聚焦教材習(xí)題，提升習(xí)題的教學(xué)功能

吳敏強

[摘 要] 教材課后習(xí)題是教材的重要組成部分，筆者通過對課后習(xí)題的整理、比較和分析，闡述了教材習(xí)題的功能和價值. 結(jié)合教材習(xí)題，從“找題”“變題”“挖題”三個角度，闡述課后習(xí)題在創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境、提升學(xué)生思維廣度與深度、體會數(shù)學(xué)的實驗功能中的重要作用. 教材課后習(xí)題除了在鞏固教學(xué)，提升學(xué)生解題熟練度之外，還能參與到課堂教學(xué)中，參與到教師的備課中，參與到學(xué)生對數(shù)學(xué)的研究探索中去，充分發(fā)揮教材習(xí)題的功能！

[關(guān)鍵詞] 教材課后習(xí)題；找題；變題；挖題；教學(xué)情境；思維能力；研究與探索

教材課后習(xí)題是教材的重要組成部分，是教學(xué)過程中用于鞏固教學(xué)成效的重要手段. 筆者通過對教材習(xí)題的整理、比較和分析，充分認(rèn)識到教材習(xí)題的功能和價值取向. 科學(xué)地把握教材習(xí)題和日常教學(xué)的關(guān)系，把課后習(xí)題融入日常的教學(xué)中，充分挖掘教材習(xí)題的教學(xué)功能，讓習(xí)題除了能作用于鞏固教學(xué)之外，更能參與到教學(xué)過程中. 筆者對教材習(xí)題進(jìn)行了研究和探索，以期能對充分發(fā)揮教材習(xí)題的教學(xué)功能起到一定的參考作用.

回首“找”題，聚焦最近發(fā)展區(qū)，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境

蘇聯(lián)心理學(xué)家、教育學(xué)家維果斯基通在談到發(fā)展與教學(xué)的關(guān)系時，他指出：教學(xué)就應(yīng)該在學(xué)生的已有經(jīng)驗水平的基礎(chǔ)上，找到最利于教育發(fā)展的“最近發(fā)展區(qū)”，從這里開始，努力創(chuàng)造條件，給學(xué)生提供自主探索、充分思考的空間，讓學(xué)生在觀察、思考、分析、歸納的過程中去理解知識的形成和發(fā)展過程，進(jìn)行知識的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生的能力，滲透正確的解決問題的方法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)知識的信心和勇氣. 而筆者通過對學(xué)生已學(xué)內(nèi)容的習(xí)題的再研究，從習(xí)題中找尋學(xué)生新知識的最近發(fā)展區(qū)，利用習(xí)題創(chuàng)設(shè)情境和引例，引出新的知識.

案例1：新授課《圓錐曲線的統(tǒng)一定義》

在學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握了橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程和幾何性質(zhì)后，對直接法求曲線的軌跡方程已經(jīng)有了初步的了解，而《圓錐曲線的統(tǒng)一定義》必須要把橢圓、雙曲線、拋物線的定義進(jìn)行糅合整理成一個統(tǒng)一的形式. 故筆者對之前學(xué)生所學(xué)內(nèi)容的課后習(xí)題進(jìn)行了整理，從中找到了能作為新授課情境的習(xí)題，并進(jìn)行了改編和變式，形成了新授課的引例題組.

原題：（高中數(shù)學(xué)選修2-1習(xí)題2.2（1）第8題）設(shè)動點P到點F（1，0）的距離是到直線x=9的距離的，試判斷點P的軌跡是什么圖形.

改編后題組：（1）設(shè)動點P到點F（1，0）和到定直線x=9的距離的比是，試求點P的軌跡方程.

（2）設(shè)動點P到點F（1，0）和到定直線x=的距離的比是2，試求點P的軌跡方程.

（3）設(shè)動點P到點F（2，0）和到定直線x=-2的距離的比是1，試求點P的軌跡方程.

筆者改編后的題組在語言描述上具有很大的相似性，讓學(xué)生在求軌跡方程的過程中感受到圓錐曲線可以通過動點到一個定點和到一條定直線（定點不在定直線上）的距離的比等于某一常數(shù)的方式進(jìn)行統(tǒng)一的定義，以此建立學(xué)生已有的知識和即將學(xué)習(xí)的知識之間的紐帶，新知識的引出變得自然而不突兀，可見“舊”的習(xí)題完全可以參與到新授課的教學(xué)中，因為“舊”，所以熟悉，于是我們的新授課就不再那么的“新”了.

多元化“變”題，提升學(xué)生思維的廣度和深度

教材的習(xí)題本身豐富多彩，但由于教材編排的原因，每一節(jié)后面的習(xí)題所涉及的知識點略顯單一，對習(xí)題的難度有縱向的提升，但很少涉及橫向知識的對比. 故需要教師對課后習(xí)題的順序進(jìn)行重新編排和改編，形成橫向或縱向的題組，以提升學(xué)生思維的廣度和深度.

