍輝，陳林凱

（鄭州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

由于行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)具有體積小、重量輕、可以實(shí)現(xiàn)分路傳動(dòng)、較大的傳動(dòng)比、效率高等優(yōu)點(diǎn)[1]，所以行星齒輪傳動(dòng)得到了廣泛的應(yīng)用。在實(shí)踐中，振動(dòng)和噪聲一直是行星齒輪系統(tǒng)比較突出的問題，由于動(dòng)態(tài)特性分析是分析振動(dòng)和噪聲的基礎(chǔ)，所以行星齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性分析是大家關(guān)注的焦點(diǎn)。

研究行星齒輪的多數(shù)文獻(xiàn)[2-3]都將行星齒輪系統(tǒng)的構(gòu)件視為剛體，但是隨著行星齒輪系統(tǒng)的高速化和輕量化，系統(tǒng)構(gòu)件的變形會(huì)不斷增大，尤其是作為薄壁結(jié)構(gòu)的內(nèi)齒圈，如果繼續(xù)將其視為剛性，模型誤差會(huì)比較大。

行星齒輪系統(tǒng)柔性構(gòu)件的處理方法分為兩種：（1）剛體有限元法[4-5]是將柔性構(gòu)件分解為有限個(gè)剛體微段，段與段之間用虛擬的彈簧進(jìn)行連接，彈簧的等效剛度用有限元軟件分析出來。模型求解相對簡單，但是精度不足。（2）柔性法是將構(gòu)件完全柔性化，用經(jīng)典彈性力學(xué)的知識分析構(gòu)件，用微單元來處理柔性構(gòu)件。但是如果將行星齒輪系統(tǒng)構(gòu)件全部柔性化，會(huì)使得行星齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程異常復(fù)雜，難以求解。因此，將剛性模型和柔性模型[6-7]結(jié)合起來，僅考慮變形較大的內(nèi)齒圈為柔性，其他構(gòu)件為剛性，這樣處理可以使得運(yùn)動(dòng)微分方程相對來說比較簡單，也比較符合實(shí)際情況。純扭轉(zhuǎn)模型考慮因素比較簡單，只考慮周向轉(zhuǎn)動(dòng)，方程比較簡單，求解比較節(jié)省時(shí)間，在剛性模型中，常用來預(yù)測系統(tǒng)的固有頻率[2，8]。但是，目前未見到文獻(xiàn)使用剛?cè)狁詈霞兣まD(zhuǎn)模型分析系統(tǒng)的固有特性，所以加以探索。

2 模型的建立

建立具有N個(gè)行星輪的直齒行星傳動(dòng)系統(tǒng)的剛?cè)狁詈夏Ｐ?，如圖1所示。假設(shè)為平面機(jī)構(gòu)，內(nèi)齒圈為柔體，其他構(gòu)件為剛體，太陽輪、行星架和行星輪均有1個(gè)周向自由度。齒輪間的嚙合簡化為彈簧系統(tǒng)，嚙合力作用在齒輪的嚙合線上，行星輪均布，潤滑良好，忽略摩擦力、阻尼、陀螺效應(yīng)等因素的影響。

圖1 行星齒輪系統(tǒng)的剛?cè)狁詈夏Ｐ虵ig.1 The Rigid Flexibility Hybrid Model of the Planetary Gear System

取逆時(shí)針方向?yàn)檎?，下?biāo)c，r，s，p分別代表行星架、內(nèi)齒圈、太陽輪和行星輪。內(nèi)齒圈、太陽輪和每個(gè)行星輪之間的平均嚙合剛度分別相等且為krp和ksp。kiu是構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)剛度，Ii為系統(tǒng)各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其中，i=c，r，s，p。uj=rjθj（j=c，r，s，1，…，N）代表構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)位移，θj—構(gòu)件圍繞自身軸心轉(zhuǎn)動(dòng)的角度；rj—基圓半徑，但是rc—行星輪中心到行星架中心的距離。ψn—行星輪n相對于參考坐標(biāo)系e1的角度，ψn=2π（n-1）/N（n=1，…，N）。對于內(nèi)齒圈，u和w—其切向位移和徑向位移；krus和krbs—切向和徑向分布剛度；ρ—單位長度的質(zhì)量；r—分度圓半徑；v—泊松比；J—截面慣性矩；Ft—切向分布力；Fr—徑向分布力。

2.1 內(nèi)齒圈方程的建立

取內(nèi)齒圈微段為分析對象，受力分析，如圖2所示。運(yùn)用牛頓第二定律對切向和徑向進(jìn)行分析，列寫動(dòng)力學(xué)方程：

根據(jù)彈性力學(xué)知識可以得到：

由內(nèi)齒圈的不可延展性[9]可知：

由式（1）～式（5），可以得出：Ft和Fr只能由嚙合力和自身的彈性力提供。

圖2 內(nèi)齒圈的微分段Fig.2 The Segment of the Ring

內(nèi)齒圈與行星輪n相對位移分析，如圖3所示。相對位移為：

圖3 柔性內(nèi)齒圈與行星輪n的相對位移分析Fig.3 The Analysis of the Displacement of the Flexible Ring Gear and Planet

