間歇式俯仰轉動撲翼的自主推進

戴龍珍, 張 星,*(1. 中國科學院力學研究所, 北京 100190; 2. 中國科學院大學 工程科學學院, 北京 100049)

0 引 言

很多生物在飛行和游動中均采用主動驅動和被動滑行交替(flap-and-glide/burst-and-coast)的間歇式推進[1-9]。一些已有的研究表明，在移動同樣距離的條件下，間歇式驅動的游動可以有效地節(jié)省能量消耗[2,3,6,10-15]。間歇式驅動的飛行與游動問題又可細分為兩大子類，它們的節(jié)能機理也不盡相同。

第一類問題中動物的身體密度大于所處的流體介質(如鳥類和一些水生哺乳動物)。動物采用間歇式驅動和上下起伏的運動軌跡，可以有效地利用重力勢能來增大水平移動的距離[1-2]。第二類問題中動物的身體密度和所處的流體介質接近(如某些魚類)。這類間歇式驅動的節(jié)能機理則包括黏性和無黏兩種。

黏性機理又稱為Bone-Lighthill 邊界層薄化假設，即主動游動比滑行時的邊界層變薄，因此摩擦阻力更大[3-4,6,16]。無黏機理又稱為Garrick機理，即間歇式驅動改變了產(chǎn)生推力的附加質量力與產(chǎn)生誘導阻力的環(huán)量力之比值[13]。

目前，絕大多數(shù)關于仿生撲翼推進的流體力學研究主要針對連續(xù)式的垂直振蕩(plunging)和俯仰旋轉 (pitching) 兩種驅動方式。近期，一些學者受到生物間歇式驅動的啟發(fā)，開始研究間歇式驅動撲翼的推進問題。Floryan 等[14]通過水槽實驗，測量了不同占空比(duty cycle) 條件下間歇式俯仰旋轉驅動撲翼的平均推力和平均輸出功率。他們的研究表明，間歇式驅動普遍比連續(xù)式驅動在能效利用率方面占優(yōu)。同時，他們還發(fā)現(xiàn)占空比的改變基本不影響一個完整驅動周期內(nèi)產(chǎn)生的渦的位置與強度。Moored等[15]針對間歇式俯仰旋轉驅動的撲翼推進問題，開展了無黏和有黏的數(shù)值模擬。無黏的數(shù)值模擬結果表明，在相同推進速度的條件下，間歇式驅動在能效方面占優(yōu)。有黏的數(shù)值模擬結果表明，在一定的速度范圍內(nèi)，間歇式驅動在能效方面占優(yōu)。上述實驗和數(shù)值研究的主要目標是比較連續(xù)式和間歇時驅動的推進性能，對于間歇式驅動的流場結構研究較少，也缺少詳細的描述。

本文通過Navier-Stokes方程和牛頓方程的耦合求解，開展連續(xù)式和間歇式俯仰旋轉撲翼自主推進問題的有黏數(shù)值模擬。研究目標是考查一定雷諾數(shù)范圍內(nèi)間歇式驅動能否提高能效，同時對間歇式驅動和連續(xù)式驅動產(chǎn)生的流場結構進行對比分析。

1 計算模型

1.1 問題描述與控制方程

我們考慮一個俯仰旋轉驅動薄板翼的自主推進問題。撲翼的弦長為L，旋轉角度隨時間的變化規(guī)律可以采用如下的分段函數(shù)描述(如圖1所示)：

(1)

(2)

其中θ0為轉角幅值，f為撲動頻率。Tcyc為一個包含主動撲動與被動滑行的完整周期，Tb=1/f為一個完整周期中主動撲動的時間，DC=Tb/Tcyc為占空比。Tr(t)為主動驅動和被動滑行之間的光滑過渡函數(shù)(為文獻[15]中過渡函數(shù)的平方)，其中m是過渡區(qū)長短的控制參數(shù)。

圖1 俯仰旋轉撲翼的自主推進問題Fig.1 Self-propulsion of a pitching foil

我們假設流動為二維層流。流動可以由如下無量綱形式的不可壓縮Navier-Stokes方程描述：

(3)