1. “橫”向變題，拓展學(xué)生思維的廣度

案例2：新授課《在三棱錐中研究三角形內(nèi)的四顆心》

筆者在立體幾何的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有關(guān)三角形的外心、內(nèi)心、重心和垂心的問題一直困擾著學(xué)生，故筆者選用了高中數(shù)學(xué)必修2習(xí)題1.2（2）第11題為基礎(chǔ)，并進(jìn)行了適當(dāng)?shù)摹皺M”向變題，形成題組，開設(shè)公開課《在三棱錐中研究三角形內(nèi)的四顆心》，解決了學(xué)生在這方面的困擾.

原題：（高中數(shù)學(xué)必修2習(xí)題1.2（2）第11題）在三棱錐P-ABC中，頂點P在平面ABC內(nèi)的射影O是△ABC的外心，求證：PA=PB=PC.

解法：由O是△ABC的外心，故OA=OB=OC，所以△POA，△POB，△POC全等，故PA=PB=PC.

“橫”向變題：（1）在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC內(nèi)的射影O是△ABC的內(nèi)心，求證：點P到三角形三條邊AB，AC，BC的距離相等.

解法：過點P分別作三角形三條邊AB，AC，BC的垂線PD，PE，PF，由O是△ABC的內(nèi)心，故OD=OE=OF，所以△POD，△POE，△POF全等，故結(jié)論得證.

（2）在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC內(nèi)的射影O是△ABC的垂心，求證PA⊥BC.

解法：由點P在平面ABC內(nèi)的射影O是△ABC的垂心，可得OA⊥BC，又由PO⊥BC，可得BC⊥平面PAO，故PA⊥BC.

筆者通過對原題的橫向擴展而形成的題組是對三棱錐頂點在平面ABC內(nèi)的射影的位置的系統(tǒng)研究：教材的習(xí)題僅僅是對外心的研究，而筆者通過對三角形外心、內(nèi)心和垂心的研究，更改條件，完善了課本習(xí)題，讓學(xué)生系統(tǒng)地解決了此類問題.

可見“橫”向變題可以從原題的背景出發(fā)，向前后左右拓展，找到與原題相似又具有對比性的知識點，更改條件或問題而形成題目，使得整個題組具有明顯的知識廣度. 學(xué)生在整個題組的訓(xùn)練中借用原題的解決方案，類比解決同類問題，進(jìn)而讓學(xué)生形成一個系統(tǒng)的知識體系.

2. “縱”向變題，拓展學(xué)生思維的深度

案例3：橢圓的焦點三角形問題

原題：（高中數(shù)學(xué)選修2-1習(xí)題2.5第8題）設(shè)P（x，y）是橢圓+=1（a>b>0）上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，求PF1·PF2的最大值和最小值.

解法1：設(shè)P（x0，y0），利用統(tǒng)一定義可得PF1=a+ex0，PF2=a-ex0，故PF1·PF2=a2-e2x，由x0∈[-a，a]可求得PF1·PF2的最大值和最小值.

解法2：利用統(tǒng)一定義可得PF1=ed1，PF2=ed2（其中d1，d2分別是點P到左、右準(zhǔn)線的距離）. 又d1+d2=，故PF1·PF2=e2d1-d1，由d1∈-a，+a可求得其最大值和最小值.

解法3：利用基本不等式PF1·PF2≤（當(dāng)且僅當(dāng)PF1=PF2時等號成立）可求得最大值.

“縱”向變題：（1）設(shè)P（x，y）是橢圓+=1（a>b>0）上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，求∠F1PF2的最大值.

解法：可利用余弦定理以及原題解法3的基本不等式得到∠F1PF2的最大值，難度較低.

（2）設(shè)P（x，y）是橢圓+=1（a>b>0）上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，∠F1PF2=θ，求S△F1PF2.

解法：可利用面積公式S=PF1·PF2sinθ結(jié)合變題（1）解答中的余弦定理得到焦點三角形面積公式S=b2tan. 有變題（1）的鋪墊，難度適中.

（3）設(shè)P（x，y）是橢圓+=1（a>b>0）上一點，A1，A2是橢圓的兩個頂點，求∠A1PA2的最大值.

解法：筆者把焦點改為頂點，雖然結(jié)論仍然是當(dāng)點P在橢圓短軸端點時∠A1PA2最大，但解法完全不同. 可過點P作x軸的垂線PH，則tan∠A1PH=，tan∠A2PH=，故由tan∠A1PA2=tan（∠A1PH+∠A2PH）可求得其最大值，難度較大.

筆者提供的案例原題來自于《圓錐曲線的統(tǒng)一定義》的課后習(xí)題，教材編者是用此題鞏固圓錐曲線的統(tǒng)一定義，展示統(tǒng)一定義在求焦半徑問題時的優(yōu)越性. 而筆者發(fā)現(xiàn)此題的背景是橢圓的焦點三角形，故借用此題作了一系列的“縱”向變題.

