揭示形成過程，建構(gòu)探究思路，完善知識(shí)體系*
——以“三角形的外角”的教學(xué)為例

☉江蘇省南京市第三十九中學(xué)夏鳴

在一次校際教研活動(dòng)中，筆者開設(shè)了人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)“三角形的外角”公開課.本節(jié)課的重點(diǎn)是探索三角形內(nèi)角和定理的一個(gè)推論，即三角形外角定理.本文展示該課的教學(xué)分析、教學(xué)設(shè)計(jì)及教學(xué)反思，與更多同行研討.

一、課前的教學(xué)分析

三角形的外角是指三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，其實(shí)質(zhì)是三角形內(nèi)角的鄰補(bǔ)角，外角可以看作由內(nèi)角而“生”，兩者之間有密切的聯(lián)系.因此，在概念教學(xué)中，我們可以從三角形的內(nèi)角出發(fā)，將其一邊延長(zhǎng)，觀察新得到的角與內(nèi)角的區(qū)別與聯(lián)系，再歸納形成外角的概念.這種設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)在于簡(jiǎn)潔明了，直奔主題，但缺乏對(duì)“為什么要‘延長(zhǎng)’”“怎么想到要‘延長(zhǎng)’”等問題的思考，沒有將外角的概念置于知識(shí)體系中進(jìn)行研究.筆者認(rèn)為，在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、三線八角等，這些角的學(xué)習(xí)都是在相交線與平行線的知識(shí)體系下進(jìn)行的，并且三角形的外角與這些角也都存在聯(lián)系.因此，我們可以將三角形的外角也置于相交線與平行線的體系下設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，由1條直線（平角）到2條相交線（對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角），再到3條直線（三線八角、三角形的外角），逐步構(gòu)畫出一個(gè)三角形的所有外角，并通過比較三角形同一個(gè)頂點(diǎn)處三種角的兩邊的位置屬性，引導(dǎo)學(xué)生形成三角形的外角的概念.

三角形外角定理研究的是三角形的一個(gè)外角與與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系.研究的設(shè)計(jì)思路通常是從特殊到一般，定理的發(fā)現(xiàn)過程是以計(jì)算一個(gè)外角和與其不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為起點(diǎn)，根據(jù)計(jì)算結(jié)果猜想和發(fā)現(xiàn)定理為終點(diǎn).但在這個(gè)過程中，學(xué)生的實(shí)質(zhì)性思考并不充分，學(xué)生很難想到研究這些角的緣由，只是被設(shè)計(jì)活動(dòng)牽引著探究，這樣的學(xué)習(xí)是被動(dòng)的，是孤立的.學(xué)習(xí)該定理之前，學(xué)生已經(jīng)知道三角形的一個(gè)外角與其相鄰內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系，這可由外角的概念得到，而概念應(yīng)該是整個(gè)探究的“基石”，所以我們應(yīng)該以此為研究的起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生通過改變內(nèi)角、外角的位置，增加內(nèi)角、外角的個(gè)數(shù)來提出新問題，發(fā)現(xiàn)新結(jié)論.另外，我們要充分利用學(xué)生所提出的問題，將課堂中學(xué)生的生成作為一種重要的教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生分析所提問題的研究?jī)r(jià)值，從中甄選出一個(gè)結(jié)論作為定理，幫助學(xué)生建構(gòu)探究思路的同時(shí)，完善知識(shí)體系，既見“樹木”，又見“森林”.

根據(jù)上述教學(xué)分析，結(jié)合學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理特征，本節(jié)課教學(xué)要達(dá)成下列兩個(gè)目標(biāo)：一是學(xué)生通過對(duì)與三角形有關(guān)的角的構(gòu)圖、比較、分析，抽象概括出三角形的外角的位置特征，形成概念；二是學(xué)生能從外角概念出發(fā)，通過改變內(nèi)、外角的位置，增加內(nèi)、外角的個(gè)數(shù)提出新問題，發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，在此過程中，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形外角定理.其教學(xué)重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生在與三角形有關(guān)角的知識(shí)體系下掌握三角形外角定理.

二、課中的教學(xué)設(shè)計(jì)

活動(dòng)1：構(gòu)圖生長(zhǎng)，形成概念

圖1

（1）如圖1①，圖中有角嗎？

師生活動(dòng)：教師畫出1條直線，引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別圖中的平角.