(4)

其中u和p代表流體的速度和壓力。本研究采用浸入邊界方法求解流體方程，即通過引入適當?shù)捏w積力源項f間接地實現(xiàn)撲翼表面的無滑移邊界條件。因此，f同時代表了撲翼和流體間的相互作用力。無量綱化的參考長度、參考速度和參考時間分別為L、fL和1/f。雷諾數(shù)的定義為：Ref=fL2/ν，這里ν是流體的運動學黏性系數(shù)。

薄板翼可以在水平方向上自主推進(豎直方向的位移通過俯仰旋轉指定)。薄板翼在水平方向的運動可以由如下無量綱形式的牛頓第二定律描述：

(5)

其中β=(ρsδ)/(ρfL)為質量比，這里ρs和ρf分別代表撲翼和流體的密度，δ為撲翼的厚度。Fx代表沿撲翼表面分布的(無量綱)拉格朗日力水平分量，Δs為拉格朗日網(wǎng)格的無量綱寬度(與求解流體方程歐拉網(wǎng)格的無量綱寬度相等)。在浸入邊界方法中，沿物面分布的拉格朗日力與出現(xiàn)在流體動量方程中的體積力源項可以通過適當?shù)牟逯捣椒ㄏ嗷マD換。

1.2 計算方法與計算網(wǎng)格

我們采用直接加力的浸入邊界方法處理運動邊界，采用離散流函數(shù)方法求解不可壓NS方程[17]。我們采用歐拉方法離散時間牛頓方程中的時間導數(shù)項，并且采用松耦合方法實現(xiàn)流體和動力學方程的耦合。我們在前期工作中，已經(jīng)通過大量的標準算例，對該求解器進行了嚴格的驗證[17-18]。

本研究采用多塊拼接的直角坐標網(wǎng)格(如圖2所示)，以運動翼周圍的矩形區(qū)域為網(wǎng)格最密的中心塊，圍繞它向外增加環(huán)形塊；每增加一塊，網(wǎng)格的幾何尺寸加倍。該文中總計算區(qū)域為[-23L,23L]×[-6L,6L]，網(wǎng)格總數(shù)為85萬，一共用了5個塊。其中，中心塊所占區(qū)域為[-15L,15L]×[-L,L]，網(wǎng)格尺寸為0.01L。

1.3 控制參數(shù)

為了在相同推進速度的條件下對比連續(xù)式驅動和間歇式驅動的推進效率。我們模擬了在基準頻率f0驅動下，占空比為0.2-0.9的間歇式驅動的自主推進問題。同時，我們還模擬了0.3-0.9倍基準頻率下連續(xù)式驅動(占空比為1.0)的自主推進問題。模擬采用的驅動頻率和占空比如表1所示。數(shù)值模擬采用的其它參數(shù)(雷諾數(shù)、質量比、轉角幅值和過渡區(qū)控制參數(shù))如表2所示。

表2 模擬所用的其它控制參數(shù)Table 2 Other parameters used in the simulations

2 結果與討論

2.1 瞬時推進速度

圖3對比了連續(xù)式驅動(f=0.7f0)和間歇式驅動(DC=0.5)條件下(兩者的平均推進速度相同)，頭部的水平速度隨時間的變化規(guī)律。由圖可見, 間歇式驅動的主動段存在兩段加速和兩段減速的復雜歷程,完全不同于連續(xù)式驅動的簡協(xié)振蕩規(guī)律。間歇式驅動的滑行段是一個速度單調(diào)下降的減速段。

圖3 一個周期內(nèi)頭部水平速度隨時間的變化(左右分別對應f=0.7f0的連續(xù)式驅動和DC=0.5的間歇式驅動,T=1/f為連續(xù)性運動的周期)Fig.3 Horizontal velocity of the head as a function of time (left and right plots correspond to the continuous actuation with f=0.7 f0 and the intermittent actuation with DC=0.5 respectively)

