逢左右 聯(lián)前后 促融合

朱芳芳

摘 要：命題設(shè)計(jì)要關(guān)注課標(biāo)四基的要求，特別要重視基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)牟呗裕骸白笥曳暝础闭蔑@題目的多元性；“承前啟后”體現(xiàn)題目的層次性；“融會(huì)貫通”注重題目的兼容性。用發(fā)展的眼光命題，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：圖形與幾何；命題；多元性；層次性；兼容性

11月中旬筆者對(duì)四年級(jí)本班學(xué)生進(jìn)行了一次期中自我檢測(cè)，其中有一道選擇題“在鐘面上3：30時(shí)，分針與時(shí)針較小的夾角是（ ）（A. 銳角 B. 直角 C. 鈍角 D. 平角）?！睂W(xué)生的錯(cuò)誤率竟然高達(dá)46.7%，有必要究其背后的成因。

考查要點(diǎn)：（1）知道3：30時(shí)針和分針?lè)謩e指向的位置；（2）根據(jù)時(shí)針和分針指向的位置，通過(guò)觀察或計(jì)算得出角的大小，會(huì)歸屬類(lèi)別。

錯(cuò)因分析：學(xué)生大部分選擇了B，認(rèn)為是直角。主觀原因是：（1）學(xué)生遺忘了半時(shí)時(shí)針的指向位置在哪里；（2）學(xué)生憑感覺(jué)是直角，視覺(jué)誤差較大；（3）時(shí)間和角度兩塊內(nèi)容進(jìn)行綜合，學(xué)生綜合解題能力較弱?？陀^原因是：（1）半時(shí)的認(rèn)識(shí)屬于二年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，時(shí)分秒屬于四年級(jí)上冊(cè)第一單元的教學(xué)內(nèi)容，角度的測(cè)量屬于第三單元的教學(xué)內(nèi)容，時(shí)間夸度相對(duì)較大，造成了學(xué)生知識(shí)的遺忘；（2）期中測(cè)試比較倉(cāng)促，沒(méi)有進(jìn)行系統(tǒng)的知識(shí)整理和復(fù)習(xí)。

引發(fā)思考：根據(jù)這道題目反思我們的教學(xué)，二年級(jí)上冊(cè)半時(shí)的教學(xué)要求是會(huì)認(rèn)半時(shí)，會(huì)在鐘面上撥出幾時(shí)半，會(huì)畫(huà)幾時(shí)半的時(shí)針和分針。二年級(jí)上教學(xué)半時(shí)時(shí)教師一定會(huì)強(qiáng)調(diào)半時(shí)時(shí)針指向兩個(gè)數(shù)的中間，而且當(dāng)時(shí)的練習(xí)環(huán)節(jié)肯定十分注重這一點(diǎn)的。那為什么到了四年級(jí)時(shí)學(xué)生仍然想當(dāng)然地覺(jué)得3：30時(shí)針指著3呢？為什么到了四年級(jí)時(shí)會(huì)把二年級(jí)的知識(shí)遺忘得這么徹底？筆者認(rèn)為：其一，曾經(jīng)的正確只是一種短時(shí)間強(qiáng)化訓(xùn)練后的結(jié)果，是通過(guò)某一時(shí)間段的單一固定形式的練習(xí)得到的正確表象；其二，大部分教師只強(qiáng)調(diào)了“畫(huà)”，注重結(jié)果的呈現(xiàn)，而忽視了“撥”的操作環(huán)節(jié)，如果觀察動(dòng)態(tài)生成，學(xué)生會(huì)自覺(jué)發(fā)現(xiàn)時(shí)針隨著分針的轉(zhuǎn)動(dòng)而指向兩個(gè)數(shù)的中間。因此對(duì)于練習(xí)的設(shè)計(jì)，要用發(fā)展的眼光去構(gòu)思和呈現(xiàn)，讓學(xué)生真正理解、鞏固和內(nèi)化。

