基于聯(lián)合隨機(jī)過程模型的個人賬戶替代率研究

梁志偉，黃健元

（河海大學(xué)a.理學(xué)院；b.公共管理學(xué)院，南京211100）

0 引言

為了應(yīng)對人口老齡化的壓力，我國城鎮(zhèn)職工基本養(yǎng)老保險制度由現(xiàn)收現(xiàn)付制轉(zhuǎn)為“統(tǒng)帳結(jié)合”的部分積累制，個人賬戶養(yǎng)老金成為職工退休后基本養(yǎng)老金的重要組成部分，保障著退休人員的生活水平，而這種保障水平主要以個人賬戶替代率來衡量。目前個人賬戶替代率取決于個人賬戶養(yǎng)老金的計發(fā)方式，而計發(fā)方式則是根據(jù)個人賬戶基金精算平衡原理設(shè)置的。個人賬戶基金精算內(nèi)容主要包括基金繳費(fèi)精算現(xiàn)值以及給付精算現(xiàn)值，這涉及到資金的時間價值，因此利率是重要的變量之一。

現(xiàn)有文獻(xiàn)對個人賬戶替代率的研究主要有王海東（2013）在研究退休年齡政策對個人賬戶替代率的影響中，通過建立個人賬戶基金精算模型得出不同情況下個人賬戶替代率計算公式，認(rèn)為提高退休年齡能夠顯著提高養(yǎng)老金替代率。宋世斌等（2006）同樣地建立個人賬戶精算模型對個人賬戶政策調(diào)整前后的替代率進(jìn)行了精算分析，發(fā)現(xiàn)調(diào)整后的替代率水平有所下降。他們的研究中都是將利率作為固定常數(shù)處理，這主要是因為我國利率長期處于管制狀態(tài)，將利率作為固定常數(shù)有其合理之處。但是考慮到我國市場經(jīng)濟(jì)不斷發(fā)展，利率市場化改革不斷推進(jìn)，未來的利率將實現(xiàn)完全市場化，此時利率將具有隨機(jī)性，若仍將利率作為常數(shù)處理則會產(chǎn)生一定偏差，因此有必要將隨機(jī)利率引入個人賬戶基金精算模型中。正如王茶香（2015）研究隨機(jī)利率對養(yǎng)老金個人賬戶的影響時，就是將利息力積累函數(shù)作為隨機(jī)變量處理，得出相同條件下隨機(jī)利率比固定利率模型計算出來的養(yǎng)老金個人賬戶積累值要大，但是其并沒有考察隨機(jī)利率下個人賬戶替代率情況，而且在利息力積累函數(shù)中只加入了單一的隨機(jī)過程，所以本文試圖在利息力積累函數(shù)中加入不同隨機(jī)過程，得出基于聯(lián)合隨機(jī)過程模型的個人賬戶替代率精算表達(dá)式。

1 個人賬戶養(yǎng)老金替代率精算模型

1.1 固定利率下個人賬戶基金精算模型

個人賬戶基金精算平衡是指：參保職工在職期間繳費(fèi)在某一時刻的精算現(xiàn)值與退休后未來給付在這一時刻的精算現(xiàn)值相等。根據(jù)這一原理在計算繳費(fèi)精算現(xiàn)值時假設(shè)職工參加工作就開始繳納養(yǎng)老保險金，參加工作年齡為a歲，退休年齡為b歲。工作第1年工資為Wa，個人賬戶繳費(fèi)率為cr，記賬利率為r，x歲職工在未來k年仍活著的概率為kpx，工資年增長率為g。

則工作第1年初的繳費(fèi)在參加工作時的精算現(xiàn)值為：

工作最后一年的繳費(fèi)在參加工作時的精算現(xiàn)值為：

于是a歲職工在職期間繳費(fèi)在參加工作時的精算現(xiàn)值I為：

其中，n=b-a。

同時在計算給付精算現(xiàn)值時假設(shè)職工生存的極限年齡為ω歲，退休后每年從個人賬戶領(lǐng)取的養(yǎng)老金為Q，固定利率下個人賬戶替代率為Ti。

