高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)

李富榮

摘 要：高中新課改發(fā)展到今天，在數(shù)學(xué)課程改革的各個(gè)方面，都取得了顯著成果。在高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)方面，筆者同事不僅就新教材做了深入研究，而且就應(yīng)用題教學(xué)做了不少實(shí)踐性探索。高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題離不開生活化背景，從培養(yǎng)興趣入手，順應(yīng)時(shí)代對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求，我們進(jìn)行了理論研究和實(shí)踐探索。瞄準(zhǔn)高中學(xué)生思維特點(diǎn)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，都要從課堂發(fā)力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課程 應(yīng)用意識(shí) 實(shí)踐能力

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2018）12（c）-0225-02

許多人認(rèn)為，數(shù)學(xué)是側(cè)重于抽象思維的，屬于高度抽象的學(xué)科，但這并不排斥數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系，恰恰相反，數(shù)學(xué)本身正是實(shí)際應(yīng)用的需要才促其產(chǎn)生發(fā)展走到今天，并不斷豐富其理論和方法。因此數(shù)學(xué)教育工作者必須研究數(shù)學(xué)教學(xué)生活化的方法，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿生活情趣，這樣更有助于興趣培養(yǎng)。

本文就自己在高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題教學(xué)方面的體會(huì)和看法，結(jié)合案例，談一些粗淺的認(rèn)識(shí)，以資交流。培養(yǎng)和提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，使學(xué)生能夠提出、分析和解決有實(shí)際意義的數(shù)學(xué)問題，準(zhǔn)確而靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言研究和表述問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的核心要求。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程的始終都應(yīng)注重學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，加大應(yīng)用問題的教學(xué)力度。

1 高中數(shù)學(xué)新教材中的應(yīng)用問題的編排

課改前，我們的教學(xué)，勿庸諱言，對(duì)學(xué)生所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程、問題探究背景比較粗放和輕視。基于此，新教材對(duì)這一方面做了大的調(diào)整，注入了新鮮的有實(shí)踐性的和可操作性的數(shù)學(xué)素材。從而將應(yīng)用意識(shí)滲透在教學(xué)的各個(gè)方面。

（1）課本習(xí)題中加大了應(yīng)用問題的比重。為使同學(xué)們加深對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解，循序漸近地提升自身分析能力，新課程中大幅提升了應(yīng)用題比重，其中節(jié)后練習(xí)47題，占比為13%；習(xí)題有93題，占比17%，復(fù)習(xí)題約有48題，占比15%，分別涉及生物、銀行、經(jīng)濟(jì)等諸多方面。涵蓋了行程問題、增長(zhǎng)率、儲(chǔ)蓄等各類問題。類型多樣，趣味興較強(qiáng)，融知識(shí)性、實(shí)踐性于一爐。

（2）附加了閱讀了解內(nèi)容。所選問題蘊(yùn)含了深刻的數(shù)學(xué)思想，緊密聯(lián)系中學(xué)生活，用于開闊視野的題材，共安排了13個(gè)之多；其中略舉幾例。

①數(shù)學(xué)史方面，如第2單元《函數(shù)》的“對(duì)數(shù)與指數(shù)發(fā)展史”第5單元《平面向量》“人們?cè)缙谠鯓訙y(cè)量地球半徑？”

②介紹生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用方面，如第8單元《圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及應(yīng)用》，第10單元《抽簽有先后對(duì)各人公平嗎？》

③擴(kuò)充知識(shí)方面：2-2第3章中簡(jiǎn)介了數(shù)系發(fā)展擴(kuò)充的背景。

（3）章頭序言內(nèi)容獨(dú)具匠心，突出知識(shí)的實(shí)際背景，比如在《導(dǎo)數(shù)》一章的引言中簡(jiǎn)介了導(dǎo)數(shù)實(shí)際是物理學(xué)和幾何數(shù)的發(fā)展，迫切需要數(shù)學(xué)從理論層面將變化率一類徹底解決。

（4）研究“概念問題”時(shí)以生產(chǎn)生活實(shí)例引入課題，如分段函數(shù)以郵資問題引入、向量數(shù)量積概念用功和位移關(guān)系引入等，不一而足。

2 高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題問題的教學(xué)實(shí)踐與案例分析

案例一

問題：在防疫檢疫過程中，已知5只兔子中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物。血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性即為患病，呈陰性即沒患病，下面是兩種化驗(yàn)方法。

