DSMC計算中碰撞對取樣和時間推進環(huán)節(jié)的高效處理方法

屈 程, 王江峰(1. 中國飛行試驗研究院, 陜西 西安 710089; . 南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院, 江蘇 南京 10016)

0 引 言

DSMC方法是Bird從流動的物理模擬出發(fā)發(fā)展的一種直接模擬蒙特卡洛方法[1]，是模擬過渡領(lǐng)域真實氣體流動問題最成功的方法之一[2-5]。然而，DSMC方法的較大缺點是其對較高密度稀薄流問題的模擬能力不強，并且計算耗時太長，這大大限制了該方法的大規(guī)模應(yīng)用。為克服上述缺點，研究者們發(fā)展了多種方法，如采用多線程并行計算[6-7]、設(shè)計高效率分子搜索算法[7]、更改DSMC方法中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)[8]、引入碰撞距離思想[9-10]、發(fā)展自適應(yīng)當?shù)貢r間步長方法[11-12]等。

DSMC方法中，計算網(wǎng)格起兩種作用[13]。第一種是對流場宏觀流動參數(shù)進行空間離散，第二種是促進碰撞分子碰撞對的選擇，使其滿足基本的幾何接近。為了保證模擬結(jié)果的正確性，DSMC數(shù)值模擬中需要保證網(wǎng)格尺寸不超過當?shù)胤肿悠骄杂沙痰娜种弧８叱曀傧”×鲌鲋屑げ▍^(qū)域密度相對較大，分子平均自由程相對較小，而其它區(qū)域密度相對較低，分子平均自由程相對較大，在數(shù)值模擬過程中很難保證全流場滿足上述網(wǎng)格尺寸要求[10]；同時，為了對密度相對較大的區(qū)域有較高的平均自由程和碰撞頻率的分辨率，流場時間步長必須取得非常小，這會降低流場整體計算效率[11]。

為了放寬DSMC方法對網(wǎng)格尺寸的限制，文獻[7]在選擇分子碰撞對時引入了碰撞距離的思想，預(yù)先給定分子碰撞距離，以第一個分子的位置為圓心(或球心)，以碰撞距離為半徑做圓(或球)，在分子所在網(wǎng)格與圓(或球)的公共區(qū)域選擇第二個分子，該方法在每次分子碰撞對選擇時都需要進行公共區(qū)域判定及區(qū)域內(nèi)模擬分子標記，這必然會帶來較大的計算消耗。文獻[10]將自適應(yīng)碰撞距離的思想引入虛擬子網(wǎng)格方法，能夠避免上述處理帶來的計算消耗，但是該文獻采用常數(shù)作為分子碰撞對選取的最大循環(huán)次數(shù)，常數(shù)值過小會對計算精度造成影響，而過大又會降低計算效率；并且，當循環(huán)結(jié)束仍未找到滿足要求分子碰撞對時，該文獻直接采用隨機選擇的分子對進行碰撞處理，這會降低較疏網(wǎng)格情況下的計算精度。本文發(fā)展了一種基于自適應(yīng)碰撞距離的分子碰撞對選取方法，能夠在程序中動態(tài)設(shè)定適合于每個網(wǎng)格單元的分子碰撞對最大循環(huán)次數(shù)，同時對于循環(huán)結(jié)束仍不能找到滿足碰撞距離要求分子碰撞對的情況也做了針對性處理。

為了加快流場的時間發(fā)展歷程，研究者們發(fā)展了自適應(yīng)當?shù)貢r間步長方法，通過構(gòu)造流場探測器，在流場計算中動態(tài)更新每個網(wǎng)格單元內(nèi)的時間乘數(shù)因子Ti，網(wǎng)格單元i內(nèi)的模擬分子在Ti倍基時間步長間隔內(nèi)只處理一次。本文結(jié)合自適應(yīng)當?shù)貢r間步長方法和DSMC方法數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特點，發(fā)展了一種自適應(yīng)分子時間步長方法，能夠以模擬分子為最小時間步長調(diào)整單位，為其分配適當?shù)臅r間步長。