則退休后第1年年初養(yǎng)老金給付在參加工作時的精算現(xiàn)值為：

退休后第ω-b年年初養(yǎng)老金給付在參加工作時的精算現(xiàn)值為：

于是a歲職工退休期間養(yǎng)老金給付在參加工作時的精算現(xiàn)值E為：

又因為Q=Ti·Wb-1，即養(yǎng)老金等于個人賬戶替代率乘以退休前一年的工資。則：

其中，m=ω-b。

當(dāng)個人賬戶基金處于精算平衡時，即I=E，由此可得：

于是固定利率下個人賬戶替代率Ti表達(dá)式為：

1.2 隨機(jī)利率下個人賬戶基金精算模型

所謂隨機(jī)利率，就是把利率作為隨機(jī)變量來處理，將不同的隨機(jī)過程引入到利息力積累函數(shù)R(t)中，由此得到隨機(jī)利率下個人賬戶基金精算模型。由于一般金融數(shù)學(xué)文獻(xiàn)大多以布朗運(yùn)動來對隨機(jī)利率進(jìn)行刻畫，因此本文在R(t)中引入標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程，同時考慮到一些非預(yù)期因素對利率的影響，因此將Poisson過程也納入其中。本文接下來給出這兩種隨機(jī)過程的相關(guān)結(jié)論。

引理1：設(shè)W(t)為標(biāo)準(zhǔn)的Wiener過程，a≥0為常數(shù)，則：

證明：W(t)為標(biāo)準(zhǔn)的Wiener過程，則W(t)～N(0，t)，所以：

引理2：設(shè)P(t)為一個Poisson過程，且參數(shù)為λ(λ＞0)，a為常數(shù)，則：

證明：P(t)是服從參數(shù)為λ的Poisson過程，則P(t)的分布函數(shù)為：

所以：

接下來建立聯(lián)合標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程和Poisson過程下個人賬戶基金精算模型。

設(shè)利息力積累函數(shù)為：

其中，W(t)為標(biāo)準(zhǔn)的Wiener過程，P(t)為Poisson過程，δ，β，γ均為常數(shù)。

根據(jù)公式（3）可知隨機(jī)利率下個人賬戶基金給付精算現(xiàn)值E′為：

當(dāng)個人賬戶基金處于精算平衡時，即I′=E′，由此可得：

由此得到聯(lián)合標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程和Poisson過程下個人賬戶替代率的精算表達(dá)式。

2 實證分析

2.1 參數(shù)設(shè)定

（1）假設(shè)職工開始參加工作的年齡為20歲，為了考察不同退休年齡下個人賬戶替代率情況，本文將退休年齡區(qū)間設(shè)定為[50,65]。

（2）假設(shè)職工工作第1年工資設(shè)為1，且職工每年工資平均增長率為8%。

（3）人口死亡率數(shù)據(jù)來源于《中國2010年人口普查資料》中的城鎮(zhèn)人口死亡數(shù)據(jù)，同時本文將極限年齡設(shè)定為90歲。

（4）個人賬戶的繳費(fèi)率為8%。

（5）為了考察不同利率水平下個人賬戶替代率情況，本文假設(shè)固定利率分別取3%、4%和5%三種情況。

（6）利息力積累函數(shù)R(t)=δt+βW(t)+γP(t)(0≤t≤∞)中δ取值對應(yīng)于固定利率下的水平，即δ取值分別為3%、4%和5%，考慮到經(jīng)濟(jì)環(huán)境中隨機(jī)因素對利率影響強(qiáng)度并不是太大，因此將β和γ均設(shè)為0.1，其中Poisson過程的λ取為0.01。

2.2 不同利率處理方式下個人賬戶替代率情況

根據(jù)上述參數(shù)設(shè)定情況，本文首先將利率作為固定常數(shù)處理，根據(jù)公式（4）計算得出固定利率下不同退休年齡的個人賬戶替代率情況（見表1）。

