用高考試題審視課堂基本體驗(yàn)的學(xué)與教

李紅慶　王芳文

[摘 要] 借用高考試題的解析來(lái)例說(shuō)基本體驗(yàn)的學(xué)與教，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟意象，激發(fā)學(xué)生的潛能，讓學(xué)生體會(huì)基本體驗(yàn)的意義和養(yǎng)成邏輯思維的習(xí)慣，讓學(xué)習(xí)變得愉快與有效.

[關(guān)鍵詞] 高考試題；審視；基本體驗(yàn)；學(xué)與教

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂版討論稿）指出：通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)，獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)及未來(lái)發(fā)展必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（即基本體驗(yàn)），教育部2016年高考命題工作會(huì)議精神指出：數(shù)學(xué)不僅考查學(xué)生的基本知識(shí)，而且更要考查基本思想和基本體驗(yàn). “基本體驗(yàn)”是非常好理解的自然語(yǔ)言，但作為特定數(shù)學(xué)述語(yǔ)，它可能是一種意象感悟，也可能蘊(yùn)涵著豐富的意涵，在教學(xué)中真正把基本體驗(yàn)落地生根，必須對(duì)基本體驗(yàn)性教學(xué)進(jìn)行研究與實(shí)踐，筆者這幾年做了一些嘗試，現(xiàn)用2017年高考試題第（Ⅱ）卷中第20題，文、理同題的解析幾何的解與析來(lái)例說(shuō)基本體驗(yàn)性教學(xué).

教師選擇課堂基本體驗(yàn)的學(xué)與教，能形成和發(fā)展以數(shù)學(xué)抽象、邏輯思維、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析為要素的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，它也是數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo). 當(dāng)然教師不僅要清晰認(rèn)識(shí)課堂基本體驗(yàn)學(xué)與教的意義，而且也要理順學(xué)與教的相互關(guān)系，更要了解教育對(duì)象基本體驗(yàn)的現(xiàn)狀與開發(fā)潛力，設(shè)計(jì)專門課程，選取合適的素材，來(lái)激發(fā)學(xué)生參與學(xué)與教的積極性和主導(dǎo)審視課堂基本體驗(yàn)的學(xué)與教.

基本體驗(yàn)的學(xué)包括：閱讀體驗(yàn)、像圖體驗(yàn)、運(yùn)算體驗(yàn)和討論體驗(yàn)，基本體驗(yàn)的教包括：調(diào)查和觀察了解學(xué)生基本體驗(yàn)水平，選擇合適的課題，設(shè)計(jì)體驗(yàn)課，組織體驗(yàn)性教學(xué). 調(diào)查和觀察了解學(xué)生基本體驗(yàn)水平，不能通過(guò)問(wèn)卷形式進(jìn)行，而是通過(guò)觀察學(xué)生解題痕跡和參與問(wèn)題討論表述來(lái)判斷學(xué)生基本體驗(yàn)水平.

唯有依靠學(xué)生基本體驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生感悟問(wèn)題的意象，畫圖分析，分類探究的“學(xué)”，才是最接地氣的學(xué)法，才能把學(xué)生骨子里的潛能開發(fā)出來(lái)；唯有知曉學(xué)生基本體驗(yàn)，靈感源于研討的課堂，源于學(xué)生潛能真實(shí)感悟的“教”，才是最有效的教法.下面介紹就2017年高考數(shù)學(xué)第（Ⅱ）卷中第20題的研討性課而設(shè)計(jì)的體驗(yàn)學(xué)與教. 選擇高二理科班，提前把試題打印發(fā)給學(xué)生，學(xué)生單獨(dú)解答，教學(xué)時(shí)先由學(xué)生分組研討，組內(nèi)形成共識(shí)，然后集中進(jìn)行“匯議交鋒”，最后由主持人進(jìn)行總結(jié)陳述.下面是體驗(yàn)學(xué)與教（2課時(shí)）的紀(jì)實(shí)：

主持人：今天由我們第A組負(fù)責(zé)組織研討課，今天研討主題是基本體驗(yàn)，根據(jù)規(guī)則首先由B組推薦人匯報(bào)B組研討成果，現(xiàn)在我把講臺(tái)讓給B組的張三同學(xué).

張三：先看幻燈片：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：+y2=1上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足=.

（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且·=1，證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.

我們組根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，第（1）問(wèn)用“驢拉磨子方法”求點(diǎn)P的軌跡；第（2）問(wèn)用同一法與向量結(jié)合來(lái)證明. 下面由我講解，我的學(xué)習(xí)搭檔張一板書.

