跨聲速風(fēng)洞現(xiàn)代試驗設(shè)計方法應(yīng)用研究

李 多, 曹軍義, 張征宇, 黃敘輝(. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心 高速空氣動力研究所, 四川 綿陽 6000；. 西安交通大學(xué) 機械學(xué)院, 陜西 西安 70049)

0 引 言

目前，風(fēng)洞試驗主要采取傳統(tǒng)的單變量方法(One Factor at a Time, OFAT)開展，其原理是在一次試驗中選擇一個自變量(如迎角)進行改變，并保持其它自變量不變，通過測量響應(yīng)變量(如氣動力和力矩)，來得到自變量和響應(yīng)變量的關(guān)系。但以美國為代表的航空航天發(fā)達國家發(fā)現(xiàn)，OFAT方法存在很多缺陷。例如一個自變量的改變必定會導(dǎo)致另外的自變量發(fā)生變化，如迎角在改變過程中會引起側(cè)滑角的改變，這是OFAT風(fēng)洞試驗方法數(shù)據(jù)的誤差來源之一[1]。同時，OFAT方法還存在忽略了試驗中各變量間的交互作用、試驗結(jié)果表示不直觀以及需要采集的數(shù)據(jù)點較多而導(dǎo)致的試驗成本高效率低等缺陷[2-4]。

1997年，美國航空航天局(NASA)蘭利研究中心開始倡導(dǎo)使用現(xiàn)代試驗設(shè)計方法(Modern Design of Experiment，MDOE)來代替OFAT方法。MDOE方法的原理是：每次試驗中改變多個變量的值，同時考察多個變量與氣動力、力矩間的關(guān)系，其核心是響應(yīng)面法(Response Surface Method, RSM)。MDOE方法的優(yōu)勢是：1) 需要較少的數(shù)據(jù)點，成本低；2)提供了一個自變量影響響應(yīng)變量的更全面的觀察而不是普通數(shù)據(jù)圖的表示方法：響應(yīng)僅是一個自變量的函數(shù)，其余變量被固定在定值；3) 能給出除物理設(shè)置外的各自變量的響應(yīng)值；4) 不僅能精確估計出設(shè)計空間某個特定點上的響應(yīng)值，同時還能給出該響應(yīng)值的不確定度，從而顯著減小試驗結(jié)果的不確定度；5) 能夠很好的表示出變量之間的交互作用；6) 不需要知道響應(yīng)曲面的具體數(shù)學(xué)形式[5]。

本文在我國2.4 m跨聲速風(fēng)洞中開展了MDOE試驗，研究試驗中涉及的試驗區(qū)間確定、子區(qū)間劃分、數(shù)據(jù)點數(shù)量選取、數(shù)據(jù)點在子區(qū)間的分布等具體問題，驗證MDOE方法在降低試驗成本、優(yōu)化試驗結(jié)果表達、體現(xiàn)變量間交互作用等方面的優(yōu)勢。

1 試驗設(shè)計

選擇迎角a和側(cè)滑角β為兩個自變量，阻力系數(shù)CD為相應(yīng)的響應(yīng)變量，試驗區(qū)間為迎角-4°～8°，側(cè)滑角-5°～5°。由于變量的個數(shù)為2，試驗區(qū)間可以表示成一個笛卡爾坐標系的平面，其中x軸代表迎角，y軸代表側(cè)滑角，區(qū)間中每個數(shù)據(jù)點表示迎角與側(cè)滑角的不同組合。

1.1 子區(qū)間劃分

為了避免響應(yīng)面模型中增加高階項，必須將試驗區(qū)間劃分為不同的子區(qū)間，最后通過整合所有的毗鄰的變量子區(qū)間，就能夠得到一個精確且連續(xù)的響應(yīng)面方程[6]?？紤]到正負區(qū)間的不對稱因素及大迎角范圍非線性嚴重的特點，將迎角區(qū)間劃分為3個子區(qū)間，如圖1及表1所示。

圖1 子區(qū)間劃分Fig.1 Subspace divide

表1 子區(qū)間劃分Table 1 Subspace divide

1.2 數(shù)據(jù)量確定

數(shù)據(jù)點的個數(shù)決定了模型的精度與所采取方法的效率，必須精確計算。Box和Draper給出了一個計算每個子區(qū)間試驗點數(shù)n的方程[7]:

(1)

式中，ta代表置信區(qū)間的半寬，查統(tǒng)計手冊為1.96，γ為試驗精度，取0.0001，p代表回歸模型中參數(shù)的個數(shù)等于6，σ為數(shù)據(jù)標準差，以精度最高的滾轉(zhuǎn)力矩為例，其標準差不大于0.00007，代入式(1)中可求得:

(2)

因此在本試驗中，每個子區(qū)間指定12個數(shù)據(jù)點，共需要36個數(shù)據(jù)點。

1.3 數(shù)據(jù)點分布

在各子區(qū)間內(nèi)，數(shù)據(jù)點的分布方式不同導(dǎo)致方差不同。本文采用中心復(fù)合試驗設(shè)計方法(central composite design, CCD)分布各子區(qū)間的試驗點[8]，其中獨立變量經(jīng)過線性編碼按-1、1來進行分布。式(3)說明了轉(zhuǎn)換過程[9]。

(3)

圖2表示了編碼CCD方法中點的分布，除了四個拐點與星點外，重復(fù)性被指定在設(shè)計中心來抑制預(yù)測方差，由于每個子區(qū)間內(nèi)有12個數(shù)據(jù)點，所以在設(shè)計中心重復(fù)點的數(shù)量是4。

