辯證的觀點(diǎn)，靈活的思維

徐建東

數(shù)學(xué)題中有已知有未知，解題的任務(wù)就是從已知探究未知.為此我們可以總結(jié)出一些行之有效的方法，比如繁化簡(jiǎn)、難化易、多化少、不熟悉的化為熟悉的等等.但是繁與簡(jiǎn)、難與易、多與少等不是絕對(duì)的而是相對(duì)的，如果能換一個(gè)角度或者從相反的角度看待它們，也許可以把這些矛盾置于合理的情境中實(shí)現(xiàn)更順利的轉(zhuǎn)化，這就是辯證的觀點(diǎn).用辯證的觀點(diǎn)看問(wèn)題，是提高思維靈活性的有效途徑.

一、多與少

常規(guī)來(lái)講，一元函數(shù)比二元函數(shù)簡(jiǎn)單，但是下面的問(wèn)題體現(xiàn)的就不是這樣.

說(shuō)明 本題若從函數(shù)入手，運(yùn)算量較大，考慮到已知x的范圍，把一元函數(shù)的問(wèn)題化為二元函數(shù)后反而簡(jiǎn)單了.這是因?yàn)楹笳吣軕?yīng)用基本不等式，在這個(gè)更高級(jí)的工具下，它呈現(xiàn)出了新的面貌.

二、靜與動(dòng)

一般動(dòng)態(tài)的問(wèn)題比靜態(tài)的問(wèn)題復(fù)雜，特別是有兩個(gè)或兩個(gè)以上自由量的問(wèn)題，就更難以處理.如果能把動(dòng)態(tài)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的問(wèn)題，就可以達(dá)到“以靜制動(dòng)”的目的，從而使問(wèn)題變得容易掌控.相反，有些靜態(tài)的問(wèn)題，如果讓它動(dòng)起來(lái)，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中反而能看清其本質(zhì).所以，在最值問(wèn)題、范圍問(wèn)題、恒大恒?。纱罂尚。﹩?wèn)題中，不妨嘗試一下動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)化.

解 以AB所在直線為x軸，A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖1，

表示的方法有兩種，一種是基底表示，另一種是坐標(biāo)表示.不同表示形式導(dǎo)致不同的運(yùn)算方式.上述兩道例題分別利用基底和坐標(biāo)，本身就代表了兩種手段.對(duì)靜與動(dòng)的轉(zhuǎn)化更是令人欣喜.

三、數(shù)與形

數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化幾乎可以看作數(shù)學(xué)永恒的主題，解析幾何的巨大成功，卻又使我們認(rèn)為用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題是正途，而忽視借助圖形的幾何意義解題.其實(shí)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化是相互的，彼此借力、相輔相成是應(yīng)有之義.

因?yàn)闄E圓截直線y=kx+3所得的弦長(zhǎng)恰好被x軸平分，由橢圓對(duì)稱性知，

說(shuō)明 本題若從直線與圓錐曲線的位置關(guān)系出發(fā)解方程組，將陷入大量的運(yùn)算.而形的應(yīng)用給它帶來(lái)了直觀，更容易啟發(fā)我們的思路.

四、正與反

對(duì)于難以從正面入手的數(shù)學(xué)問(wèn)題，考慮問(wèn)題的反面，探求已知與未知的關(guān)系，化難為易、化隱為顯.

解 這個(gè)問(wèn)題的反面是三個(gè)集合全為空集，

說(shuō)明 涉及“至多”、“至少”這類(lèi)問(wèn)題，從正面入手一般運(yùn)算比較煩瑣，從反面入手更容易解決.

數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，各部分的知識(shí)、方法、思想都是相通的，如果能多加思考和總結(jié)，增強(qiáng)聯(lián)系與變化的觀點(diǎn)，辯證地對(duì)待普遍的和特殊的矛盾，就會(huì)大大增加我們的靈活性.endprint