再議一道二元函數(shù)條件極值的解法

☉山東省東營市河口區(qū)第一中學(xué) 王皓瑜

近日讀《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2013年（1-2合刊）刊登的張琥老師的文［1］，很受啟發(fā)，但文中呈現(xiàn)了一道二元函數(shù)的條件極值問題，感覺此題的解答頗有問題和爭議，查詢知網(wǎng)得知安徽的梁寶同老師在《數(shù)學(xué)通訊》（2013-10）文［2］發(fā)表了自己對本題的態(tài)度與觀點(diǎn)，梁老師指出了張琥老師文中的幾個(gè)問題，與本人研讀此題的認(rèn)識一致，本著研究的態(tài)度，需要再議此二元函數(shù)條件極值的解法，不當(dāng)之處還請批評指正.

說明：梁老師在文［2］中對文［1］的詳盡解答做了展現(xiàn)，此處省略.

梁老師憑著自己對判別式法求最值的認(rèn)識，提出本題是錯(cuò)用判別式法，才導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤，并警告讀者不要亂用判別式法，并沒有對判別式法給出必要的分析，判別式法是求函數(shù)最值非常重要的方法，分析不到位很容易引起錯(cuò)誤，為此本人非常同意梁老師在文［2］的觀點(diǎn)，嘗試從判別式法角度展開分析如下：

文［1］與文［2］中方程（1-2r）a2+（2r2+2r）a-4r2=0的根不應(yīng)單純地理解為正實(shí)根. 因?yàn)閍＞2，a＞r，b=都是現(xiàn)實(shí)存在的不等關(guān)系，所以僅從Δ≥0獲取r≤1也是極為不妥的，況且Δ≥0也僅僅是一個(gè)必要條件，驗(yàn)證結(jié)論的充分性也是必須的.

圖1

正常的數(shù)形結(jié)合分析應(yīng)該從命題“方程有大于r的正實(shí)根”開啟，需要定義f（a）=（1-2r）a2+（2r2+2r）a-4r2，

綜合（1）（2）（3）知，r∈（0，1）無最大值

在數(shù)學(xué)最優(yōu)問題中，拉格朗日乘數(shù)法是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的多元函數(shù)的條件極值的方法.為此本人也嘗試提供如下的分析：

令L′（a）=L′（b）=L′（λ）=0，方程組無解.

本文嘗試給出如下證明：

圖2

證法2：由圖3易知，當(dāng)內(nèi)切圓恰與動(dòng)直線AB相切于定點(diǎn)P時(shí)，內(nèi)切圓直徑最大.

圖3

備注：方法2與文［2］的簡要分析相同.

證法3：數(shù)形結(jié)合，如圖4，設(shè)Rt△OAB的內(nèi)切圓的半徑為r，則其圓心為（r，r），根據(jù)圓心到直線AB的距離為r，可得r=，平方整理得2r2-2（a+b）r+ab=0.

圖4

所以2（a-m）r2-2a（a-m+n）r+a2n=0.

所以（n-2r）a2+（2r2+2mr-2nr）a-2mr2=0.

此方程必定有大于r正實(shí)數(shù)根.

定義新函數(shù)（fa）=（n-2r）a2+（2r2+2mr-2nr）a-2mr2且（2n＞m＞0，2m＞n＞0），

結(jié)合前述判別式法的分析（此處略）.

Δ=（2r2+2mr-2nr）2-4（n-2r）（-2mr2）≥0?r2-2（m+n）r+（m2+n2）≥0，

因?yàn)閞＜min｛a，b｝，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，min｛a，b｝取最大值m+n，因此r＜m+n，

解法2：由直觀易知，當(dāng)內(nèi)切圓恰與動(dòng)直線AB相切于定點(diǎn)P時(shí)，內(nèi)切圓直徑最大.

感謝文［1］與文［2］兩位老師提供的解題研究素材，解題研究永無止境，以上是本人對本題的一些粗淺的認(rèn)識和看法，再次敬請各位老師批評指正.

1.張琥，“數(shù)形結(jié)合思想”教學(xué)設(shè)計(jì)示例之二，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2013（1-2）.

2.梁寶同，一道值得商榷的例題，數(shù)學(xué)通訊（下半月），2013（10）.