基于APOS理論的函數(shù)概念“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)

趙思林+李雪梅

摘要：APOS理論是由美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基提出的一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的新理論.但由于目前基于APOS理論的教學(xué)設(shè)計(jì)較少，本文以“函數(shù)概念”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，通過對(duì)APOS理論的解讀、對(duì)函數(shù)概念教學(xué)的解讀，設(shè)計(jì)了基于APOS理論的函數(shù)概念“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)，即“憶”—“讀”—“思”—“辨”—“定”—“懂”—“用”—“悟”.目的是在函數(shù)概念的學(xué)習(xí)過程中展示知識(shí)獲得的4個(gè)階段，并在實(shí)踐的基礎(chǔ)上針對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)提出了相關(guān)建議，突破教學(xué)難點(diǎn).

關(guān)鍵詞：APOS理論；函數(shù)概念；“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)

目前對(duì)函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)很多，但基于某種學(xué)習(xí)理論是函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)卻很少.基于這個(gè)現(xiàn)狀，在APOS理論的指導(dǎo)下對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)，旨在為APOS理論的具體應(yīng)用以及概念教學(xué)方法提供參考.

一、APOS理論的概述

APOS理論的由美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基（Dubinsky）在20世紀(jì)80年代提出的一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的新理論，是一種具有數(shù)學(xué)學(xué)科特色的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，被譽(yù)為近年來數(shù)學(xué)教育界最大的理論成果之一，它包含活動(dòng)（Action）、程序（Process）、對(duì)象（Object）和圖式（Schema）4個(gè)階段[1].

活動(dòng)階段數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，操作運(yùn)算行為是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)性行為.學(xué)生要親自參與，通過實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來獲得知識(shí).

過程階段不斷重復(fù)這種操作，學(xué)生從中不斷反思，于是就會(huì)在大腦中進(jìn)行一種內(nèi)部的心理建構(gòu)，即形成一種過程模式.這種過程模式使得操作呈現(xiàn)出自動(dòng)化的表現(xiàn)形式，而不再借助于外部的不斷刺激.

對(duì)象階段當(dāng)學(xué)生意識(shí)到可以把這個(gè)過程看做一個(gè)整體，并意識(shí)到可以對(duì)這個(gè)整體進(jìn)行轉(zhuǎn)換和操作的時(shí)候，其實(shí)已經(jīng)把這個(gè)過程作為一個(gè)一般地?cái)?shù)學(xué)對(duì)象，形成一個(gè)“實(shí)體”.這時(shí)不但可以具體地去指明它所具有的各種性質(zhì)，也可以此為對(duì)象具體地去實(shí)施各種特定的數(shù)學(xué)演算.

圖式階段個(gè)體對(duì)操作、過程、對(duì)象以及他自己頭腦中的原有的相關(guān)方面的問題圖式進(jìn)行相應(yīng)的整合、精選就會(huì)產(chǎn)生出新的問題圖式，這種圖式的作用和特點(diǎn)就是可以決定某些問題或某類問題是否屬于這個(gè)圖式，從而就會(huì)做出不同的反應(yīng).顯然，個(gè)體的思維和認(rèn)識(shí)狀況在這種持續(xù)建構(gòu)中已經(jīng)上升到更高的層次，即對(duì)有關(guān)概念進(jìn)行了更高層次的加工和心理表征.

二、基于APOS理論的函數(shù)概念“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)

1 函數(shù)概念的“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)與簡要說明

下面給出函數(shù)概念的“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)（或稱“八環(huán)節(jié)”）的流程圖，如圖1，并對(duì)“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)的含義作初步說明.

函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)中的“八步”是指：“憶”—“讀”—“思”—“辨”—“定”—“懂”—“用”—“悟”.下面對(duì)這“八步”的含義作初步說明.

“憶”是指回憶初中函數(shù)的概念及其相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，幫助學(xué)生提取已有的知識(shí)，為新課的學(xué)習(xí)做好知識(shí)儲(chǔ)備，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

“讀”是指對(duì)給出的例子的品讀，找出每個(gè)實(shí)例中所隱含的核心內(nèi)容，為進(jìn)一步抽象概括得到函數(shù)概念提供支持.通過“讀”的形式，培養(yǎng)了學(xué)生的閱讀理解的能力.