結(jié)合以上的思考和分析，筆者認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)不只是單純地聽(tīng)教師講解和示范，不能只靠單純的記憶，還要學(xué)會(huì)思考，還要去經(jīng)歷，還要有體驗(yàn)。學(xué)以致用是教育的最終目的，根據(jù)遺忘規(guī)律得出恰當(dāng)?shù)挠行У木毩?xí)是必不可少的，并在練習(xí)中滲透基本思想和積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。有效的練習(xí)不僅是對(duì)知識(shí)的鞏固和再現(xiàn)，更是學(xué)生思維拓展、思想方法提煉和經(jīng)驗(yàn)累積的過(guò)程?！霸趺淳殻吭趺疵}？怎么提高練習(xí)的有效性？”成了教師教學(xué)素養(yǎng)和教學(xué)能力的重要問(wèn)題。筆者通過(guò)實(shí)踐反思得出了圖形與幾何領(lǐng)域的幾個(gè)命題策略：

一、“左右逢源”打破命題內(nèi)容的單調(diào)

大部分教師對(duì)于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的知識(shí)結(jié)構(gòu)和層次脈絡(luò)相當(dāng)清晰，知識(shí)之間的承接關(guān)系也能較好把握，但“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識(shí)點(diǎn)比較零碎，系統(tǒng)性和延續(xù)性不是很強(qiáng)，同時(shí)我們的教學(xué)也是零碎的，我們的練習(xí)更是塊狀的，緊扣例題，卻忽視了根據(jù)知識(shí)之間的連貫性和共性來(lái)設(shè)計(jì)練習(xí)，因此命題時(shí)只關(guān)注了獨(dú)立的單元，命題內(nèi)容相對(duì)比較單調(diào)。

“左右逢源”，即橫向比較“圖形與幾何”知識(shí)之間的聯(lián)系，多角度多方面選取素材，使命題多元性，例如角與三角形之間的關(guān)系，周長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系，鐘面與圓的認(rèn)識(shí)之間的關(guān)系等。促進(jìn)學(xué)生聯(lián)系地學(xué)，發(fā)展地學(xué)，將零碎的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行溝通和整合，更好地培養(yǎng)空間觀念和提高數(shù)學(xué)思維，累積學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

以“鐘面的練習(xí)設(shè)計(jì)”為例呈現(xiàn)“左右逢源”多元性的命題策略：

多樣性指的是形式多樣，而多元指的是考查內(nèi)容、知識(shí)點(diǎn)的多元。鐘面是學(xué)生接觸較多的圓的表象。一般教學(xué)中出現(xiàn)的鐘面都是圓形的，鐘面能體現(xiàn)很多與圓有關(guān)的元素，例如等分、對(duì)稱(chēng)等。作為教師，對(duì)知識(shí)的聯(lián)系應(yīng)該有一個(gè)全面的認(rèn)知，讓學(xué)生在內(nèi)容豐富形式多樣的命題中進(jìn)行練習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值和數(shù)學(xué)之美。

1. 鐘面與圖形的位置和運(yùn)動(dòng)

命題舉例：

請(qǐng)描述鐘面最上面的數(shù)字是（ ），最下面的數(shù)字是（ ），最左邊的數(shù)字是（ ），最右邊的數(shù)字是（ ）。如果沿著時(shí)針和分針?biāo)诘木€對(duì)折，則2所在的點(diǎn)與（ ）所在的點(diǎn)重合。（圖1）

2. 鐘面與兩條直線的位置關(guān)系

命題舉例：

（1）時(shí)針和分針?biāo)诘闹本€不可能存在的關(guān)系是（ ）

A. 相交且不垂直 B. 互相垂直

C. 互相平行 D. 重合

（2）如圖2，此時(shí)是（ ）時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)诘膬蓷l直線（ ），此外，有這種位置關(guān)系的時(shí)刻還有（ ）時(shí)整。

3. 鐘面與分?jǐn)?shù)

命題舉例：

（1）12個(gè)數(shù)字把鐘面一圈平均分成了（ ）份。

（2）如圖3，6：00，分針和時(shí)針?biāo)鶌A的部分占鐘面的（ ）分之（ ），（ ）時(shí)整或（ ）時(shí)整分針和時(shí)針?biāo)鶌A的較小部分占鐘面的十二分之四，還可以表示成（ ）分之（ ）。

4. 鐘面與植樹(shù)問(wèn)題

命題舉例：

（1）鐘面上12個(gè)數(shù)字之間有（ ）間隔，就是有（ ）大格。

（2）一只小螞蟻從數(shù)字2走到數(shù)字3，連同始點(diǎn)和終點(diǎn)共碰到了6個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)了（ ）小格。現(xiàn)在小螞蟻從6繼續(xù)出發(fā)，走了15小格，它走到了數(shù)字（ ），碰到了（ ）個(gè)點(diǎn)。