1 計算方法

1.1 DSMC方法介紹

DSMC方法使用大量的模擬分子模擬真實的氣體，用一個模擬分子代表一定數(shù)量的真實氣體分子，整個模擬中分子之間以及分子和物面之間不斷進行能量交換，在充足的模擬時間后，通過采樣統(tǒng)計得到每個網(wǎng)格的宏觀流場結(jié)果[14-15]。本文采用非結(jié)構(gòu)貼體網(wǎng)格，計算中采用可變硬球(Variable Hard Sphere，VHS)分子模型，采用恒溫邊界條件，物面采用完全漫反射條件，使用Larsen- Borgnakke唯象論模型處理模擬分子間的能量交換。

1.2 自適應(yīng)碰撞距離碰撞對選取方法

為了在保證計算精度的同時降低DSMC方法對網(wǎng)格尺寸的限制，本文引入碰撞距離的思想，發(fā)展了一種自適應(yīng)碰撞距離的分子碰撞對選取方法，網(wǎng)格單元i中的自適應(yīng)碰撞距離di由下式確定：

di=min(Hi,ref,λi/3)

(1)

其中，Hi,ref為網(wǎng)格單元i的特征尺寸，λi為單元i中的局部分子平均自由程，數(shù)值模擬過程中每隔400步對網(wǎng)格單元i中的λi和di進行一次更新，式(1)使碰撞距離限制在三分之一局部自由程之內(nèi)。

分子碰撞對選取的主要處理步驟如下：

1) 給定碰撞對中第二個分子選取的最大循環(huán)次數(shù)pi=max[1,int(NUMi/2)]，其中NUMi為網(wǎng)格單元i中的模擬分子數(shù)，集合{1,2,3...,NUMi}中的每個正整數(shù)對應(yīng)網(wǎng)格單元i中的一個模擬分子；

2) 首先在集合{1,2,3...,NUMi}中隨機選取一個正整數(shù)，并找到與之對應(yīng)的模擬分子M；

3) 采用步驟2中的方法隨機選取第二個模擬分子L，計算并存儲M和L之間的距離dML；

4) 判斷0

上述處理步驟中采用與網(wǎng)格單元i中分子數(shù)相關(guān)的max[1,int(NUMi/2)]作為碰撞對中第二個分子選取的最大循環(huán)次數(shù)，采用這種方式能夠獲得較高的碰撞對選取效率，引入max()函數(shù)是為了保證循環(huán)順利進行。步驟4中，達到pi次循環(huán)后仍未找到滿足需求的分子時，直接選取循環(huán)過程中距離M最近的分子與之構(gòu)成分子碰撞對，這樣處理可以在盡量滿足計算精度的同時保證計算效率。

1.3 自適應(yīng)分子時間步長方法

采用DSMC方法進行流場模擬時，需要記錄每個分子的性質(zhì)信息，包括速度、內(nèi)能、位置、所在網(wǎng)格單元以及分子組分等。經(jīng)過分析可以發(fā)現(xiàn)，如果在DSMC模擬中額外存儲每一個分子的時間乘數(shù)因子信息，并參照自適應(yīng)當?shù)貢r間步長的思想，利用分子速度大小和與分子所在網(wǎng)格單元相關(guān)的特征長度構(gòu)造時間乘數(shù)因子，則可以發(fā)展出一種以模擬分子為最小時間步長調(diào)整單位的自適應(yīng)分子時間步長方法，主要思想如下：

首先定義模擬分子所在網(wǎng)格單元的特征長度：

Hk,locate,ref=min(Hi,ref,λi/3)

(2)

特征長度與1.2節(jié)中的自適應(yīng)碰撞距離大小一致，同樣隨流場宏觀參數(shù)變化而改變。這樣可以保證自適應(yīng)分子時間步長方法和自適應(yīng)碰撞距離碰撞對選取方法的兼容，且適用于較疏網(wǎng)格。

