重視本質(zhì)貴在自然

潘敬貞　王曉川

[摘 要] 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，也是培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的最佳素材之一. 雖然在初中已接觸過函數(shù)概念，但由于高中數(shù)學(xué)函數(shù)概念的視角不同，函數(shù)符號比較抽象等特點(diǎn)，學(xué)生比較難以理解.新課程提倡通過列舉豐富的實(shí)例，讓學(xué)生了解函數(shù)產(chǎn)生的背景，加深學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)識. 但在解決有關(guān)函數(shù)問題時(shí)由于對函數(shù)符號和函數(shù)概念的本質(zhì)缺乏深刻理解，不少學(xué)生面對應(yīng)用函數(shù)概念解決有關(guān)問題時(shí)感覺無從下手，困難重重. 因此上好高中函數(shù)的概念課，讓剛踏入高中的學(xué)生順利通過學(xué)習(xí)函數(shù)的“難關(guān)”，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心顯得尤為重要. 本文從重視已學(xué)函數(shù)模型在函數(shù)概念教學(xué)中的應(yīng)用和加強(qiáng)函數(shù)概念本質(zhì)的理解兩個(gè)視角，結(jié)合實(shí)例探討高中數(shù)學(xué)函數(shù)的概念教學(xué)，僅供大家參考.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；函數(shù)概念；教學(xué)探討

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，也是培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的最佳素材之一.高中數(shù)學(xué)人教版A版必修一第一章第二節(jié)內(nèi)容就是函數(shù)概念，是高一學(xué)生進(jìn)入高中學(xué)習(xí)后很快就要學(xué)習(xí)到的內(nèi)容.雖然在初中已接觸過函數(shù)的概念，但由于高中數(shù)學(xué)函數(shù)概念視角不同，高中數(shù)學(xué)更注重從集合語言和映射的角度闡述函數(shù)概念. 同時(shí)函數(shù)符號比較抽象，想讓剛上高中的學(xué)生很好地理解高中函數(shù)概念的本質(zhì)并非一件容易之事，不少學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)函數(shù)有困難. 新課程也考慮到高中生的認(rèn)知特點(diǎn)，為此提倡通過列舉豐富的實(shí)例揭示函數(shù)產(chǎn)生的背景，加深學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)識，有利于學(xué)生理解函數(shù)概念的形成過程，掌握函數(shù)概念的來龍去脈. 但由于對函數(shù)概念的本質(zhì)缺乏深刻理解，不少學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中，面對應(yīng)用函數(shù)概念解決有關(guān)問題時(shí)仍感覺無從下手，困難重重.不少學(xué)生因此對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去了信心，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣也隨之減弱乃至消失. 因此，上好高中函數(shù)的概念課，使學(xué)生掌握函數(shù)概念的本質(zhì)，讓剛踏入高中的他們順利通過學(xué)習(xí)函數(shù)的難關(guān)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣顯得很重要. 上好高中函數(shù)的概念課，除了充分備課、認(rèn)真設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)外，還要科學(xué)地處理教學(xué)內(nèi)容，選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)素材客觀地看待學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平，充分了解學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，選擇合適教學(xué)素材、恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法與手段工具幫助學(xué)生對知識進(jìn)行建構(gòu)，使學(xué)生對知識的產(chǎn)生與消化更加自然. 因此認(rèn)為重視已學(xué)函數(shù)模型和加強(qiáng)對函數(shù)概念與符號的理解對函數(shù)概念的教學(xué)很重要，更能突出函數(shù)概念的本質(zhì)，概念的形成過程自然.

重視已學(xué)函數(shù)模型的應(yīng)用

通過列舉豐富的實(shí)例讓學(xué)生感受函數(shù)離我們生活很近，體會函數(shù)與實(shí)際生活有著緊密聯(lián)系，加深學(xué)生對函數(shù)的感性認(rèn)識. 重視對已學(xué)函數(shù)模型的應(yīng)用，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)函數(shù)概念的過程中，感到不陌生、有親切感，這樣有利于學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)函數(shù)的信心，有利于學(xué)生構(gòu)建和內(nèi)化新知識，拓寬學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”. 在列舉豐富實(shí)例時(shí)，加強(qiáng)與初中已學(xué)函數(shù)模型（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)）相關(guān)的例子結(jié)合例題選材要盡可能地貼近所教班級學(xué)生的實(shí)際，使學(xué)生更快融入教學(xué)情境，更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，促進(jìn)師生的有效互動(dòng)，有利于師生對課堂教學(xué)內(nèi)容達(dá)成更多“共識”，促進(jìn)構(gòu)筑高效課堂.