表1 固定利率下不同退休年齡個人賬戶替代率情況

由表1可知，當(dāng)利率不變的情況下，隨著退休年齡的提高，個人賬戶替代率水平也相應(yīng)提高，以固定利率水平4%為例，50歲退休時個人賬戶替代率不到10%，而選擇60歲退休，則替代率水平將超過15%，而到了65歲退休個人賬戶替代率會接近于20%，這主要是因為退休年齡越高，個人賬戶基金的積累時間越長，基金累積額越多，所以替代率也越高。從這方面來看個人賬戶的設(shè)置對延遲退休具有一定的激勵作用。另一方面可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)退休年齡不變時，固定利率水平越高，個人賬戶替代率水平也越高。同樣地以60歲退休為例，當(dāng)利率水平分別為3%、4%和5%時，個人賬戶替代率水平分別達(dá)到12.15%、15.24%和19.23%。由此可見利率水平對個人賬戶替代率的提高效用較為明顯。這是因為個人賬戶實行的是完全積累制，利率越高說明基金收益率越高，因此基金累積額越多，替代率就會越高。

以上是將利率作為固定常數(shù)處理時得到的個人賬戶替代率情況，接下來將利率作為隨機(jī)變量來處理，根據(jù)公式(9)計算隨機(jī)利率下不同退休年齡的個人賬戶替代率情況（見表2）。

表2 隨機(jī)利率下不同退休年齡個人賬戶替代率情況

通過表2的計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)與固定利率情況相類似的是：當(dāng)δ的取值相同時，退休年齡越高，個人賬戶替代率也越高?？梢姴还芾什扇∧姆N方式進(jìn)行處理，延遲退休都有助于提高替代率水平。但是從具體數(shù)值來看，以δ取值為4%，退休年齡60歲為例，固定利率下的個人賬戶替代率水平為15.24%，隨機(jī)利率下的替代率水平為14.11%，兩者之間相差一個百分點左右。由此可見隨機(jī)利率下的個人賬戶替代率有所降低，但幅度并不大，這是因為隨機(jī)利率考慮到了市場對利率的復(fù)雜影響，較低的替代率水平實際上體現(xiàn)了一定的利率風(fēng)險，即利率變動時，較低的替代率水平更能夠?qū)崿F(xiàn)個人賬戶基金自身的收支平衡，有效避免個人賬戶出現(xiàn)基金缺口。同樣地由表2可知，當(dāng)退休年齡相同時，δ取值越大，個人賬戶替代率水平越高，原因與固定利率情況相同，這也說明對于完全積累制的個人賬戶來說，加強(qiáng)基金管理與運(yùn)營，提高基金收益率，能夠有效提高替代率水平。

2.3 隨機(jī)過程參數(shù)的敏感性分析

通過表1和表2，本文分析了不同利率處理方式下個人賬戶替代率情況，然而本文更為關(guān)注的是聯(lián)合隨機(jī)過程（標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程和Poisson過程）模型下個人賬戶替代率的變化情況，因此有必要對隨機(jī)過程的參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，進(jìn)而考察隨機(jī)過程參數(shù)變動對替代率的影響程度。本文對參數(shù)β和γ分別取0.1、0.2和0.3進(jìn)行不同組合，同時退休年齡選取50歲、55歲、60歲和65歲作為代表，而δ的取值則取中間水平4%，通過這樣的設(shè)置便能深入分析不同退休年齡下隨機(jī)過程參數(shù)變動對個人賬戶替代率的影響情況（見表3）。

表3 隨機(jī)過程參數(shù)對個人賬戶替代率的影響情況

根據(jù)表3的結(jié)果首先分析當(dāng)退休年齡固定時標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程參數(shù)β的變動對個人賬戶替代率的影響情況，以γ取0.2，退休年齡60歲為例，當(dāng)β取值分別為0.1、0.2和0.3時，個人賬戶替代率分別為14.40%、10.17%和5.86%?？梢妳?shù)β值越大時，個人賬戶替代率越低，此處β每增加0.1，替代率水平降低4%左右。同樣地可以分析Poisson過程參數(shù)γ的變動對個人賬戶替代率的影響情況，以β取0.2，退休年齡60歲為例，當(dāng)γ取值分別為0.1、0.2和0.3時，個人賬戶替代率分別為9.97%、10.17%和10.35%?？梢娕c參數(shù)β不同的是參數(shù)γ取值越大時，個人賬戶替代率水平越高，但是提高幅度不大，此處γ每增加0.1，替代率水平提高約0.2%。由此可見個人賬戶替代率對參數(shù)β的敏感性更強(qiáng)，這是因為Poisson過程體現(xiàn)了實際利率變化過程中的一些非正常的利率干擾因素，但從長期影響來看，這樣的干擾因素對利率的影響是比較小的。