調(diào)整編號為k分子的時間乘數(shù)因子Tk需要確定3個參數(shù)：最大允許時間乘數(shù)因子N，各分子初始時間乘數(shù)因子Tk,0，以及基時間步長Δt。最大允許時間乘數(shù)因子由人為設(shè)定，初始時間乘數(shù)因子設(shè)定為1，本文基時間步長選取由下式?jīng)Q定：

(3)

其中，Href為網(wǎng)格單元的等效尺寸，V∞為來流速度，V∞為來流分子碰撞頻率。

k編號分子的時間乘數(shù)因子Tk的調(diào)整方法為：

1) 保存當前的時間乘數(shù)因子，Tk,old=Tk；

2) 由分子速度大小Vk及分子所在單元特征長度Hk,locate,ref，確定其適合的時間乘數(shù)因子Tk,id= int(Hk,locate,ref/(VkΔt))，若Tk,id

如果當前時間步Nk,t滿足mod(Nk,t,Tk)=0，則開始處理編號為k的分子，該分子下一次運動和碰撞的時間步長Δtp通?？梢院唵蔚乇硎緸棣p=TkΔt，但由于分子可能在下一次被處理前已經(jīng)產(chǎn)生時間乘數(shù)因子的更新，此時Δtp≠TkΔt，因此，分子k下一次運動的時間步長可以表示為Δtp=[mod(Nk,t,Tk,old)+Tk,new-mod(Nk,t,Tk,new)]Δt，即為時間乘數(shù)因子調(diào)整以前剩余的運動時間步長mod(Nk,t,Tk,old)Δt和時間乘數(shù)因子調(diào)整以后的剩余時間步長[Tk,new-mod(Nk,t,Tk,new)]Δt之和。

DSMC方法的本質(zhì)是在近似小的時間步長內(nèi)，將分子的運動和分子間的碰撞進行解耦，采用自適應(yīng)分子時間步長方法時，同一個單元內(nèi)不同編號分子的時間乘數(shù)因子不盡相同，在Nk,t時間步、i單元中只有滿足mod(Nk,t,Tk)=0的分子才進行了運動模擬，因此，不能直接采用NTC法對i單元中的所有分子進行碰撞對取樣，需要作出適當調(diào)整，本文的做法是在每個基時間步都對i單元中滿足mod(Nk,t,Tk)=0的分子進行標記和數(shù)目統(tǒng)計，根據(jù)滿足上述條件的分子計算碰撞數(shù)，并在其中進行分子碰撞對選取，通過上述方式保證單元中碰撞頻率與實際一致。

2 算例驗證1：自適應(yīng)碰撞距離碰撞對選取

采用不同網(wǎng)格尺寸下的圓柱外形對發(fā)展的自適應(yīng)碰撞距離分子碰撞對選取方法進行了計算分析。圓柱半徑R=0.08 m，來流氣體摩爾百分比為N2∶O2=0.763∶0.237，分子數(shù)密度為n=3.84×1020/m3，來流速度7500 m/s，來流溫度為Tinf=186 K，物面溫度為Twall=1000 K，采用統(tǒng)一時間步長。

為了對自適應(yīng)碰撞距離碰撞對選取方法進行驗證，本文選取了兩種不同尺寸的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格進行了計算分析：第一種為較密的網(wǎng)格(物面附近網(wǎng)格尺度為來流分子平均自由程的六分之一，遠場網(wǎng)格尺度為來流分子平均自由程的三分之一)，網(wǎng)格單元數(shù)為70890；第二種為較疏的網(wǎng)格，網(wǎng)格單元數(shù)為17710。對第二種網(wǎng)格分別采用自適應(yīng)碰撞距離方法與不采用該方法兩種工況進行了計算分析。