（教師觀察，學(xué)生體驗(yàn)同一法證明的過(guò)程是否符合老師講的同一法，還觀察學(xué)生體驗(yàn)通過(guò)·=0，·=1及x+y=2得到-3x1+ny1=3的過(guò)程.）

張三：主持人，我們B組代表解法是課堂老師上常講方法，關(guān)鍵是體驗(yàn)向量的運(yùn)算方法. 現(xiàn)在我把講臺(tái)還給主持人.

主持人：剛才B組的張三同學(xué)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)了用驢拉磨子的方法求軌跡，使用同一法結(jié)合向量運(yùn)算，這與高考解答的吻合度過(guò)高，但B組補(bǔ)充的·=3，即得-3x1+ny1=3是有創(chuàng)新的！下面由C組推薦的李四同學(xué)匯報(bào)C組代表解法，現(xiàn)在把講臺(tái)交給李四同學(xué).

李四：我們組的代表解法，第（1）問(wèn)設(shè)點(diǎn)Mx1，±，根據(jù)=直接找到P（x，y）與M的坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出點(diǎn)P的軌跡，第（2）直接利用直線方程的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，下面由我講解，學(xué)習(xí)搭檔李三板書. 附解答：

（1）設(shè)P（x，y），因?yàn)镸在C上，可設(shè)Mx1，±，則N（x1，0），

=（x-x1，y），=0，±，由=，即得

x=x1，y=±，從而得y=±，

故P的軌跡方程是x2+y2=2.

（教師觀察，學(xué)生體驗(yàn)設(shè)點(diǎn)M注意到±號(hào)及過(guò)渡變量x1的習(xí)慣寫法，體會(huì)“設(shè)”、“可設(shè)”、“則”分別出現(xiàn)在點(diǎn)P，M，N前面的含義.）

（2）設(shè)Q（-3，t），P（x1，y1），且x+y=2，=（x1，y1），=（-3-x1，t-y1），由·=1，得x1（-3-x1）+y1（t-y1）=1，即-3x1+ty1=x+y+1=3，下面對(duì)t進(jìn)行分類討論：

（Ⅰ）若t≠0時(shí)，kOQ=-，則直線l的方程為y-y1=（x-x1），

整理，得-ty+3x=-ty1+3x1=-3，直線l的方程為3x-ty+3=0，

即x=y-1恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（-1，0）.

（Ⅱ）若t=0時(shí)，則x=-1，即直線l：x= -1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（-1，0），

綜上所述，直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.

（教師觀察，學(xué)生體驗(yàn)對(duì)參量t的分類討論的處理過(guò)程，學(xué)生怎樣處理直線3x-ty+3=0恒過(guò)定點(diǎn)（-1，0），是否曾聯(lián)想了直線方程的點(diǎn)斜式形式或關(guān)于t的一元一次方程有多解的條件.）

李三（C組）：我想補(bǔ)充一點(diǎn)，我們組同學(xué)對(duì)-3x1+ty1=3是這樣處理的，即對(duì)y1進(jìn)行討論：

若y1≠0（x1≠-1）時(shí)，t=，kOQ=-=-，直線l的方程是

y=（x-x1）+y1=（x+1），

所以直線l經(jīng)過(guò)C的左焦點(diǎn)F（-1，0）；

若y1=0時(shí)，x1=-1，以下與上述相同.

李四：我們組代表解法，是傳統(tǒng)做法，主要突出數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和利用題設(shè)條件基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).現(xiàn)在把講臺(tái)交給主持人.

主持人：剛才C組李四同學(xué)應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)和基本體驗(yàn)，選擇簡(jiǎn)單變換，也非常簡(jiǎn)捷地解決了問(wèn)題. 下面由D組推薦的王五同學(xué)匯報(bào)D組代表解法.

王五：我們組代表解法，第（1）問(wèn)利用橢圓的參數(shù)方程比較簡(jiǎn)潔，第（2）問(wèn)中直線PF的平行線AR實(shí)際是點(diǎn)Q向圓O：x2+y2=的切點(diǎn)弦的方程，這樣求直線l的方程就比較簡(jiǎn)單了. 附解答：

（1）因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，設(shè)M（cosθ，sinθ）（0≤θ<2π），P（x，y），則

N（cosθ，0），=（x-cosθ，y），=（0，sinθ），由=，得

x=cosθ，y=sinθ，（θ為參數(shù)，0≤θ<2π），消去參數(shù)θ即得P的軌跡方程是x2+y2=2.