通過對不同退休年齡下個人賬戶替代率變動情況的考察可以發(fā)現(xiàn)：退休年齡越高時，隨機(jī)過程參數(shù)變化對個人賬戶替代率的影響越大。由于參數(shù)γ對替代率的影響并不大，此時主要分析參數(shù)β的變化對替代率的影響，以退休年齡50歲和65歲為例，當(dāng)退休年齡為50歲時，β每增加0.1，替代率降低3%左右，而退休年齡為65歲時，β每增加0.1，替代率降低5%左右。這主要是因為退休年齡越高，個人賬戶基金積累的時間越長，市場的隨機(jī)因素對利率的影響也更加明顯，因此會出現(xiàn)上述情況。綜上分析可知當(dāng)利率處于較強(qiáng)隨機(jī)干擾狀態(tài)（參數(shù)β較大）時，個人賬戶替代率水平明顯下降，對于基金積累時間較長情況下更是如此，因此穩(wěn)定市場利率水平對于提高個人賬戶替代率水平而言顯得尤為重要。

3 結(jié)論

（1）本文首先根據(jù)傳統(tǒng)精算理論構(gòu)建了固定利率下個人賬戶基金精算模型，但考慮到未來利率市場化的實現(xiàn)，因此有必要考慮利率的隨機(jī)性，所以本文將利率作為隨機(jī)變量處理，在利息力積累函數(shù)中加入標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程和Poisson過程構(gòu)建隨機(jī)利率下個人賬戶基金精算模型，并且根據(jù)不同利率處理方式下的精算模型得出相應(yīng)的個人賬戶替代率的精算表達(dá)式。

（2）通過個人賬戶替代率精算表達(dá)式中的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行設(shè)定，實證分析了不同利率處理方式以及不同退休年齡下個人賬戶替代率情況。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：當(dāng)利率水平不變時，退休年齡越高，替代率水平越高，例如退休年齡從50歲提高到60歲，替代率水平將提高5%；當(dāng)退休年齡固定時，利率水平越高，替代率水平越高，例如利率從4%提高到5%，替代率水平將提高4%。其次，當(dāng)其他條件一致時，隨機(jī)利率下的替代率水平低于固定利率下一個百分點左右。最后對隨機(jī)過程參數(shù)進(jìn)行敏感性分析發(fā)現(xiàn)：標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程參數(shù)β取值越大，替代率越低；而Poisson過程參數(shù)γ取值越大，替代率越高。但是個人賬戶替代率對參數(shù)β的敏感性更強(qiáng)，β每增加0.1，替代率水平降低約4%，而γ每增加0.1，替代率水平提高約0.2%，并且當(dāng)退休年齡越高時，參數(shù)β的變化對替代率水平的影響更大。因此延遲退休年齡、加強(qiáng)基金管理與運(yùn)營以提高基金收益率、穩(wěn)定市場利率水平等政策能夠有效提高個人賬戶替代率水平。

（3）本文基于聯(lián)合隨機(jī)過程模型所得出的個人賬戶替代率水平，考慮了未來利率的隨機(jī)性，可以為未來個人賬戶基金管理以及給付提供一定的參考，比如可以調(diào)整不同退休年齡下個人賬戶養(yǎng)老金的計發(fā)月數(shù)，使得個人賬戶替代率達(dá)到基金精算平衡下的合理水平。但是由于影響利率的因素過于復(fù)雜，本文只考慮兩種隨機(jī)過程，這是本文的局限所在，同時也是本文進(jìn)一步研究的方向。

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