方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病兔子為止。

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)，若呈陽(yáng)性則表明患病動(dòng)物為3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病兔子為止。若結(jié)果呈陽(yáng)性，則在另外兩只中任取1只化驗(yàn)。

（1）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率。

（2）ξ表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)。求ξ的期望。

[教師引導(dǎo)]方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)可能取值為1、2、3、4，方案乙的可能次數(shù)為2、3，故直接考慮，情況較多，不妨研究甲方案次數(shù)少于乙方案次數(shù)這一對(duì)立情況。

若記方案乙所需的化驗(yàn)次數(shù)為Di（i=2、3）i=3表示從5只任選3只后，第2、3次化驗(yàn)均得陰性，其實(shí)只考慮第2次檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，故。

解：記C1、C2分別表示依方案甲化驗(yàn)1次、2次；D2、D3分別表示依案乙所需化驗(yàn)次數(shù)為2次、3次；C表示依案甲的化驗(yàn)次數(shù)不少于方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，并且C2與D3獨(dú)立。

（1）

（2）ξ的可能取值為2、3

本例作為高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題經(jīng)典，聯(lián)系生物檢疫實(shí)際，讓學(xué)生深入研究隨機(jī)事件發(fā)生的可能情況和概率值。要考慮明白，必須將整個(gè)檢疫過程形成模型，將各種可能發(fā)生的情況通盤考慮，并選擇簡(jiǎn)潔解法。既要有數(shù)學(xué)思維的慎密，又要有處理實(shí)際問題的建模能力。

案例二：學(xué)習(xí)“分期付款”問題的研究性課題。

對(duì)大多數(shù)顧客而言，一次性支付大額售價(jià)的物品時(shí)困難大，另一方面商鋪也不斷改進(jìn)促銷方式，方便顧客。對(duì)它的探究會(huì)引起同學(xué)們非常高的興趣。應(yīng)突出以探索發(fā)現(xiàn)為主，點(diǎn)拔介紹為輔之方略。

第一階段：學(xué)生研讀教材方案表，明確毎一付款方案的次數(shù)方式。

第二階段：指導(dǎo)同學(xué)們研究方案（二）即分6次付清，購(gòu)買后第2個(gè)月第一次付款，再過2個(gè)月第2次支付……購(gòu)買后12個(gè)月第6次付款，月利率為0.8%，毎月利息按復(fù)利計(jì)算。

先讓學(xué)生試做，不必指出對(duì)錯(cuò)，只需大家研判兩種方式對(duì)誰(shuí)有利。結(jié)果可知均不符合買賣公平原則。

此時(shí)，教師指出分期付款的條件，將原題問題分解：

（1）從商品出售到貨款全部付清時(shí)增值多少？

（2）各期付款額到貨款全部付清時(shí)分別增值到多少？

（3）利用出售時(shí)的有關(guān)流程規(guī)定列出方程，最后：由學(xué)生分組交流，選擇最優(yōu)方案得出一般結(jié)論。

利用這種教師引導(dǎo)下的學(xué)生自主探究方案來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)用的問題，效果倍佳。

3 對(duì)高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)建議

在數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)和對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的指導(dǎo)中，應(yīng)重視介紹數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生發(fā)展過程。

一般情況下，數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生不外乎實(shí)際的需要和數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要，高中階段所學(xué)的知識(shí)大都是來源于實(shí)際生活，許多的數(shù)學(xué)知識(shí)都有具體直接的應(yīng)用，如高二運(yùn)用不等式的性質(zhì)計(jì)算最值、線性規(guī)劃、高三的概率統(tǒng)計(jì)等。應(yīng)該讓學(xué)生充分實(shí)踐和體驗(yàn)這些知識(shí)是如何使用的，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。數(shù)學(xué)語(yǔ)言可以清楚、簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地描述日常生活中的許多現(xiàn)象，讓學(xué)生養(yǎng)成樂意運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流的習(xí)慣，既可以增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，也可以提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力。

4 結(jié)語(yǔ)

應(yīng)用是數(shù)學(xué)發(fā)端的源動(dòng)力，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的落腳點(diǎn)。身為高中數(shù)學(xué)教師，只要在應(yīng)用理念指引下，踐行生活化行為，并通過科學(xué)有效手段，將高中數(shù)學(xué)與生活實(shí)際有機(jī)結(jié)合，就一定能和學(xué)生一道收獲數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的甜美果實(shí)。

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