將行星輪n與內(nèi)齒圈的嚙合力分解為徑向力和切向力，將徑向力和切向力看成分布在嚙合點(diǎn)附近的極小長度dl（dl=rdθ）內(nèi)的分布力，因而引入δ函數(shù)，同時(shí)也避免了考慮復(fù)雜的邊界條件，而Ftr和Frr相當(dāng)于在（0，2π）上的分布力，所以：

內(nèi)齒圈自身的彈性為：

將等式（10）和等式（11）帶入方程（6），整理可得方程（12）。為了把柔性變形和剛性位移分離開來，設(shè)：

式中：v—內(nèi)齒圈面的振動(dòng)變形；U0—內(nèi)齒圈的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)；J—正整數(shù)，當(dāng)J取的很大時(shí)，在等式（13）中誤差就足夠的小[6]。由于J沒有限制，所以等式（13）可以應(yīng)用到連續(xù)的柔性內(nèi)齒圈中。把方程（13）帶入方程（12）中，可得：

將方程（14）在（0，2π）上進(jìn)行積分：

根據(jù)計(jì)算，可以得到：

根據(jù)等式（16），并將方程（15）與剛性內(nèi)齒圈方程[3]對比，可以得到：ur=U0cosα，Ir=mrr2（17）

所以內(nèi)齒圈的剛性位移方程為：

對方程乘以 e-ijθ，并對方程在（0，2π）進(jìn)行積分，可以得到內(nèi)齒圈的柔性變形方程。

2.2 系統(tǒng)方程的無量綱化

為了計(jì)算方便和更精確，不再區(qū)分?jǐn)?shù)值的單位，所以需要對方程進(jìn)行無量綱化。

為了表示方便，下文中公式中省略了“～”。

2.3 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

由于行星齒輪系統(tǒng)中其他構(gòu)件為剛性，所以將其他剛性構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)方程與內(nèi)齒圈的柔性變形方程和扭轉(zhuǎn)位移剛性方程相結(jié)合，得到了整個(gè)行星齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。

在方程（22）～方程（25）中：

3 動(dòng)態(tài)特性分析

3.1 方程的求解方法的確定

方程（21）到方程（25）經(jīng)過整理，最終可以化為矩陣形式：

式中：M—質(zhì)量矩陣；K—?jiǎng)偠染仃?；q—廣義坐標(biāo)矩陣。

行星齒輪系統(tǒng)固有頻率和振型的求解轉(zhuǎn)化為特征值和特征向量的求解，由于方程過于復(fù)雜，采用MATLAB進(jìn)行數(shù)值求解。

3.2 模態(tài)分析

行星齒輪系統(tǒng)的基本參數(shù)，如表1所示。當(dāng)行星輪分別取為3、4、5，J=1時(shí)，剛?cè)狁詈夏Ｐ偷母麟A固有頻率，如表2所示。為了便于比較，表2中還給出了剛性純扭轉(zhuǎn)模型的固有頻率。

表1 直齒行星齒輪傳動(dòng)的基本參數(shù)Tab.1 Basic Parameters of the Spur Planetary Gear System

表2 行星齒輪系統(tǒng)的固有頻率Tab.2 Natural Frequencies of the Planetary Gear System

根據(jù)振型的計(jì)算結(jié)果，當(dāng)考慮內(nèi)齒圈柔性時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)分為三種模式：扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式、行星輪振動(dòng)模式和內(nèi)齒圈振動(dòng)模式，如圖4所示。（1）在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式中，系統(tǒng)中心構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)位移均不為0，而且行星輪的扭轉(zhuǎn)位移相等，即：u1=un（n=1，…，N）。（2）行星輪振動(dòng)模式僅存在N≥2行星輪系中，在行星輪振動(dòng)模式中，太陽輪、內(nèi)齒圈和行星架的扭轉(zhuǎn)位移均為0，而行星輪的扭轉(zhuǎn)位移不為0；只有當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，行星輪模式分為兩種子模式，第一種子模式的行星輪位移關(guān)系為ui=-ui+1（i=1，…，N-1），其固有頻率為單根，一共有（J+1）個(gè)，另一種模式的行星輪位移關(guān)系為 uj=-u（N/2）+j或uj=-u（N/2）+j（j=1，2，…，N/2）且ui≠ui+1（i=1，…，N-1），其固有頻率為2重根，一共有（2N-4）J+N-2個(gè)。（3）在內(nèi)齒圈振動(dòng)模式中，各個(gè)剛性構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)位移均為0，只有內(nèi)齒圈的柔性變形。

圖4 行星齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)模式Fig.4 Vibration Modes of the Planetary Gear System

