摭談問題引領下的高三數(shù)學習題課教學

王莉

[摘 要] 美國偉大的心理學家布魯納曾經(jīng)說過“探索是數(shù)學的生命線”，文章從一道數(shù)學習題教學出發(fā)，通過展示學生作業(yè)，在問題引領下層層深入、步步緊逼，引導學生進行“解法探究、合作交流、拓展應用、反思總結”等環(huán)節(jié)的實施，充分體現(xiàn)“學生是課堂真正主人”的主導思想，進而實現(xiàn)學生數(shù)學品質(zhì)素養(yǎng)的提升.

[關鍵詞] 高三數(shù)學；習題教學；問題引領；探究

課堂一直是教師和學生進行“教”與“學”的主戰(zhàn)場，隨著二期課改的推進與深化，課堂教學更加關注于學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)；對于高三數(shù)學習題課教學而言，如何向課堂教學要效益是高三數(shù)學教師不斷探索的重要內(nèi)容；本文筆者根據(jù)自身教學實踐，以一節(jié)高三數(shù)學習題課中一道典型題的教學案例為探究，充分展示完善數(shù)學知識網(wǎng)絡、鞏固基礎知識與方法，進而實現(xiàn)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題能力的提升.

展現(xiàn)案例 課前預探

案例：已知a，b，c為△ABC中角A，B，C對應的三條邊長，其中c=1，=，試求△ABC面積的最大值.

本題設置于高三數(shù)學復習導學案的“基本不等式綜合應用”欄目中，學生課前憑借已學知識解決此題錯誤率超過90%，說明此題難度大或者說明學生存在嚴重問題.若直接放棄本題的講解，將會嚴重打擊學生強烈釋疑的心理需求，數(shù)學習題的價值和本質(zhì)不能得以體現(xiàn). 在實際教學時，筆者經(jīng)過反復思量后決定重點評講該題，選取幾位學生具有代表性的解答過程進行投影展示，創(chuàng)設問題引領學生進一步思考與分析，激發(fā)學生潛在的探究熱情，進行科學解題方法探究、合作交流、總結反思等，不斷提升學生的數(shù)學思維能力.

科學探究 合作交流

解法探究1：“三角法”

教師：上述的三角問題正確率比較低，從批閱的情況看，多數(shù)學生沒有正確的思路，部分學生持有直接放棄的態(tài)度；極少數(shù)學生的解題特點獨特，特征鮮明，請學生甲將自己的思路和解法給我們講解一下：

生甲：（解題思路）將題設條件=進行切化弦處理，再利用正弦定理、余弦定理，實現(xiàn)角與邊的有效轉化，結合面積公式和已經(jīng)條件得出：S=sin2B，即可求出最大值.

解析：由于=，則·=，即·=，將c=1代入上式化簡可得，b2=a2+1=a2+c2-2accosB，即a=cosB，則△ABC的面積為：S=acsinB=sinBcosB=sin2B≤.

教師：生甲采用三角函數(shù)知識進行求解，思路清晰、條理分明，很不錯！有沒有人對生甲的思考和解析進行完善？請說出自己的想法和見解？這樣處理的理由是什么？

生乙：在切化弦·=后，可以不用余弦定理，變成等式2sinB·cosC=3sinCcosB后，兩邊均添加一項2cosBsinC，即2sin（B+C）=5cosBsinC，即=cosB，即a=cosB. 此法處理的理由：根據(jù)條件簡化成a=cosB，得出a必然要找出sinA，若將等式2sinB·cosC=3sinCcosB進行移項處理只能得到sin（B-C），則只有采取兩邊同時加上一項2cosBsinC進行處理.

教師：生乙的解題創(chuàng)意比較獨特，從結論入手探尋解題的方法是一種行之有效的思維方向，值得我們大家學習！

評析：偉大的數(shù)學家波利亞認為：“好的解題思路來源于過去的經(jīng)驗和以前獲得的知識”.的確如此，學生在數(shù)學解題中思路不同，解題方法的繁簡存在差異，最佳解題途徑的獲得是在解題后的反思總結中形成的.在教師的引導之下，讓學生在解后反思中形成“一題多解”的數(shù)學思想，在常規(guī)解法總結中實現(xiàn)思維的碰撞，進而達到思維的升華.