（教師觀察，學(xué)生體驗(yàn)設(shè)點(diǎn)M的參數(shù)坐標(biāo)，學(xué)生是否理解θ的任意性和只須取[0，2π）的范圍，還觀察學(xué)生體驗(yàn)消參θ的方法.）

（2）根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，·=（cosθ）=1，因?yàn)?，PA=cosθ=，則=，點(diǎn)A的軌跡為x2+y2=.

設(shè)A（x1，y1），R（x2，y2），Q（-3，t），則以點(diǎn)A為切點(diǎn)的圓O的切線方程是x1x+y1y=. 因?yàn)锳（x1，y1）在切線AQ上，則-3x1+ty1=③，

③式說(shuō)明了點(diǎn)A在直線l′：-3x+ty=上，同理點(diǎn)R（x2，y2）也在直線l′上，故點(diǎn)Q的切點(diǎn)弦方程為l′：-3x+ty=，聯(lián)立y=0，-3x+ty=， 得x=-，y=0，即G-，0.

由AG∥PF，則==，所以O(shè)F=1，即F（-1，0）.

所以直線l經(jīng)過(guò)C的左焦點(diǎn)F（-1，0）.

（教師觀察，學(xué)生體驗(yàn)用統(tǒng)數(shù)學(xué)運(yùn)算手腕得到直線l′的方程的過(guò)程及處理思想，學(xué)生是怎樣找到了切點(diǎn)弦所在的直線l′就是直線l的平行線.）

王五（D組）：我想補(bǔ)充，設(shè)過(guò)點(diǎn)Q（-3，t）的一束動(dòng)直線與x2+y2=相交于點(diǎn)E（x3，y3），D（x4，y4），DE的中點(diǎn)為K（，），則x3+x4=2，y3+y4=2. 因?yàn)镈，E均在圓x2+y2=上，所以x+y=，x+y=，兩式相減，并分解因式，得（x3-x4）+（y3-y4）=0，即知，=（x3-x4，y3-y4）與向量n=（，-）平行.

又因?yàn)?（+3，-t）也與向量n=（，-）平行（選擇向量運(yùn)算減少討論），于是·（+3）+·（-t）=0，即得到點(diǎn)K的軌跡方程為x2+y2+3x-ty=0（x2+y2≤），兩圓方程相減，即得到直線AR的方程3x-ty=.

（教師觀察，學(xué)生體驗(yàn)使用向量而非斜率相等，成功回避了對(duì)的討論，學(xué)生是怎樣通過(guò)圖像體驗(yàn)到l′就是兩曲線（圓和圓弧）的公共弦.）

王五：各位同學(xué)，根據(jù)活動(dòng)規(guī)則我們D組匯報(bào)完畢，現(xiàn)在把講臺(tái)還給主持人.

主持人：我做總結(jié)陳述，我們知道解析幾何，它的第一性東西首先是幾何，第二性東西才是代數(shù)，如果各類解法構(gòu)成了數(shù)學(xué)皇冠，那么平面幾何是數(shù)學(xué)皇冠上的明珠，只有應(yīng)用了平面幾何知識(shí)解決了問(wèn)題，才感覺找到了問(wèn)題的本質(zhì)，學(xué)習(xí)才有成就感. 由研討中出現(xiàn)的·=3，知道在上的射影是OA，下面就轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題，OP=，PA=，OA⊥AQ，PL⊥OQ，OQ=3，先看一般情形（圖5（1）（2））：

因?yàn)镽t△OLF∽R(shí)t△ONQ，所以=，所以O(shè)N·OF=OL·OQ，

因?yàn)镽t△OLP∽R(shí)t△OAQ，所以=，所以O(shè)P·OA=OL·OQ，

所以O(shè)N·OF=OP·OA，所以O(shè)F===1，

所以F是橢圓C的左焦點(diǎn). 特殊情形時(shí)，易證OF=1.

（教師觀察，學(xué)生體驗(yàn)平面幾何的方法進(jìn)行證明，但學(xué)生進(jìn)行不下去了，筆者通過(guò)微信聯(lián)系平面幾何高手西安交通大學(xué)附屬中學(xué)金磊老師做了點(diǎn)撥，感謝金磊老師的幫助?。?/p>

教師：今天研討活動(dòng)非常成功，老師既在觀察同學(xué)們的體驗(yàn)性“學(xué)”，也在反思教師的體驗(yàn)性“教”. 體驗(yàn)學(xué)與教正如《包法利夫人》中寫到“靈魂豐盈無(wú)比，如光華瀉地，化成白紙黑字，卻是一片慘白”，讓我們共同努力搞好體驗(yàn)學(xué)與教.