3.3 與集中參數(shù)模型的對比

由表2和表3可知，當(dāng)考慮內(nèi)齒圈柔性時(shí)，行星齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性發(fā)生了較大的變化。（1）當(dāng)考慮內(nèi)齒圈柔性時(shí)，行星齒輪系統(tǒng)產(chǎn)生了一種新的振動(dòng)模式—內(nèi)齒圈振動(dòng)模式，使得固有頻率的階數(shù)增加了J（N為奇數(shù)）或2J（N為偶數(shù)）個(gè)。內(nèi)齒圈振動(dòng)模式僅體現(xiàn)了內(nèi)齒圈的柔性變形，隨著行星輪個(gè)數(shù)的增加，內(nèi)齒圈振動(dòng)模式的固有頻率在增加。（2）柔性內(nèi)齒圈對扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式有較大的影響，使得內(nèi)齒圈固有頻率的階數(shù)增加J個(gè)，增加的固有頻率一般為中高階；而且隨著行星輪個(gè)數(shù)的增加，第一階固有頻率出現(xiàn)下降，第二階固有頻率不變，其他階固有出現(xiàn)明顯上升。（3）柔性內(nèi)齒圈對行星輪振動(dòng)模式影響明顯，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，固有頻率的個(gè)數(shù)增加了（2N-3）J個(gè)，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，固有頻率的階數(shù)增加了（2N-2）J個(gè)，增加的固有頻率一般為中低階；隨著行星輪個(gè)數(shù)的增加，低階固有頻率增大，高階固有頻率減小。（4）與剛性模型相比，當(dāng)考慮內(nèi)齒圈柔性時(shí)，固有頻率的階數(shù)增多，各階固有頻率下降。

表3 剛性模型與剛?cè)狁詈夏Ｐ偷膶Ρ萒ab.3 The Contrast the Rigid Model and the Rigid Flexibility Hybrid Model

圖5 內(nèi)齒圈質(zhì)量對固有頻率的影響（N=3）Fig.5 The Effect of Ring’s Mass on the Natural Frequencies（N=3）

4 內(nèi)齒圈柔性的影響

為了考察內(nèi)齒圈的柔性對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，需要分析內(nèi)齒圈柔性和固有頻率之間的關(guān)系。內(nèi)齒圈的柔性跟內(nèi)齒圈的厚度息息相關(guān)，當(dāng)其他條件一定時(shí)，內(nèi)齒圈的厚度越薄，內(nèi)齒圈的柔性越好，反過來，內(nèi)齒圈越厚，內(nèi)齒圈的柔性越差。與內(nèi)齒圈的厚度直接相關(guān)的量就是質(zhì)量，所以研究了內(nèi)齒圈質(zhì)量對行星齒輪系統(tǒng)固有頻率的影響，如圖5所示。隨著內(nèi)齒圈的質(zhì)量減小，行星齒輪系統(tǒng)的各階固有頻率均出現(xiàn)上升，也就是說，內(nèi)齒圈的柔性越大，系統(tǒng)的各階固有頻率越高；內(nèi)齒圈柔性對固有頻率影響的最大誤差可達(dá)46.23%，因此在行星齒輪分析過程中內(nèi)齒圈的柔性是至關(guān)重要的一個(gè)因素。

5 結(jié)論

通過建立具有柔性內(nèi)齒圈的純扭轉(zhuǎn)模型，利用數(shù)值解分析了行星齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，發(fā)現(xiàn)內(nèi)齒圈柔性是影響行星齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的重要因素，并得出如下結(jié)論：（1）考慮內(nèi)齒圈柔性時(shí)，行星齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)模式可以分為：扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式、行星輪振動(dòng)模式和內(nèi)齒圈振動(dòng)模式；與剛性純扭轉(zhuǎn)模型相比，多出了一種內(nèi)齒圈振動(dòng)模式。（2）考慮內(nèi)齒圈柔性時(shí)，行星齒輪系統(tǒng)的固有頻率個(gè)數(shù)為2JN+N+3。當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，行星輪振動(dòng)模式的個(gè)數(shù)為（2N-3）J+N-1，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，行星輪振動(dòng)模式的個(gè)數(shù)為（2N-2）J+N-1；扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式的個(gè)數(shù)為4+J；當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，內(nèi)齒圈振動(dòng)模式的個(gè)數(shù)為2J，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，內(nèi)齒圈振動(dòng)模式式的個(gè)數(shù)為J。（3）與剛性純扭轉(zhuǎn)模型相比，考慮內(nèi)齒圈柔性時(shí)，行星齒輪系統(tǒng)的對應(yīng)固有頻率均出現(xiàn)下降，而且內(nèi)齒圈的柔性越大，行星齒輪系統(tǒng)的固有頻率越高。因此，當(dāng)設(shè)計(jì)行星齒輪系統(tǒng)時(shí)，為了避開外界干擾頻率時(shí)，可以適當(dāng)改變內(nèi)齒圈的柔性。

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