基于數(shù)學(xué)史觀的課堂教學(xué)設(shè)計

朱正新

【摘要】數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)文化的教育，而數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的一種載體.在數(shù)學(xué)課堂設(shè)計上融入數(shù)學(xué)史，彰顯數(shù)學(xué)文化價值，提高教學(xué)質(zhì)量，逐步受到廣大教育工作者的認可，實屬數(shù)學(xué)教育改革又一嘗試，更好地促進學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的培育.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史觀；教學(xué)設(shè)計；核心素養(yǎng)

一、引 言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》指出：數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史、應(yīng)用和趨勢，應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展的作用逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀.數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)文化的教育，在當(dāng)今課堂教學(xué)中，要注重數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育有機融合幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)價值，形成正確的數(shù)學(xué)觀.

二、基于數(shù)學(xué)史觀的課堂教學(xué)設(shè)計案例

以蘇教版“分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”為例.

（一）問題情境，引入課題

師：同學(xué)們，通過生物課的學(xué)習(xí)，我們知道細胞會分裂，如果某細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個……如果分裂一次需要10分鐘，那么，1個細胞1小時后分裂成多少個細胞？

假設(shè)細胞分裂的次數(shù)是x，相應(yīng)的細胞個數(shù)為y，那x與y的關(guān)系式是什么呢？

生1：y=2x.

師：當(dāng)x取6時，y=64，說明什么？

生2：一個細胞一小時后分裂為64個細胞.

師：那式子2x中，x是否能取0，負整數(shù)甚至分?jǐn)?shù)、無理數(shù)呢？為了解決上述問題，我們就要先來探討分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義.

設(shè)計意圖：以問題為驅(qū)動，激發(fā)學(xué)生原動力.本節(jié)課的情境設(shè)置著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，以學(xué)生熟悉的問題去研究新的問題，制造強烈的認知沖突，從而引發(fā)學(xué)生積極思考，同時讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)自身發(fā)展的一般規(guī)律.

（二）探索新知，猜想釋疑

師：我們初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過平方根和立方根的概念，那請同學(xué)們回憶一下什么是平方根和立方根？

生3：如果x2=a，那么x稱為a的平方根；如果x3=a，那么x稱為a的立方根.

師：有幾個？

生4：平方根有兩個，立方根只有一個.

師：如果xn=a（a≠0），怎么用符號表示x？

一般地，若xn=a（n>1，n∈N*）則x叫作a的n次方根，na叫作根式，n叫作根指數(shù)，a叫作被開方數(shù).

例如，27的3次方根表示為327，-32的5次方根表示為5-32，那16的4次方根呢？

生5：416.

師：有沒有不同意見呢？再細致地思考一下！

生6：16的4次方根有兩個，一個是416，另一個是-416，它們絕對值相等而符號相反.

設(shè)計意圖：提高學(xué)生解決問題的能力的關(guān)鍵是讓學(xué)生能夠透視問題的本質(zhì).每一個陌生問題的解決都需要轉(zhuǎn)化為熟悉的模式來求解.通過創(chuàng)設(shè)問題，幫助學(xué)生重塑知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識.

（三）知識構(gòu)建，深度理解

師：很好.那由此可知，對于xn=a（n>1，n∈N*），a的n次方根x有幾個？

生7：要分n的奇偶進行討論.

師：很好，那能具體表示出來嗎？

生8：當(dāng)n為奇數(shù)時，x=na，正數(shù)的n次方根為正數(shù)，負數(shù)的n次方根為負數(shù).

當(dāng)n為偶數(shù)時，x=±na，正數(shù)的n次方根有兩個（互為相反數(shù)）.

師：非常好，需要注意的是，負數(shù)沒有偶次方根，0的任何次方根為0.

當(dāng)a≥0時，na≥0，表示算術(shù)根，所以類似416=2的寫法是錯誤的.

知識鏈接：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的發(fā)展歷程.

14世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家奧雷姆（N.Oresme，1323—1382）在《比例算法》（約1360年）中，分別用1 p2 2和1 p 14 2 2來表示2和4212，用我們今天的記號來表達就是212=2，21214=4212.由此可知，奧雷姆已經(jīng)知道方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的關(guān)系.