（3）時(shí)鐘到半時(shí)敲一下，到整時(shí)就敲時(shí)針?biāo)傅臄?shù)的次數(shù)。例如6時(shí)敲6下，6時(shí)半敲一下，那么，從下午2時(shí)開(kāi)始到4時(shí)一共敲了（ ）。

5. 鐘面與角度問(wèn)題

命題舉例：

（1）分針走一圈經(jīng)過(guò)了（ ）度，時(shí)間上就是（ ）分，走四分之一圈是（ ）度，分針走1大格經(jīng)過(guò)了（ ）度。分針走1小格經(jīng)過(guò)了（ ）度。時(shí)針走1大格經(jīng)過(guò)了（ ）度，時(shí)針走大格的一半是（ ）度。

（2）3：00，時(shí)針和分針的較小夾角是（ ）度，是（ ）角。

（3）5：00，時(shí)針和分針的較小夾角是（ ）度，是（ ）角。

（4）9：30，時(shí)針和分針的較小夾角是（ ）度，是（ ）角。

6. 鐘面與面積問(wèn)題

命題舉例：

（1）鐘面的時(shí)針長(zhǎng)1分米，經(jīng)過(guò)3小時(shí)，時(shí)針?biāo)鶔哌^(guò)的面積是（ ）平方分米。

（2）鐘面上的分針長(zhǎng)2分米，經(jīng)過(guò)5分，掃過(guò)的面積是（ ）平方分米。

（3）鐘面所在的圓直徑為1.5分米，分針長(zhǎng)1分米，每天走24小時(shí)，分針沒(méi)有掃到的面積是（ ）平方分米。

鐘面看似跟位置、平均分、垂直、植樹(shù)問(wèn)題、面積問(wèn)題等無(wú)關(guān)，實(shí)際上知識(shí)點(diǎn)之間存在著某種聯(lián)系，“左右逢源”將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行巧妙的串接、穿連，打破命題內(nèi)容的單調(diào)，彰顯題目的多元性。

二、“承前啟后”突破命題對(duì)象的局限

命題不能只關(guān)注知識(shí)本身，而忽略命題對(duì)象——學(xué)生。學(xué)生對(duì)于某個(gè)知識(shí)的學(xué)習(xí)每個(gè)學(xué)年段都有一定的學(xué)習(xí)要求，學(xué)年段和學(xué)年段之間不是獨(dú)立存在的，而是有銜接，有前后關(guān)聯(lián)，有承上啟下。筆者認(rèn)為應(yīng)該“承前啟后”地命題，關(guān)注每一學(xué)年段學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程，命題體現(xiàn)內(nèi)容的層次性，除了關(guān)注本單元或本冊(cè)內(nèi)容，更應(yīng)關(guān)注6冊(cè)教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)梯度關(guān)系。系統(tǒng)地將一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的分布情況進(jìn)行羅列，分成幾個(gè)學(xué)年段統(tǒng)籌命題，形成題庫(kù)。

“承前啟后”是指考慮知識(shí)的前后關(guān)系，比如三年級(jí)的命題不能只考慮三年級(jí)的學(xué)生、三年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容，而是要羅列該知識(shí)點(diǎn)在前面一、二年級(jí)時(shí)的基礎(chǔ)是什么，后面四、五、六年級(jí)在這塊知識(shí)的發(fā)展又是怎樣的。不重復(fù)、不拔高，階梯狀地呈現(xiàn)適合各學(xué)年段學(xué)生的該知識(shí)點(diǎn)的命題內(nèi)容。

以“拼三角板的練習(xí)設(shè)計(jì)”為例呈現(xiàn)“承前啟后”層次性的命題策略：

關(guān)于拼三角板，筆者因跨學(xué)年段教學(xué)的關(guān)系，在教三四年級(jí)的同時(shí)遇到了用三角板拼角、拼圖形的問(wèn)題。另外想起二年級(jí)角的初步認(rèn)識(shí)也有用三角板拼角的內(nèi)容。如此三個(gè)年級(jí)的拼法和要求有什么不同，又該怎樣命題呢？帶著思考嘗試命題如下：