解法探究2：“平面幾何法”

教師：在解法探究1中同學們表現(xiàn)都很優(yōu)秀，在批閱中發(fā)現(xiàn)還有部分同學解題也比較巧妙，下面我們請這些同學呈現(xiàn)出他們的“奇思妙想”.

生丙：（解題思路）從題設信息構造△ABC，如圖1所示，令tanB=3k，tanC=2k，BD=x，用k表示出三角形的底和高，進而求出△ABC的面積S=·，利用代數(shù)方法，從基本不等式的性質(zhì)角度出發(fā)求解最值.

學生丙呈現(xiàn)出自己解題過程后，多數(shù)學生在理解思路和方法的同時，將此法與前面的“三角法”進行對比繁簡程度.部分學生進行小范圍的討論與交流，此時學生丁主動提出自己的見解，展示自己簡化后的解題過程.

生?。簭膱D1中可知，tanB=，tanC=，則==. 若令BD=2x，則CD=3x，BC=5x，則AD==，則S△ABC=BC·AD=x·=≤·=x=，則△ABC面積最大值為.

評析：學生丙的解題思路正確，過程煩瑣一些，為了鼓勵學生丙，教師將其解題過程進行展示，同時激發(fā)其他學生思考簡化過程的方法，讓所有學生都能體會到合作交流、共同進步的重要性；引導學生在融洽的數(shù)學學習氛圍中互相啟發(fā)、質(zhì)疑、欣賞，進而形成創(chuàng)造性思維的能力，在數(shù)學問題探究中體驗成功帶來的愉悅，不斷提升解決問題的能力.

變式拓展 觸類旁通

變式：已知0<α<，0<β<且cos（α+β）=，試求tanα的最大值.

解析：根據(jù)題意可知，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=，則cosαcosβ=sinα·，即tanα===≤=（t>0），則tanα的最大值為.

評析：本題屬于難題，給不少學生帶來麻煩.解題的關鍵是根據(jù)題設條件進行等價變形，構建tanβ函數(shù)，再利用不等式性質(zhì)求出極值. 難點在于目標函數(shù)的構建，本題涉及的問題和求解方法都具有拓展、延伸的特征，給學生提供挑戰(zhàn)的機會和足夠空間進行探索. 學生對題設條件和目標進行分析與思考，獲取解決數(shù)學問題的方案，進而提升學生分析問題和解決問題的思維能力.

總結反思 鏈接延伸

在高中數(shù)學解題教學中，思考問題角度的正確選擇是解決問題的關鍵，恰當數(shù)學思想方法是實現(xiàn)目標的重要手段，從已有數(shù)學解題經(jīng)驗出發(fā)，把握解題靈感，獲取正確選擇，培養(yǎng)學生學會選擇的能力. 作為數(shù)學教師在實際教學中，不能完全泯除教與學的界限，不能只顧自己教，而不顧學生如何學. 習題課教學不是機械地進行解題方法的教學，讓學生死記解題方法，要求學生下次“依葫蘆畫瓢”地進行解題，這顯然與新課改背道而馳. 習題課堂教學的設計應該以“學生的學”為基礎，實踐表明，在高中數(shù)學解題教學中應該注重：題設中已知條件的有效轉化、多途徑設計解題方案、探尋多種解題方法，合理創(chuàng)設科學探究環(huán)境，有效激發(fā)學生主動參與思考問題的積極性，讓學生親身體驗數(shù)學的價值所在.

“通性通法、多解變式”是當前高中數(shù)學解題教學中的常用手段，對于“如何想到此法”往往容易忽視或者簡單粗糙地一帶而過，所謂的“標準方法”容易禁錮學生的思維. 筆者在本節(jié)數(shù)學習題教學中，以讓學生學會分析與思考為教學設計的出發(fā)點，以引導學生進行科學探究、合作交流為手段，鍛煉學生“舉一反三、觸類旁通”的實踐能力，從而不斷提升學生的數(shù)學思維能力.

總而言之，習題探究課是高三數(shù)學課程教學中的常見課型，課堂教學的設計應該注重以學生的自主探究為主，教師點撥為輔，以培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維能力、提高數(shù)學素養(yǎng)為目標，讓學生在探究中學會情感體驗，在合作交流中學會表達自己的想法與感受. 唯有這樣“真實的、具有生命力的”數(shù)學習題探究課才是我們一線數(shù)學教師所追求的境地.