12個數(shù)據(jù)點為每個子區(qū)間提供12個自由度，其在子區(qū)間內(nèi)的分配方法如表2所示。

圖2 數(shù)據(jù)點分布Fig.2 Data points distribution

表2 自由度分配Table 2 Degree of freedom distribution

1.4 試驗設(shè)計總結(jié)

圖3顯示了36個數(shù)據(jù)點在試驗區(qū)間的分布，共有29個點，其中三個點重復(fù)了4次，兩個點重復(fù)了2次，其中重復(fù)2次的數(shù)據(jù)點用來確保各子區(qū)間響應(yīng)面模型的獨立性。

圖3 數(shù)據(jù)點在試驗區(qū)間分布Fig.3 Data points distribution in experiment space

2 試驗數(shù)據(jù)處理

2.1 響應(yīng)面模型建立

開展風(fēng)洞試驗獲取36個數(shù)據(jù)點上的氣動系數(shù)后，建立了阻力系數(shù)CD的響應(yīng)面模型，如圖4所示。

從圖4的響應(yīng)面模型中看出：采用MDOE試驗方法后，每個子區(qū)間內(nèi)僅需12個數(shù)據(jù)點就能得到氣動系數(shù)的響應(yīng)值，而OFAT方法則需要45個數(shù)據(jù)點，試驗結(jié)束后耗氣量結(jié)果對比顯示，MDOE方法的耗氣量僅占OFAT方法的50%，降低了成本；MDOE風(fēng)洞試驗方法提供了一個迎角和側(cè)滑角影響各氣動系數(shù)的更全面的觀察而不是普通數(shù)據(jù)圖的表示方法：響應(yīng)僅是迎角的函數(shù)，側(cè)滑角被固定在定值；MDOE試驗方法打破了單變量方法側(cè)滑角被物理固定在整數(shù)角度(2°、4°、6°等)的局限性，給出了整個設(shè)計區(qū)間的響應(yīng)值，在設(shè)計區(qū)間內(nèi)，迎角和側(cè)滑角可以以任意小數(shù)角度進行組合；最后，MDOE試驗方法很好的表示出了兩個變量迎角和側(cè)滑角之間的交互作用，以圖4(a)為例，若想減小阻力系數(shù)CD，在只減小迎角的情況下CD變化不明顯，但如果在減小迎角的同時增大側(cè)滑角，則CD的值會急劇下降。

氣動系數(shù)在各子空間內(nèi)響應(yīng)面模型的多項式構(gòu)成如表3所示，多項式構(gòu)成中包含的項用“√”標出。

(a) -4°～0°

(b) 0°～4°

(c) 4°～8°

表3 響應(yīng)面多項式構(gòu)成Table 3 Polynomial composition of response surface

2.2 方差分析

以0～4°迎角范圍內(nèi)阻力系數(shù)CD為例，說明響應(yīng)面回歸的過程，方差分析表如表4所示[10]。

首先觀察ANOVA表中的總效果，對應(yīng)回歸項的P值為0.000(即<0.001)，表明本模型總的來說是有效的，對應(yīng)失擬項的P值為0.512，其值遠比臨界值0.05大，即表明本模型沒有失擬現(xiàn)象。

最后觀察各項效應(yīng)的顯著性，可以看出迎角、迎角*迎角、側(cè)滑角*側(cè)滑角三項高度顯著，而側(cè)滑角、迎角*側(cè)滑角兩項不顯著(P值>0.05)，應(yīng)將其刪除。

從改進后的方差分析表5中可以看出，各項效應(yīng)均為顯著，同時與全模型方差分析表中的數(shù)據(jù)相比R-Sq(調(diào)整)的值略有上升而s的值略有下降，數(shù)據(jù)表明改進后的模型比原模型更準確。

表4 方差分析Table 4 Analysis of variance

表5 方差分析改進Table 5 Secondary analysis of variance

2.3 模型驗證

為了驗證所建立響應(yīng)面模型的準確性，在每個子區(qū)間β=0°的曲線上選取5個額外的試驗點檢驗其是否能夠落在擬合曲線的95%置信區(qū)間內(nèi)，檢驗結(jié)果如圖5所示,其中藍色曲線代表上下置信區(qū)間，黑色曲線代表本試驗擬合曲線，紅色點代表檢驗點。

從圖5中看出，在每個子區(qū)間內(nèi)，中間范圍的點檢驗結(jié)果較好，而邊界地區(qū)的點檢驗結(jié)果較差，也反映了中心復(fù)合設(shè)計方法在中心區(qū)域誤差較小而邊界處誤差較大的特點。但基本上所有的點都能落入95%置信區(qū)間內(nèi)，說明響應(yīng)面模型精度足夠。

(a) -4°～0°

(b) 0°～4°

(c) 4°～8°

3 結(jié) 論

通過本次試驗的開展，主要得到以下結(jié)論：

1) 對比得出，MDOE風(fēng)洞試驗方法僅需傳統(tǒng)單變量試驗方法20%的測量數(shù)據(jù)量即可完成試驗，所需的吹風(fēng)時間約占傳統(tǒng)單變量試驗方法的50%，同時在試驗結(jié)果表達、更多響應(yīng)值的提供、不確定度估計、交互作用體現(xiàn)等方面較單變量方法更有優(yōu)勢；

2) 方差分析結(jié)果表明，迎角對氣動系數(shù)的影響比側(cè)滑角更為顯著，正確反映了該類飛行器的氣動特性變化規(guī)律；

3) MDOE風(fēng)洞試驗方法能夠以氣動系數(shù)響應(yīng)面模型和方差分析表的形式提供更為詳細、全面的風(fēng)洞試驗數(shù)據(jù)，在飛行器風(fēng)洞試驗的方案設(shè)計及數(shù)據(jù)分析中具有較為廣闊的應(yīng)用前景。

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