圖1、圖2和圖3分別給出了兩種網(wǎng)格尺寸下物面熱流、壓力以及摩阻分布，從中可以看出，17710個單元的較疏網(wǎng)格在采用自適應(yīng)碰撞距離方法后能夠得到與70890個單元的較密網(wǎng)格符合較好的物面熱流、壓力以及摩阻分布結(jié)果，不采用自適應(yīng)碰撞距離方法的較疏網(wǎng)格與較密網(wǎng)格結(jié)果吻合得相對較差，圓柱外形算例表明本文發(fā)展的自適應(yīng)碰撞距離碰撞對選取方法能夠一定程度放寬DSMC方法對網(wǎng)格尺寸的限制，在相對較疏的網(wǎng)格下取得相對令人滿意的結(jié)果。

圖1 不同網(wǎng)格下物面熱流密度分布Fig.1 Heat flux on the surface at different grid sizes

圖2 不同網(wǎng)格下物面壓力分布Fig.2 Pressure on the surface at different grid sizes

圖3 不同網(wǎng)格下物面摩阻分布Fig.3 Friction on the surface at different grid sizes

3 算例驗證2：自適應(yīng)分子時間步長

以算例2中的圓柱外形為例，選用網(wǎng)格單元數(shù)為17710的較疏網(wǎng)格，在采用自適應(yīng)碰撞距離碰撞對選取方法的基礎(chǔ)上，進行采用自適應(yīng)分子時間步長方法和采用統(tǒng)一時間步長的對比計算，基時間步長取為2×10-7s，計算條件與算例2保持一致，流場模擬分子總數(shù)趨于穩(wěn)定后約為28萬。對比計算是在一臺配置為Intel(R) Core(TM)2 2.80GHz，2.00GBRAM的微機上進行，運動和碰撞模擬共進行100000步，流場參數(shù)統(tǒng)計進行1000步。

圖4給出了采用不同最大時間乘數(shù)因子每執(zhí)行100步運動和碰撞模擬所用時間的比較，N=1表示采用統(tǒng)一時間步長。從圖4可以看出，隨著N的增大，計算時間下降較快，當N>8時，計算時間趨于平穩(wěn)，這主要是由于局部分子碰撞頻率控制了局部分子時間步長的自適應(yīng)過程，致使計算時間不能繼續(xù)下降，該趨勢與文獻[7]一致。本算例中最大時間乘數(shù)因子取N=10的計算時間為3.12 h，采用統(tǒng)一時間步長的計算時間為8.92 h，加速比為2.86。因此，采用本文發(fā)展的自適應(yīng)分子時間步長方法可以顯著縮短模擬所需的計算時間。

圖4 每100步計算時間比較Fig.4 Comparison of computing time every 100 steps

圖5為采用統(tǒng)一時間步長(N=1)的結(jié)果和N=10的流場平動溫度和壓力等值線對比圖，等值線圖按完全相同的參數(shù)繪制，從圖中可以看出，兩種方法下流場等值線幾乎完全一致。圖6為N=1和N=10的物面壓力和熱流密度的對比圖，同樣符合很好。圖5、圖6表明采用本文發(fā)展的自適應(yīng)分子時間步長方法對計算結(jié)果幾乎不產(chǎn)生影響。

圖5 不同最大時間乘數(shù)因子對流場結(jié)構(gòu)影響的比較Fig.5 Comparison of field structure with different N

(a) 壓力

(b) 熱流密度

4 結(jié) 論

本文研究了DSMC計算中的高效處理方法，在碰撞對取樣環(huán)節(jié)引入碰撞距離的思想，發(fā)展了一種自適應(yīng)碰撞距離的分子碰撞對選取方法；在時間推進環(huán)節(jié)以模擬分子為最小時間步長調(diào)整單位，發(fā)展了一種自適應(yīng)分子時間步長方法。對圓柱外形驗證算例的計算分析表明在DSMC計算中采用本文發(fā)展的高效處理方法能夠在相對較疏的網(wǎng)格下得到與傳統(tǒng)DSMC計算相一致的結(jié)果。本文的方法能夠一定程度放寬DSMC方法對網(wǎng)格尺寸的限制，并且能夠大幅度縮短流場達到穩(wěn)定需要的計算時間。

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