2.2 水平力與側向力

圖4對比了連續(xù)式驅動(f=0.7f0)和間歇式驅動(DC=0.5)條件下(兩者的平均推進速度相同)，水平合力隨時間的變化規(guī)律。如圖可見，間歇式驅動產(chǎn)生的水平合力在主動段出現(xiàn)了三個波峰和兩個波谷，完全偏離了連續(xù)式驅動對應的(近似)簡協(xié)振蕩規(guī)律。進入被動段后，水平合力表現(xiàn)為緩慢下降的阻力。

圖4 一個周期內(nèi)水平合力隨時間的變化(左右分別對應連續(xù)式驅動f=0.7 f0和DC=0.5的間歇式驅動,T=1/f為連續(xù)性運動的周期)Fig.4 Resultant horizontal force as a function of time (left and right plots correspond to the continuous actuation with f=0.7 f0 and the intermittent actuation with DC=0.5 respectively)

圖5對比了連續(xù)式驅動(f=0.7f0)和間歇式驅動(DC=0.5)條件下，側向合力隨時間的變化規(guī)律。間歇式驅動產(chǎn)生的側向合力在主動段出現(xiàn)兩個波峰和兩個波谷，同樣完全偏離了(近似)簡諧振蕩的規(guī)律。在進入被動段后，側向合力出現(xiàn)了一段時間的高頻振蕩，然后才逐漸衰減到零。

圖5 一個周期內(nèi)側向合力隨時間的變化(左右分別對應連續(xù)式驅動f=0.7f0和DC=0.5的間歇式驅動,T=1/f為連續(xù)性運動的周期)Fig.5 Resultant lateral force as a function of time (left and right plots correspond to the continuous actuation with f=0.7 f0 and the intermittent actuation with DC=0.5 respectively)

2.3 運動能耗

我們首先定義兩個衡量推進性能的重要指標，即平均推進速度和平均單位質量的輸入功率：

(6)

(7)

我們用單位質量單位距離的能耗(COT)來衡量推進效率，COT的定義為：

(8)

(9)

在Moored等的有黏數(shù)值模擬中，雷諾數(shù)的范圍是2500至7500，比本文雷諾數(shù)大約高一個量級。他們觀察到的COT隨推進速度的變化規(guī)律和本文的結果在定性上基本一致[15]。

圖6 COT隨推進速度的變化Fig.6 Variation of COT with the cruising velocity

2.4 流場結構

連續(xù)式和間歇式推進得到的流場結構如圖7所示，這里以推進速度定義的雷諾數(shù)為340(對應于圖6中的COT趨勢轉變點)。

如圖7所示，在連續(xù)式推進中，一個撲動周期內(nèi)有兩個渦從尾緣脫落。脫落的渦在尾跡中以反卡門渦街的形式水平排列。因此，流場的平均速度剖面可以保持上下對稱。在間歇式推進中，一個完整的周期(括主動驅動和被動滑行)內(nèi)有三個渦從尾緣脫落。其中，逆時針旋轉的渦(紅色代表的渦)由于渦之間的相互作用被撕裂為兩部分，并且和順時針旋轉的渦(藍色代表的渦)組成上下兩排渦對。由于上面一排渦對的強度明顯低于下面一排流場的，平均速度剖面上下對稱性被打破。可以推斷，間歇式驅動將會帶來平均側向力不為零的問題。這也是在仿生水下航行器的設計中需要考慮的問題。

圖7 連續(xù)式驅動(上)和間歇式驅動(下)的流場結構對比Fig.7 Comparison of the flow structures in continuous (upper) and intermittent (lower) propulsions

3 結 論

我們通過數(shù)值模擬研究了連續(xù)式和間歇式俯仰轉動驅動的撲翼自主推進問題。研究表明，在同樣推進速度的前提下，如果推進速度較低，連續(xù)式推進所需能耗較低；如果推進速度較高，則間歇式推進所需能耗較低。研究還發(fā)現(xiàn)，間歇式驅動產(chǎn)生的流場結構呈現(xiàn)明顯的上下不對稱性，因此會產(chǎn)生一定的平均側向力。本研究得到的結果對于仿生水下航行器的設計有一定的參考價值。

致謝:感謝國家超級計算天津中心提供的計算機機時。

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