例如列舉與一次函數(shù)有關(guān)的實(shí)例：某校需刻錄一些電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需8元；若學(xué)校自刻，除租用刻錄機(jī)120元外，每張還需成本4元，問這些光盤是到電腦公司刻錄，還是學(xué)校自己刻費(fèi)用較省？與二次函數(shù)有關(guān)的實(shí)例：已知某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)是每件60元，每星期可以賣出300件.市場調(diào)查反映：如果調(diào)整售價(jià)，每漲1元，每星期要少賣10件. 想要獲利6090元的利潤，該商品應(yīng)該定價(jià)為多少元？與反比例函數(shù)有關(guān)的實(shí)例：碼頭工人以每天30噸的速度往一輪船上裝載貨物，裝載完畢恰好用了8天時(shí)間. （1）輪船到達(dá)目的地后開始卸貨，卸貨速度v與卸貨時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系？（2）由于遇到緊急情況，船上貨物必須在不超過5天內(nèi)卸載完畢，那么平均每天至少要卸多少噸貨物？以上三個(gè)例子的素材都來自于生活中的實(shí)際情境，教師也可以根據(jù)自己生活中的實(shí)際情境選擇更多學(xué)生熟悉的案例經(jīng)過加工處理后作為課堂教學(xué)素材，這樣更有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使得函數(shù)概念的來龍去脈更清晰.

磨刀不誤砍柴工，列舉豐富實(shí)例讓學(xué)生了解函數(shù)產(chǎn)生的背景，通過對實(shí)際問題的解決讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的作用與魅力. 用一到兩個(gè)課時(shí)列舉實(shí)例和用已學(xué)函數(shù)模型解決實(shí)際問題，使學(xué)生在繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)知識時(shí)不會感覺唐突、陌生、困難，從而使銜接新知識自然流暢.對激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心有積極的意義.

加強(qiáng)函數(shù)概念的理解

通過豐富的實(shí)例揭示函數(shù)產(chǎn)生的背景，讓學(xué)生對函數(shù)有感性認(rèn)識之后，應(yīng)當(dāng)重視函數(shù)概念的本質(zhì)內(nèi)涵以及理解當(dāng)中函數(shù)概念的符號.

高中數(shù)學(xué)人教版A版必修一中函數(shù)的定義為：“設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的函數(shù)，記作y=f（x），x∈A，其中x叫自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)y=f（x）的定義域；與x的值相對應(yīng)的y的值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}（{f（x）|x∈A}B）叫作函數(shù)y=f（x）的值域.”這個(gè)概念中涉及函數(shù)概念的符號、函數(shù)定義域、對應(yīng)法則、值域，想要弄清楚函數(shù)概念的本質(zhì)就必須對函數(shù)概念的符號、函數(shù)定義域、對應(yīng)法則、值域有全面深刻的理解與認(rèn)識.

1. 數(shù)學(xué)符號的理解

數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的重要語言，理解數(shù)學(xué)符號是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ).因此準(zhǔn)確理解函數(shù)符號是學(xué)習(xí)函數(shù)概念的基本前提.

（1）對符號y=f（x）的理解

函數(shù)符號y=f（x）表示非空數(shù)集A中的x與非空數(shù)集B中的y存在某種確定的對應(yīng)關(guān)系，也可以說y是x的函數(shù)，簡記f（x）. 如：f（1）=2表示非空數(shù)集合A中的元素1通過某種確定的對應(yīng)關(guān)系（某種運(yùn)算）后與非空數(shù)集合B中的元素2對應(yīng)，也就是1對應(yīng)的函數(shù)值是2.

（2）對符號f的理解

函數(shù)概念本質(zhì)是定義域和對應(yīng)法則，因此理解對應(yīng)法則是理解函數(shù)概念的關(guān)鍵，而函數(shù)符號中的f為對應(yīng)法則，即非空數(shù)集A中的x與非空數(shù)集B中的y存在某種確定的對應(yīng)關(guān)系. 舉例說明如下：

①“f：x2”表示非空數(shù)集A中的每一個(gè)元素x，通過平方運(yùn)算后得非空數(shù)集B中對應(yīng)的y，簡記f（x）=x2，亦稱函數(shù)表達(dá)式或解析式.

②“f（x）=x2+2x-3”表示非空數(shù)集A中的每一個(gè)元素x，通過平方運(yùn)算即x2，再將非空數(shù)集A中的每一個(gè)元素x乘以2即2x，最后將x2、2x、-3求和運(yùn)算得非空數(shù)集B中對應(yīng)的y.

