理解運(yùn)算含義，提高運(yùn)算能力

王成杰

不少同學(xué)平時(shí)在數(shù)學(xué)解題中不明算理、機(jī)械套用運(yùn)算公式，不顧運(yùn)算目標(biāo)，盲目地進(jìn)行推理演算，運(yùn)算過程中缺乏選擇合理、簡捷的運(yùn)算途徑的意識，運(yùn)算過程繁瑣，錯(cuò)誤率高，誤以為是“馬虎”、“粗心”造成運(yùn)算錯(cuò)誤，平時(shí)解題認(rèn)為“只要方法對，做錯(cuò)了不要緊”.以上問題的根本原因是對運(yùn)算能力的內(nèi)涵缺乏科學(xué)認(rèn)識.

一、什么是運(yùn)算求解能力

數(shù)學(xué)能力是一種穩(wěn)定的個(gè)性心理特征，是數(shù)學(xué)素質(zhì)在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的外化.高考對運(yùn)算求解能力的考查要求是：能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行運(yùn)算及變形；能夠根據(jù)問題的條件與目標(biāo)尋找與設(shè)計(jì)合理簡捷的運(yùn)算途徑；能夠根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.

1.高中階段常見運(yùn)算形式

（1）數(shù)的運(yùn)算（含復(fù)數(shù)運(yùn)算）；

（2）代數(shù)式的運(yùn)算（法則、運(yùn)算律）；

（3）冪、指數(shù)、對數(shù)（函數(shù)）運(yùn)算；

（4）三角（函數(shù)）運(yùn)算；

（5）向量運(yùn)算；

（6）導(dǎo)數(shù)運(yùn)算；

（7）方程與不等式運(yùn)算（強(qiáng)調(diào)算法）；

（8）抽象運(yùn)算.

幾何量的運(yùn)算一般可歸結(jié)為以上運(yùn)算.

2.運(yùn)算的方法與技能

（1）記住數(shù)學(xué)計(jì)算公式、法則，并能準(zhǔn)確地運(yùn)用公式和法則進(jìn)行運(yùn)算；

（2）應(yīng)用概念、性質(zhì)、定理進(jìn)行有關(guān)的運(yùn)算；

（3）在進(jìn)行各種運(yùn)算時(shí)，結(jié)果準(zhǔn)確、速度迅速、過程合理；

（4）進(jìn)行各種查表和使用計(jì)算器計(jì)算（高考不考查）.

3.運(yùn)算的邏輯思維要求

（1）合理使用公式、法則；

（2）運(yùn)算方法和過程較為簡捷；

（3）對自己的運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行檢查驗(yàn)算和判斷；

（4）自我改正運(yùn)算中的各類錯(cuò)誤；

（5）簡化運(yùn)算過程，運(yùn)用簡縮思維、整體思維進(jìn)行“跳步”運(yùn)算；

（6）較熟練地進(jìn)行心算、速算、估算；

（7）會(huì)進(jìn)行推理計(jì)算；

（8）熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法優(yōu)化運(yùn)算.

二、培養(yǎng)運(yùn)算求解能力

發(fā)展運(yùn)算能力的大致過程是：知識→技能→能力；相應(yīng)的要求分別是：懂知識、會(huì)技能、能變通.

1.建構(gòu)完善系統(tǒng)的知識體系

準(zhǔn)確理解有關(guān)知識，定義、概念理解準(zhǔn)確無誤，對于考試說明中的簡單的知識點(diǎn)要能直接使用，對于較復(fù)雜的知識點(diǎn)要弄清概念的發(fā)生、概括形成過程，主要公式、定理要掌握其發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)過程，還要掌握它們的各種等價(jià)變形，如余弦定理的推導(dǎo)過程與常見的恒等變形：

2.熟練掌握有關(guān)運(yùn)算的算理、方法、步驟

模仿操作階段，運(yùn)算步驟不宜跳躍，每一步運(yùn)算的算理必須明確、清晰，算法和運(yùn)算過程的表述必須規(guī)范、條理，經(jīng)過一定量的、有層次的、按部就班的訓(xùn)練后，逐漸簡化運(yùn)算步驟，靈活運(yùn)用運(yùn)算法則、公式.在運(yùn)算求解過程中，同學(xué)們要能夠自覺地認(rèn)識運(yùn)算的目的性，準(zhǔn)確判斷運(yùn)算方向，合理選擇運(yùn)算途徑，規(guī)范表述運(yùn)算過程和結(jié)果，從而由懂到會(huì)，由會(huì)到對，由對到熟，由熟到變，由變到通，避免“會(huì)而不對，對而不全”的運(yùn)算錯(cuò)誤.