（2）請(qǐng)?jiān)趫D1①中再畫一條直線，使其出現(xiàn)更多的角.這些角有什么關(guān)系？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生在圖中再添加1條直線（如圖1②），識(shí)別圖中的對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角.

（3）請(qǐng)?jiān)趫D1②中再畫一條直線，使其出現(xiàn)更多的角.這些角有什么關(guān)系？

師生活動(dòng)：學(xué)生可能畫出三種圖形（如圖1③～⑤）.教師引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別圖中已學(xué)的角，分析這些角之間的關(guān)系.

教師追問：如圖1⑤，三角形同一頂點(diǎn)處的角有哪些？請(qǐng)將這些角進(jìn)行分類.

師生活動(dòng)：對(duì)圖1⑤中同一頂點(diǎn)處的4個(gè)角進(jìn)行分類.學(xué)生可以根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系分成兩類，第一類是三角形的內(nèi)角與其對(duì)頂角，第二類是三角形內(nèi)角的鄰補(bǔ)角；也可以根據(jù)組成角的兩邊的位置屬性分成三類：第一類是三角形相鄰兩邊組成的角即內(nèi)角，第二類是三角形相鄰兩邊反向延長(zhǎng)線組成的角即內(nèi)角的對(duì)頂角，第三類是三角形一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線組成的角即外角.教師在上述分類的過程中，幫助學(xué)生理清各角的關(guān)系，形成外角的概念.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生逐步添畫直線，形成熟悉的基本圖形，自然畫出三角形的外角.在三角形的外角構(gòu)圖生長(zhǎng)中，比較圖1⑤中同一頂點(diǎn)處的4個(gè)角的不同，關(guān)注三角形同一頂點(diǎn)處內(nèi)、外角之間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)三角形的外角兩邊的位置特征，形成外角的概念.同時(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角形外角定理做好鋪墊.

活動(dòng)2：發(fā)現(xiàn)問題，建構(gòu)思路

（1）如圖2，請(qǐng)畫出△ABC的一個(gè)外角.

師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)外角的定義解答，畫出△ABC的一個(gè)外角∠ACD（如圖3）.

圖2

圖3

教師追問：由三角形的外角的概念，你能獲得什么結(jié)論？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生答出外角∠ACD與內(nèi)角∠ACB互補(bǔ).

（2）研究完外角∠ACD與內(nèi)角∠ACB的關(guān)系后，你認(rèn)為還可以研究什么問

圖4

師生活動(dòng)：學(xué)生可能回答要研究頂點(diǎn)為A或B的內(nèi)、外角關(guān)系，教師根據(jù)學(xué)生的回答畫出圖4.

教師追問（1）：剛才大家提到的外角∠ACD與內(nèi)角∠ACB，外角∠BAE與內(nèi)角∠BAC，外角∠CBF與內(nèi)角∠ABC，每組內(nèi)、外角有何共同特征？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生說明它們都是具有公共頂點(diǎn)的1個(gè)外角和1個(gè)內(nèi)角.

教師追問（2）：你能改變這些特征提出新問題嗎？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生改變上述問題中研究對(duì)象的基本屬性（位置、個(gè)數(shù)等）提出問題.學(xué)生可能提出“1個(gè)外角1個(gè)內(nèi)角（不相鄰）、1個(gè)外角2個(gè)內(nèi)角（相鄰或不相鄰）、1個(gè)外角3個(gè)內(nèi)角、2個(gè)外角1個(gè)內(nèi)角（相鄰或不相鄰）、2個(gè)外角2個(gè)內(nèi)角（相鄰或不相鄰）、2個(gè)外角3個(gè)內(nèi)角、3個(gè)外角3個(gè)內(nèi)角之間有何數(shù)量關(guān)系”等新問題，并將其整理羅列出來（詳見活動(dòng)3）.

設(shè)計(jì)意圖：通過畫圖、識(shí)圖，鞏固三角形的外角概念的內(nèi)涵與外延.同時(shí)，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)還可以研究不同頂點(diǎn)處內(nèi)、外角的關(guān)系，并根據(jù)內(nèi)、外角的個(gè)數(shù)，提出新問題.這樣的設(shè)計(jì)，不局限于對(duì)問題本身的解決，更提倡學(xué)生大膽發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，建構(gòu)與三角形有關(guān)的角的探究思路.需要說明的是，課堂教學(xué)中不強(qiáng)求學(xué)生提出所有情況下的問題，能提出利于發(fā)現(xiàn)定理的若干問題即可.