16世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾（M.Stifel，1487—1567）在《整數(shù)算術(shù)》（1544年）中，將冪指數(shù)從非負整數(shù)推廣到負整數(shù)，建立了如下表所示的指數(shù)和冪之間的對應(yīng)關(guān)系——用我們今天的記號來表達，就是2-n=12n.這是歷史上負整數(shù)指數(shù)冪的最早使用.但是，斯蒂菲爾沒有將冪指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)的情形.

指數(shù)n…-3-2-10123…

冪2n…1814121248…

16世紀(jì)比利時數(shù)學(xué)家斯蒂文（S.Stevin，1548—1620）在《十進算術(shù)》（1585年）中，將分?jǐn)?shù)寫在圓圈內(nèi)，表示一個未知數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.17世紀(jì)荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾（A.Girard，1595—1632）在《代數(shù)新發(fā)明》（1629年）中，將分?jǐn)?shù)寫在一個數(shù)的前面，表示這個數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；而將分?jǐn)?shù)寫在一個數(shù)的后面，表示這個數(shù)為系數(shù)，后面乘未知數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.奧雷姆、斯蒂文和吉拉爾如何發(fā)現(xiàn)方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的關(guān)系，并無文獻記載，但他們以正整數(shù)指數(shù)冪為出發(fā)點，殆無疑問.

17世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家沃利斯（J.Wallis，1616—1703）在《無窮算術(shù)》（1655年）中給出負數(shù)指數(shù)冪和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算，從而將正整數(shù)指數(shù)冪的運算律推廣到了任意有理數(shù)指數(shù)冪.

17世紀(jì)，牛頓（I.Newton，1643—1727）在其通信（1676年）中，用a12，a32，a53等表示a，a3，3a5等，用a-1，a-2，a-3等表示1a，1a2，1a3等，這就是我們今天所使用的記號.

18世紀(jì)，歐拉（L.Euler，1707—1783）在《代數(shù)基礎(chǔ)》中，用類比的方法來引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：因為a2的平方根為a，a4的平方根為a2，a6的平方根為a3，等等，可知平方根應(yīng)為同底數(shù)的冪，指數(shù)折半，所以a的平方根應(yīng)為a12，a3的平方根應(yīng)為a32，等等，這里，平方根均指算術(shù)平方根，a>0.類似地，可考慮更高次方根.

設(shè)計意圖：以數(shù)學(xué)文化發(fā)展史為載體，更好地融合數(shù)學(xué)課程體系，有利于拓展學(xué)生的視野，用數(shù)學(xué)發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)發(fā)展的一般規(guī)律，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（四）回顧反思，總結(jié)升華

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你得到什么啟示和收獲？談?wù)勀愕母惺?

生9：冪的運算性質(zhì)可以從整數(shù)指數(shù)推廣到有理數(shù)指數(shù)，再推廣到實數(shù)指數(shù)的形式.

生10：用分?jǐn)?shù)指數(shù)表示根式的目的是為將根式運算轉(zhuǎn)化為指數(shù)運算.

生11：amn是nam的一種新的寫法，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式表示相同意義的量，只是形式上的不同而已，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是一致的.

師：同學(xué)們的總結(jié)很到位.

三、結(jié) 語

現(xiàn)代數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不僅要傳授數(shù)學(xué)知識與技能，更要注重學(xué)生學(xué)習(xí)過程中對數(shù)學(xué)發(fā)展史、數(shù)學(xué)文化的認識以及在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所表現(xiàn)出來的情感、態(tài)度、價值觀，全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，更好地落實立德樹人的育人目標(biāo).數(shù)學(xué)史觀下的數(shù)學(xué)課堂，可以較好地促進這些目標(biāo)的達成.例如，在研究分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義時，從知識與技能層面上可以讓學(xué)生學(xué)習(xí)到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念及性質(zhì)；從過程與方法層面上，讓學(xué)生在歷史發(fā)展進程中，體驗分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的由來，激發(fā)學(xué)生求知欲，感受分?jǐn)?shù)指數(shù)冪產(chǎn)生的必然性和數(shù)學(xué)發(fā)展的自然性；從情感、態(tài)度和價值觀的層面上，通過數(shù)學(xué)探究，讓學(xué)生切身體會到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪產(chǎn)生的價值，培養(yǎng)學(xué)生積極思維的數(shù)學(xué)品質(zhì).因此，在數(shù)學(xué)課程中，有機融合數(shù)學(xué)史能夠有助于更好地開展教學(xué)，促進課堂教學(xué)改革深入發(fā)展.

【參考文獻】

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