1. 課本中呈現(xiàn)的有關(guān)內(nèi)容

二上數(shù)學(xué)書(shū)第42頁(yè)：用一副三角尺拼出一個(gè)鈍角。

三上數(shù)學(xué)書(shū)第82頁(yè)：用兩副同樣的三角尺，分別拼成一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)正方形。

四上數(shù)學(xué)書(shū)第45頁(yè)：你能用三角尺畫(huà)出下面的角嗎？（15°；150°；165°；75°）

2. 各學(xué)年段用三角尺拼擺的階梯命題

學(xué)年段（二上）：【課標(biāo)要求】會(huì)用三角尺判斷直角、銳角和鈍角，拼指定角?！久}舉例】（1）一副三角尺，有（ ）個(gè)銳角，（ ）個(gè)鈍角，（ ）直角。（2）用一副三角尺拼出一個(gè)銳角、一個(gè)鈍角，并畫(huà)下來(lái)。（3）利用一副三角尺畫(huà)出一個(gè)比三角尺上的銳角更小的銳角?！久}意圖】（1）通過(guò)辨認(rèn)三角尺上的角，進(jìn)行歸類(lèi)計(jì)數(shù)。（2）會(huì)用三角尺拼出指定角，滲透角和角可“相加”。（3）嘗試用三角尺的重疊，得到多余部分，畫(huà)出指定角，滲透角和角可“相減”。

學(xué)年段（三上）：【課標(biāo)要求】通過(guò)三角尺的拼組，感受三角形與長(zhǎng)正方形的聯(lián)系?！久}舉例】（1）至少要（ ）副三角尺才能拼出長(zhǎng)方形。（2）將三角尺拼出的長(zhǎng)方形和正方形畫(huà)下來(lái)。（3）三角尺的兩個(gè)銳角拼起來(lái)是（ ）角?！久}意圖】（1）通過(guò)操作發(fā)現(xiàn)要兩個(gè)一樣的直角三角形才能拼成長(zhǎng)方形。（2）通過(guò)拼畫(huà)，進(jìn)一步理解長(zhǎng)方形的角和邊的特征。（3）在拼畫(huà)后，反思得出另外兩個(gè)銳角可合成直角。

學(xué)年段（四上）：【課標(biāo)要求】會(huì)用三角尺拼和畫(huà)指定度數(shù)的角，并列舉用三角尺拼、疊所得到的所有角?！久}舉例】（1）用一副三角尺拼出不同的鈍角。（ ）°+（ ）°=（ ）°，（ ）°+（ ）°=（ ）°，（ ）°+（ ）°=（ ）°，（ ）°+（ ）°=（ ）°。（2）用一副三角尺不能拼出（ ）角。（A. 75° B. 110° C. 135°D. 180°）（3）用一副三角尺畫(huà)出比30°小的銳角，并標(biāo)上度數(shù)?！久}意圖】（1）用三角尺拼角并將拼成的角根據(jù)度數(shù)和進(jìn)行分類(lèi)，得到4個(gè)鈍角。（2）通過(guò)熟練拼角得到角的度數(shù)，排除不能拼成的角。（3）用三角尺的疊余，相減后算出度數(shù)，畫(huà)出角。

3. 三個(gè)學(xué)年段的命題內(nèi)容的區(qū)別和聯(lián)系

二年級(jí)是認(rèn)識(shí)三角尺，從三角尺上找角，利用三角尺的直角判斷角的類(lèi)別，再用三角尺拼指定角解決問(wèn)題；三年級(jí)是在二年級(jí)對(duì)三角尺充分認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用兩副（需向?qū)W生先解釋“兩副”的概念）三角尺，通過(guò)斜邊重合對(duì)齊兩銳角相加成直角來(lái)拼出長(zhǎng)方形或正方形；四年級(jí)是測(cè)量出三角尺上各個(gè)角的度數(shù)，再將一副三角尺進(jìn)行拼組得到新的角，這里要會(huì)運(yùn)用拼疊加減算出角的度數(shù)。

三個(gè)年級(jí)同樣都是用三角尺拼，但各有側(cè)重點(diǎn)，又有承前啟后的關(guān)系。理清脈絡(luò)，形成各年級(jí)階梯狀的命題庫(kù)，同一個(gè)內(nèi)容以不同的命題要求適應(yīng)不用的命題對(duì)象。