活動(dòng)3：甄選定理，完善體系

（1）如圖4，探究上述三角形的內(nèi)、外角的數(shù)量關(guān)系：

①∠ACD與∠BAC；

②∠ACD與∠ACB、∠BAC；

③∠ACD與∠BAC、∠ABC；

④∠ACD與∠ACB、∠BAC、∠ABC；

⑤∠ACD、∠CBF與∠ACB；

⑥∠ACD、∠CBF與∠BAC；

⑦∠ACD、∠CBF與∠ACB、∠ABC；

⑧∠ACD、∠CBF與∠BAC、∠ABC；

⑨∠ACD、∠CBF與∠ACB、∠BAC、∠ABC；

⑩∠ACD、∠CBF、∠BAE與∠ACB、∠BAC、∠ABC；

……

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生逐步完成上述問題的探究.探究中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)問題③的結(jié)論是∠ACD＝∠BAC＋∠ABC，問題⑥的結(jié)論是∠ACD＋∠CBF＝∠BAC＋180°，問題⑦⑩的結(jié)論是∠ACD＋∠ACB＝∠CBF＋∠ABC＝∠BAE＋∠BAC＝180°，問題①②⑤沒有明確結(jié)論，問題④⑧⑨可以轉(zhuǎn)化為問題③或問題⑥解決.

如果學(xué)生有困難，教師可設(shè)計(jì)以下活動(dòng)（以問題③為例）幫助學(xué)生探究.

（2）在問題③④⑥⑦⑧⑨⑩的結(jié)論中，你會(huì)選擇哪一個(gè)作為定理？為什么？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從“必要”和“簡(jiǎn)潔”兩個(gè)方面進(jìn)行思考，選擇問題③的結(jié)論作為定理.

教師追問（1）：請(qǐng)用文字語言表達(dá)出問題③中的結(jié)論.

師生活動(dòng)：學(xué)生用準(zhǔn)確、簡(jiǎn)練的文字語言概括問題③中的結(jié)論，得到三角形外角定理.

教師追問（2）：根據(jù)定理的條件和結(jié)論，畫出圖形，并用符號(hào)語言表達(dá).

師生活動(dòng)：學(xué)生在分析完定理的條件和結(jié)論后，學(xué)習(xí)定理的圖形語言、符號(hào)語言.

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于上述十個(gè)問題的探究，根據(jù)學(xué)生的情況，可以要求學(xué)生直接說出答案，并推理證明，也可以設(shè)置從特殊到一般的數(shù)學(xué)活動(dòng)幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再利用之前所學(xué)的結(jié)論進(jìn)行分析推理.然后，引導(dǎo)學(xué)生在所提十個(gè)問題的結(jié)論中，甄選出他們心目中的定理，體會(huì)定理的簡(jiǎn)潔性和必要性，滲透公理化體系，將定理的探索設(shè)置于整個(gè)知識(shí)體系當(dāng)中，完善與三角形有關(guān)的角的知識(shí)體系.

圖5

活動(dòng)4：鞏固新知，深化理解

例如圖5，已知△ABC，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F，∠A＝27°，∠BCE ＝92°，∠BDE ＝44°，求∠BFE的度數(shù).

師生活動(dòng)：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生在圖中標(biāo)注條件，分析∠BFE可看作哪些三角形的外角.（2）教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路：思路1：要求∠BFE的度數(shù)，根據(jù)三角形外角定理，結(jié)合條件∠BDE的度數(shù)，只要求∠B的度數(shù)，由于∠A、∠BCE的度數(shù)已知，根據(jù)三角形外角定理，容易得出∠B＝65°；思路2：與思路1類似，解題關(guān)鍵是由∠A、∠BDE的度數(shù)求∠E.（3）學(xué)生獨(dú)立完成解題過程，一名學(xué)生板書.（4）師生共同分析板書學(xué)生的解題過程.（5）教師引導(dǎo)學(xué)生得出基本模型：箭頭型，并推出一般結(jié)論：∠BFE＝∠A＋∠B＋∠E.

