構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中運用的分析及研究

陳泓熹

【摘要】高中數(shù)學(xué)是我們學(xué)習(xí)的主要學(xué)科之一，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的重要途徑，一方面，是掌握數(shù)學(xué)公式和基礎(chǔ)知識，另一方面，則在于數(shù)學(xué)解題思維的培養(yǎng).本文主要分析了構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，并通過例題的方式對實際應(yīng)用進行了解析，目的在于提高我們高中學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素質(zhì).

【關(guān)鍵詞】高中；數(shù)學(xué)；解題；構(gòu)造法

數(shù)學(xué)是高中階段的一門基礎(chǔ)學(xué)科，隨著學(xué)段的不斷增加，數(shù)學(xué)難度也越來越高，所以解題難則是我們高中生一直以來面臨的問題.基于此，構(gòu)造法便在高中數(shù)學(xué)解題中得以普遍運用.利用構(gòu)造法，可以使抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，降低數(shù)學(xué)問題的難度，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，樹立自信心.下文便以構(gòu)造法為前提，分析其在數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用.

一、構(gòu)造法概述

（一）構(gòu)造法

構(gòu)造法即根據(jù)已知數(shù)學(xué)解題形式，利用一定的解題步驟進行數(shù)學(xué)問題求解的方法[1].一般學(xué)生在求解問題時，都將會形成思維定式，善于從正面思考問題，按照問題中的已知條件逐步推出答案，但是這一方法并不是適用于所有的問題，所以需要更換思維方向才能夠順利完成解題，而構(gòu)造法的應(yīng)用，便能夠滿足以上要求.

（二）數(shù)學(xué)構(gòu)造法

數(shù)學(xué)構(gòu)造法即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及解題過程中，所使用的重要方法，學(xué)生在求解數(shù)學(xué)問題的過程中，若一直按照以往的思維方法無法獲得答案，便需要更換思考方向，利用反向思維發(fā)現(xiàn)問題中已知條件、數(shù)量等，突破正向思維的限制，建立一個全新的問題形式，從而將問題重新展現(xiàn)出來，進而達到降低數(shù)學(xué)問題難度的目的[2].數(shù)學(xué)構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用非常普遍，其本身也體現(xiàn)了多樣化、靈活以及創(chuàng)新等優(yōu)勢.和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思維不同之處在于，數(shù)學(xué)構(gòu)造法應(yīng)用的重點體現(xiàn)在“創(chuàng)新”.

二、高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的運用

進行數(shù)學(xué)問題求解時，構(gòu)造法已經(jīng)得到了學(xué)生普遍的應(yīng)用，在應(yīng)用的過程中，最為經(jīng)典的便是構(gòu)造輔助函數(shù)法、構(gòu)造方程法等.

（一）方程構(gòu)造法

所謂方程構(gòu)造法，是高中數(shù)學(xué)習(xí)題求解過程中使用效率最高的構(gòu)造法之一.方程式對高中生而言十分常見，且方程本身作為數(shù)學(xué)的一項關(guān)鍵內(nèi)容，也和函數(shù)等其他知識關(guān)聯(lián)非常緊密.通過題型、已知數(shù)量關(guān)系以及結(jié)構(gòu)特點，假設(shè)建立等量性公式，對幾個不同的未知量存在的相互聯(lián)系和方程式等量關(guān)系進行分析，并使用恒等式多角度變形這一方法，使數(shù)學(xué)習(xí)題內(nèi)所包含的抽象內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥狻嵸|(zhì)的內(nèi)容，以提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的速度與質(zhì)量.此外，運用方程構(gòu)造法求解數(shù)學(xué)習(xí)題，也能夠有效提高學(xué)生的觀察能力和思維能力.

例1 設(shè)a，b，c為實數(shù)，若（a+c）（a+b+c）<0，證明（b-c）2>4a（a+b+c）.

解析 所證不等式（b-c）2-4a（a+b+c）>0，由此可聯(lián)想到一元二次方程根的判別式，即b2-4ac，由此便可以構(gòu)造二次函數(shù)f（x）=ax2+（b-c）x+（a+b+c），只需要證明方程f（x）=0有兩根，或者是f（x）和x軸相交即可.

當(dāng)a=0時，由已知條件可得b≠c，反之，若b=c，那么c（b+c）<02b2<0則不成立.當(dāng)a≠0時，設(shè)f（x）=ax2+（b-c）x+（a+b+c），因為f（0）=a+b+c，f（-1）=2（a+c），由已知（a+c）（a+b+c）<0，所以，f（0）·f（-1）<0，所以二次函數(shù)f（x）圖像和x軸相交，所以Δ=（b-c）2-4a（a+b+c）>0，即（b-c）2>4a（a+b+c）.

由此可知，通過方程構(gòu)造法進行高中數(shù)學(xué)習(xí)題求解，可以降低數(shù)學(xué)題的難度，提高學(xué)生思維能力與觀察能力，實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的提升.

（二）函數(shù)構(gòu)造法

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的一項重要內(nèi)容，并且和方程一起構(gòu)成了高中數(shù)學(xué)兩大基礎(chǔ)性結(jié)構(gòu).通過函數(shù)構(gòu)造法求解數(shù)學(xué)習(xí)題，可以有效培養(yǎng)學(xué)生解題思維，使學(xué)生將學(xué)習(xí)到的知識運用到實際解題中[3].學(xué)生除了要學(xué)會解題技巧之外，也要培養(yǎng)解題思維，這是數(shù)學(xué)習(xí)題求解過程的主線.所有的數(shù)學(xué)習(xí)題中，代數(shù)習(xí)題與幾何習(xí)題都包含了函數(shù)思想，因此，對這些這類題目進行求解時，便可以運用函數(shù)構(gòu)造法，將難度大的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)變成為比較簡單的函數(shù)問題，再對其進行求解，在轉(zhuǎn)化的過程中，學(xué)生思維與創(chuàng)新性也得到了提升.

例2 已知x，y，z∈（0，1），求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

解析 通過分析可知，本題的條件和結(jié)論都體現(xiàn)了對稱性，所以很難直接證明，可以采用函數(shù)構(gòu)造法進行求解.

證明 構(gòu)造函數(shù)f（x）=（y+z-1）x+（yz-y-z+1）.（是否需要詳細說明，最好用分析法證明不等式的思想）

∵y，z∈（0，1），

∴f（0）=yz-y-z+1=（y-1）（z-1）>0，f（1）=（y+z-1）+（yz-y-z+1）=yz>0，而f（x）是一次函數(shù)，其圖像是直線.

∴由x∈（0，1）恒有f（x）>0，即（y+z-1）x+（yz-y-z+1）>0，整理可得x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

三、結(jié)束語

綜上所述，構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，既能夠降低習(xí)題難度，改變數(shù)學(xué)題的抽象特點，也可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、創(chuàng)新能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力得到提升，為今后數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)以及習(xí)題的求解奠定了扎實的基礎(chǔ).

【參考文獻】

[1]張帆.淺談在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中如何巧用構(gòu)造法[J].科技資訊，2011（12）：175.

[2]任海莉.淺談構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的優(yōu)點和作用[J].科技資訊，2011（33）：166.

[3]楊燕.淺析構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].讀與寫（教育教學(xué)刊），2016（9）：112.