3.理解數(shù)學(xué)思想，掌握通性通法

在熟練掌握運(yùn)算求解的算理、算法及運(yùn)算技能的基礎(chǔ)上，弄清其隱含的數(shù)學(xué)思想方法，并以數(shù)學(xué)思想方法促進(jìn)運(yùn)算技能向能力過渡.一方面，合理使用數(shù)學(xué)思想方法可以簡化運(yùn)算，提高速度，如數(shù)形結(jié)合可以借助圖形直觀簡化運(yùn)算量，等價(jià)轉(zhuǎn)化可以將復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡單的運(yùn)算，分類、整合可以化整為零、分解難點(diǎn)、優(yōu)化策略；另一方面，數(shù)學(xué)思想方法是使基本運(yùn)算技能內(nèi)化為思維能力的紐帶，在具體運(yùn)算求解過程中還要注重充分運(yùn)用通性通法——同類問題的一般方法.

4.加強(qiáng)審題訓(xùn)練，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算目標(biāo)

同學(xué)們在審題時(shí)要深入理解、細(xì)致分析問題的條件、結(jié)論以及條件與結(jié)論間的聯(lián)系，尤其是如何發(fā)現(xiàn)問題中的隱含條件，要確立結(jié)論就是解題目標(biāo)，不忘解題目標(biāo)的意識，及早確定運(yùn)算目標(biāo)，并在運(yùn)算求解過程中根據(jù)目標(biāo)及時(shí)調(diào)整運(yùn)算方向.

5.重視驗(yàn)算反思，提升運(yùn)算能力

在解題過程中，要學(xué)會(huì)驗(yàn)算、減少失誤，可采用以下方法：

復(fù)考查對——草稿紙上每算一題畫上邊框，便于檢驗(yàn).

代值檢驗(yàn)——選取邊界值和特殊值驗(yàn)算.

多解對照——通法求解巧法對照.

逆向運(yùn)算——順向解答逆向回代.

觀測估算——離心率的范圍、三角函數(shù)有界性.

量綱檢查——長度是一次函數(shù)、面積是二次函數(shù)、體積是三次函數(shù).

特值檢驗(yàn)——例如直線斜率不存在時(shí)，等比數(shù)列公比為1時(shí).

條件檢驗(yàn)——條件是否用足，尤其是隱含條件是否發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用.

邏輯檢驗(yàn)——運(yùn)算復(fù)雜的問題通過邏輯推理可能輕松解決.

圖形檢驗(yàn)——代數(shù)方法幾何檢驗(yàn).

解題后檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問題必須不斷糾錯(cuò)、訂正到位，訂正可分為老師評講前自我糾正、老師評講中對比訂正、老師評講后二次訂正，解題后更要總結(jié)反思：此題運(yùn)用了哪些知識和方法，題中有哪些條件，尤其是否存在隱含條件，本題的算理是否清晰，算法是否簡捷，運(yùn)算過程是否跳步，還有更好的解法嗎？失分的原因到底是什么？

6.重視簡化運(yùn)算，提高求解能力

運(yùn)算求解能力是其他數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)，簡化運(yùn)算是提高求解能力的重要環(huán)節(jié).

（1）熟記一些常見的運(yùn)算結(jié)論和推理結(jié)果有利于尋找解題思路，簡化運(yùn)算過程，提高運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，如四面體的體積公式，常見勾股數(shù)，20以內(nèi)的自然數(shù)的平方，圓錐曲線的焦半徑公式，圓錐曲線的第二、第三定義，和差化積與積化和差公式等.

（2）在解析幾何解題運(yùn)算中，正確運(yùn)用簡化運(yùn)算的基本方法，如：恰當(dāng)建系、巧妙設(shè)元、回歸定義、設(shè)而不求、數(shù)形結(jié)合、整體代換、數(shù)式化簡、特殊引路、特征分析（定量、定性）、直覺判斷、合情推理……

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線PA的斜率為k₁，直線MA的斜率為k₂，求k₁·k₂的取值范圍.

分析 本題中求解斜率k₁，k₂的表達(dá)式是關(guān)鍵，用參數(shù)表示斜率通常有以下幾種方法：

其中方法①～③均需解出P點(diǎn)坐標(biāo)，因而運(yùn)算量較大，在方法④中，可通過設(shè)而不求、邊化簡邊運(yùn)算、數(shù)形結(jié)合等方法簡化運(yùn)算.endprint