可見“縱”向變題可以不改變原題的背景，從一個簡單的知識點入手，向下深入，更改條件或問題而形成題目，使得整個題組具有明顯的難度梯度. 學(xué)生在整個題組的訓(xùn)練中既能鞏固原題的知識點，同時又能在不同難度條件和問題下對該知識點有新的發(fā)現(xiàn). 學(xué)生在知識的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程中，培養(yǎng)能力，滲透正確的解決問題的方法，激發(fā)學(xué)習(xí)知識的信心和勇氣.

大膽“挖”題，發(fā)揮教材習(xí)題的實踐探究功能

教材的課后習(xí)題與閱讀材料有許多是結(jié)合生活、科技現(xiàn)象等設(shè)置的問題情境類習(xí)題，并且有部分習(xí)題已經(jīng)從單純的訓(xùn)練題發(fā)展到手動實踐問題，如到圖書館或互聯(lián)網(wǎng)查閱資料進(jìn)行交流，小論文及調(diào)查報告等. 筆者認(rèn)為，這些課后的實踐類問題對提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升數(shù)學(xué)修養(yǎng)等方面的確有著重要作用！而事實上，我們有的教師為了節(jié)省時間，常要求學(xué)生“忽略無關(guān)信息，抓住主題”，這樣無疑會極大地消弱習(xí)題的教學(xué)功能，降低習(xí)題知識載體的內(nèi)容. 為此，教師應(yīng)該在不影響教學(xué)的情況下，重視教材習(xí)題中那些具有豐富情境資料及動手實踐要求的習(xí)題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)實際應(yīng)用方面的意識和能力.

案例4：折紙中的圓錐曲線

教材高中數(shù)學(xué)選修2-1在橢圓、雙曲線、拋物線的習(xí)題中均分散著一個操作題，用折紙來制作圓錐曲線，非常有意思，教師不應(yīng)該忽略這種有意思的操作題. 筆者把分散著的三個操作題“串”起來，讓學(xué)生動手制作，并進(jìn)行數(shù)學(xué)化的研究與創(chuàng)造.

操作題1：（高中數(shù)學(xué)選修2-1習(xí)題2.2（1）第11題）準(zhǔn)備一張圓形紙片，在圓內(nèi)任取不同于圓心的一點F，將紙片折起，使圓周過點F，然后將紙片展開，就得到一條折痕（為了看清楚，可把直線l畫出來）. 這樣繼續(xù)折下去，得到若干折痕. 觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？

操作題2：（高中數(shù)學(xué)選修2-1 習(xí)題2.3（1）第11題）在紙上畫一個圓O，在圓外任取一定點F，將紙片折起，使圓周過點F，然后將紙片展開，就得到一條折痕l（為了看清楚，可把直線l畫出來）. 這樣繼續(xù)折下去，得到若干折痕. 觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？

操作題3：（高中數(shù)學(xué)選修2-1習(xí)題2.4第14題）將一張長方形紙片ABCD的一只角斜折，使點D總是落在對邊AB上，然后展開紙片，得到一條折痕l（為了看清楚，可把直線l畫出來）. 這樣繼續(xù)折下去，得到若干折痕. 觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？

在學(xué)生完成折紙，感受折紙中的數(shù)學(xué)藝術(shù)后，筆者引導(dǎo)學(xué)生對折紙模型進(jìn)行數(shù)學(xué)化，由學(xué)生完成數(shù)學(xué)問題的編制，學(xué)生成功編制的問題如下：

問題1：已知圓O：（x-2）2+y2=36，定點F（-2，0），在圓周上任取一點M，連接MF，作線段MF的中垂線l，當(dāng)點M取遍圓O上所有點后，則所有的中垂線圍成的曲線方程為________.

問題2：已知圓O：（x-4）2+y2=36，定點F（-4，0），在圓周上任取一點M，連接MF，作線段MF的中垂線l，當(dāng)點M取遍圓O上所有點后，則所有的中垂線圍成的曲線方程為________.

可見，課后的操作題與應(yīng)用題絕不是教師和學(xué)生的累贅與麻煩，而是在教師深入研究后能用于課堂教學(xué)的利器，也是學(xué)生拓展思維、大膽創(chuàng)新的機會. 既能對課內(nèi)知識復(fù)習(xí)鞏固，又能聯(lián)系實際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.

筆者從“找題”“變題”“挖題”三個方面總結(jié)了課后習(xí)題的教學(xué)功能，可見，習(xí)題不僅僅是學(xué)生復(fù)習(xí)的工具，也是教師在課堂教學(xué)中可以充分使用的教學(xué)工具，在教師與學(xué)生的共同努力下，課后習(xí)題一定會成為教師展示個性教學(xué)的利器！