③“已知f（x）=x2-2x+3求f（a+1）的值”表示已知非空數(shù)集A中的每一個(gè)元素x與非空數(shù)集B中對應(yīng)的y存在確定的對應(yīng)關(guān)系（法則）是f（x）=x2-2x+3，問非空數(shù)集A中的元素a+1通過確定的對應(yīng)關(guān)系（法則）得到非空數(shù)集B中對應(yīng)的y是多少. 因?yàn)榉强諗?shù)集A中的元素a+1，所以直接將對應(yīng)關(guān)系（法則）f（x）=x2-2x+3中的x換成a+1，即f（a+1）=（a+1）2-2（a+1）+3.

④f（x）=x2與y=x2的區(qū)別：f（x）=x2與y=x2本質(zhì)是一樣的，表示同一個(gè)意思. 因?yàn)榉强諗?shù)集A中的x與非空數(shù)集B中的y存在某種確定的對應(yīng)關(guān)系，可表示為y=f（x），所以y=x2的y可換成f（x），f（x）=x2中的f（x）可換成y，其含義是一樣的，只是用f（x）表示更加直觀，平時(shí)也習(xí)慣用f（x）表示. 當(dāng)然，當(dāng)變量較多時(shí)用y表示就有局限性，如：y=ax2+a2x-3中的x與a哪個(gè)是自變量就不清楚，但用f（x）表示就很直觀，比如f（x）=ax2+a2x-3的自變量是x，f（a）=ax2+a2x-3的自變量是a.

2. 函數(shù)定義域與值域的理解與應(yīng)用

集合A為函數(shù)的定義域；{f（x）x∈A}為值域； {f（x）x∈A}B（注意：{f（x）x∈A}是集合B的子集，不一定相等），f為對應(yīng)法則，亦稱函數(shù)解析式. 注意函數(shù)值域是函數(shù)定義域在函數(shù)對應(yīng)法則下產(chǎn)生的，因此理解函數(shù)定義域與對應(yīng)法則顯得非常關(guān)鍵. 舉例說明如下：

（1）M={x0≤x≤2}，N={y0≤y≤3}給出的四個(gè)圖形，其中能表示集合M到N的函數(shù)關(guān)系的是（ ）

根據(jù)函數(shù)概念可知，集合M中的每個(gè)元素在集合N中必有唯一的元素與之對應(yīng).觀察A可知，集合M中區(qū)間（1，2]中的每個(gè)元素在集合N沒有元素與之對應(yīng)；B、C圖都滿足集合M中的每個(gè)元素在集合N中必有唯一的元素與之對應(yīng)；觀察D可知集合M中的每個(gè)元素在集合N中有一個(gè)或兩個(gè)元素與之對應(yīng)，不符合函數(shù)的概念，所以B、C符合題意.

（2）設(shè)M={x-2≤x≤2}，N={y0≤y≤2}，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镸，值域?yàn)镹，則f（x）的圖像可以是（ ）

本題與上一道題有著本質(zhì)的區(qū)別，問題是：集合M中的每個(gè)元通過某種確定的對應(yīng)關(guān)系得集合N. 解答本題只要滿足兩個(gè)條件即可：第一，首先滿足函數(shù)的概念，C圖顯然不滿足；第二，x的范圍為[-2，2]，y的范圍為[0，2]，觀察圖像可知A圖像與D圖像顯然不滿足，只有B符合題意. 解決以上兩個(gè)問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地理解函數(shù)概念的本質(zhì).

一切教學(xué)都應(yīng)考慮學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知水平、思維習(xí)慣和特點(diǎn)，充分了解學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，科學(xué)選擇教學(xué)素材.教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施都應(yīng)圍繞“以學(xué)生為中心”，一切設(shè)計(jì)與操作都應(yīng)本著是否有利于學(xué)生順利對知識吸收與構(gòu)建的基礎(chǔ)，內(nèi)化新的概念和新的知識.一切的概念教學(xué)都要突出概念的本質(zhì)，概念的形成過程要自然.高中函數(shù)概念是高中數(shù)學(xué)的核心概念，是教學(xué)的重難點(diǎn).只有重視結(jié)合學(xué)生的現(xiàn)有學(xué)習(xí)生活經(jīng)驗(yàn)，列舉豐富實(shí)例并有效結(jié)合已學(xué)函數(shù)模型在高中函數(shù)概念教學(xué)中進(jìn)行應(yīng)用，方可達(dá)到突出高中函數(shù)概念的本質(zhì)，函數(shù)概念的形成更為自然，同時(shí)可使學(xué)生順利地通過高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“難關(guān)”，并形成良性循環(huán).