三、“融會(huì)貫通”沖擊命題領(lǐng)域的單一

課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容分成了四大領(lǐng)域：數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐。每個(gè)領(lǐng)域的命題若只關(guān)注本身領(lǐng)域獨(dú)立命題，就顯得單一、單調(diào)。其實(shí)圖形與幾何與其他三個(gè)領(lǐng)域之間有著密不可分的關(guān)系：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合可使數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的抽象概念和算數(shù)關(guān)系更直觀形象；運(yùn)用條形、折線等可使統(tǒng)計(jì)與概率更便于觀察和發(fā)現(xiàn)；運(yùn)用圖表分析可使綜合與實(shí)踐領(lǐng)域的問(wèn)題更利于理解。

“融會(huì)貫通”是指讓學(xué)生學(xué)會(huì)綜合各領(lǐng)域知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，學(xué)以致用。特別是圖形與幾何，更應(yīng)發(fā)揮其直觀性、形象化的作用，促進(jìn)其他領(lǐng)域知識(shí)的學(xué)習(xí)。

以“四上總復(fù)習(xí)的練習(xí)設(shè)計(jì)”為例，“融會(huì)貫通”注重題目的兼容性。圖形與幾何的命題內(nèi)容兼顧數(shù)與代數(shù)的知識(shí)。

命題舉例：

有一只小螞蟻很喜歡數(shù)學(xué)，有一天它在草地上玩耍，突發(fā)奇想：如果我從一個(gè)點(diǎn)A出發(fā)筆直向前爬6厘米，然后向右轉(zhuǎn)60度，繼續(xù)筆直向前爬6厘米，再向右轉(zhuǎn)60度，再筆直向前爬6厘米，再向右轉(zhuǎn)60度，……我能回到點(diǎn)A嗎？請(qǐng)你幫助小螞蟻解決這個(gè)問(wèn)題吧！

（1）根據(jù)以上描述，把小螞蟻爬行的路線圖（圖4）補(bǔ)充完整，并回答小螞蟻能否回到原點(diǎn)。

（2）如果這只小螞蟻每秒鐘爬3厘米，完成上述路線需要多少秒？

（3）如果這只小螞蟻第一秒爬1厘米，第二秒爬2厘米，以后每秒都比前一秒多爬1厘米，完成上述路線需要多少秒？

命題意圖：

（1）考查學(xué)生對(duì)角的度量這部分知識(shí)的掌握情況，會(huì)用量角器畫(huà)60度的角以及知道在向右旋轉(zhuǎn)的方向上畫(huà)角。

（2）通過(guò)畫(huà)圖得出這樣的路線有幾條，得出總路長(zhǎng)，再運(yùn)用路程、速度、時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題。

（3）考查學(xué)生是否會(huì)運(yùn)用求連續(xù)自然數(shù)之和來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

本題出自筆者所在學(xué)校某數(shù)學(xué)教師編制的四年級(jí)總復(fù)習(xí)命題卷，筆者拿到本題，甚喜。此題不僅具有趣味性，更將圖形與幾何領(lǐng)域的知識(shí)和數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的知識(shí)進(jìn)行融合，學(xué)生邊畫(huà)角邊形成了一個(gè)正六邊形，初步感知了正六邊形的特征；又通過(guò)畫(huà)圖得到總路長(zhǎng)，復(fù)習(xí)考查了行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，最后悄無(wú)聲息、自然而然地將題目切入綜合與實(shí)踐的拓展練習(xí)及連續(xù)自然數(shù)求和的提升訓(xùn)練中。將各領(lǐng)域知識(shí)進(jìn)行融會(huì)貫通，打破了命題領(lǐng)域的單一性，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)基本思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)將各領(lǐng)域知識(shí)進(jìn)行綜合運(yùn)用，提高了解決問(wèn)題的能力。

綜上所述，圖形與幾何領(lǐng)域的命題要處理好知識(shí)點(diǎn)之間的溝通關(guān)系、各年級(jí)段知識(shí)前后的銜接關(guān)系、各領(lǐng)域之間的共融關(guān)系，形成知識(shí)的系統(tǒng)性，重視命題的多元性、階梯性和兼容性，以滿足學(xué)生的不同學(xué)習(xí)需求，讓學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，訓(xùn)練數(shù)學(xué)的基本技能，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的基本思想，積累數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。