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用三角形外角定理求相關(guān)角的度數(shù)，歸納典型的幾何基本模型，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步鞏固定理內(nèi)容的同時(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力和用綜合法解決幾何問題的能力.

活動(dòng)5：回顧總結(jié)，引發(fā)思考

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：

（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？

（2）探索三角形的內(nèi)、外角之間的關(guān)系，其基本路徑是什么？

（3）學(xué)習(xí)完三角形的內(nèi)、外角之間的關(guān)系，你還可以提出哪些值得研究的新問題？

師生活動(dòng)：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容；（2）幫助學(xué)生理清探索三角形的內(nèi)、外角關(guān)系的基本路徑；（3）啟發(fā)學(xué)生思考后續(xù)還可以研究四邊形、五邊形等多邊形的內(nèi)、外角的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，幫助學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心——在與三角形有關(guān)的角的知識(shí)體系中，掌握三角形外角定理，并引發(fā)學(xué)生思考后續(xù)還可以研究的新問題，完善多邊形的內(nèi)、外角的知識(shí)體系.

三、課后的教學(xué)反思

1.揭示形成過程，讓數(shù)學(xué)概念有序生長(zhǎng)

數(shù)學(xué)概念是指人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式.它既是思維邏輯的起點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，我們需要分析它的上位概念、本位概念或下位概念，剖析它的地位和作用，在知識(shí)體系中形成概念、理解概念.本節(jié)課中，筆者將三角形的外角概念納入相交線與平行線的知識(shí)體系中設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生由平角畫出對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，再畫出三線八角、三角形的內(nèi)角和外角，在觀察、分析、比較中形成外角的概念，讓三角形的外角師出有名，有序成長(zhǎng).這樣的活動(dòng)設(shè)計(jì)可以幫助學(xué)生經(jīng)歷概念的生長(zhǎng)、形成過程，有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，更有利于學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣、增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí).

2.建構(gòu)探究思路，讓數(shù)學(xué)問題自然提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，教學(xué)中不僅要學(xué)生具備分析和解決問題的能力，還應(yīng)該讓學(xué)生具備發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力［1］.怎么啟發(fā)學(xué)生想到要研究的問題是關(guān)鍵點(diǎn)，也是難點(diǎn).這需要我們先找到問題的生長(zhǎng)源，引導(dǎo)學(xué)生思考問題中所涉及的數(shù)學(xué)對(duì)象是什么，再啟發(fā)學(xué)生改變問題中所涉及對(duì)象的基本屬性來提出新問題.這個(gè)過程既是問題提出的過程，也是對(duì)問題探究思路的建構(gòu)過程.教學(xué)中，筆者從外角的概念入手，引導(dǎo)學(xué)生想到要研究的問題是內(nèi)角與外角之間的關(guān)系，通過改變問題中內(nèi)、外角的位置、個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)并提出本節(jié)課要研究的核心問題.這樣的教學(xué)活動(dòng)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生知道怎么學(xué)習(xí)，學(xué)生在喜歡數(shù)學(xué)的同時(shí)，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)思維過程的內(nèi)在美.

3.完善知識(shí)體系，讓學(xué)生的思維自由發(fā)展

數(shù)學(xué)的教學(xué)價(jià)值不是讓學(xué)生記住別人得到的性質(zhì)與定理，做別人做過的“好題”與“難題”，而在于讓學(xué)生在知道結(jié)論的同時(shí)，學(xué)會(huì)理性、學(xué)會(huì)探究、學(xué)會(huì)創(chuàng)新，并在此過程中讓思維自由發(fā)展［2］.在本節(jié)課的知識(shí)建構(gòu)活動(dòng)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對(duì)三角形內(nèi)、外角關(guān)系的理性分析過程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題的方法，分析所提問題的研究?jī)r(jià)值，感悟公理化等重要的數(shù)學(xué)思想方法.此外，在回顧總結(jié)環(huán)節(jié)，筆者再次啟發(fā)學(xué)生將現(xiàn)學(xué)的知識(shí)類比到四邊形、五邊形等多邊形中，引導(dǎo)學(xué)生提出更有價(jià)值的新問題.這樣的學(xué)習(xí)，不僅使學(xué)生知道定理的來龍去脈，掌握了定理的證明，而且完善了知識(shí)體系，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維.