“思”是指通過對(duì)所給3個(gè)實(shí)例的分析，引導(dǎo)學(xué)生用集合與對(duì)應(yīng)的語言來刻畫實(shí)例，為用對(duì)應(yīng)描述變量之間的依賴關(guān)系奠定基礎(chǔ)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生分析問題和提取信息的能力.

“辨”是指通過對(duì)3個(gè)實(shí)例的歸納總結(jié)，概括出3個(gè)例子中所蘊(yùn)含的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，進(jìn)而抽象出函數(shù)概念的“粗”定義，通過學(xué)生的觀察、分析、比較、歸納和概括，培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力和概括抽象能力.

“定”（即定義）是指函數(shù)概念的形式化定義，即“精”定義.對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行準(zhǔn)確的定義，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化、符號(hào)化、精確化等過程.

“懂”是指對(duì)定義的理解，理解是記憶的基礎(chǔ)，理解是應(yīng)用知識(shí)的前提，只有通過對(duì)概念的深刻理解，才能使所學(xué)知識(shí)意義化、系統(tǒng)化、條理化[2].這一步通過一系列問題：即在函數(shù)概念中，你認(rèn)為有哪些是關(guān)鍵詞？函數(shù)的構(gòu)成要素有哪些？ 怎樣理解函數(shù)的概念呢？

怎樣理解函數(shù)定義中符號(hào)fx和y=fx的意義呢？達(dá)到突破難點(diǎn)的目的，使學(xué)生真正“懂”得函數(shù)概念.

“用”是指應(yīng)用，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決新的數(shù)學(xué)問題時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮怎樣用、何時(shí)用等問題？函數(shù)概念的應(yīng)用十分廣泛，實(shí)際運(yùn)用時(shí)一般不是簡單的直接用定義，而是著眼于間接性的用，變用及創(chuàng)造性地用等.

“悟”是指感悟數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，掌握數(shù)學(xué)思想就是掌握數(shù)學(xué)的精髓.函數(shù)概念蘊(yùn)涵豐富的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，類比思想等.

2 基于APOS理論的函數(shù)概念“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)與設(shè)計(jì)意圖分析

第一階段觀察與操作（活動(dòng)階段）——表現(xiàn)為主的感性認(rèn)識(shí)

函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)核心概念，它的學(xué)習(xí)橫跨初高中兩個(gè)階段.為了讓學(xué)生在一步步的操作中獲得對(duì)函數(shù)概念的初步認(rèn)識(shí)，選取了三個(gè)生活中學(xué)生熟知的實(shí)例——炮彈發(fā)射問題、臭氧層空洞問題、恩格爾系數(shù)問題，讓學(xué)生可通過具體實(shí)例更為直觀地感知函數(shù)的概念.這是APOS理論的活動(dòng)階段.

依據(jù)函數(shù)概念的“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)，提出了如下教學(xué)建議，并對(duì)每一步都說明設(shè)計(jì)意圖.

第一步：“憶”

函數(shù)概念是高中學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，通過讓學(xué)生回憶初中函數(shù)的概念，把握函數(shù)的核心思想，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高中函數(shù)概念打下基礎(chǔ).

問題1同學(xué)們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過“函數(shù)”，大家能說出初中函數(shù)的概念嗎？能否舉幾個(gè)函數(shù)的具體例子.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)過的函數(shù)概念，把握其內(nèi)涵，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.

問題2同學(xué)們，y=1 x∈R是函數(shù)嗎？

（用初中函數(shù)的概念不能回答這個(gè)問題，要解決這個(gè)問題就要引入更加確切的語言來表達(dá)函數(shù)的概念，從而引入新課）endprint

設(shè)計(jì)意圖幫助學(xué)生提取已有的知識(shí)，為新課的學(xué)習(xí)做好知識(shí)儲(chǔ)備.通過設(shè)置問題“y=1 x∈R是函數(shù)嗎”，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，使其處于“憤”的狀態(tài)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生以最佳狀態(tài)進(jìn)入新課的學(xué)習(xí).

第二步：“讀”

通過閱讀現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例，讓學(xué)生初步感知數(shù)集之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，

例1一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到底面擊中目標(biāo)，炮彈的射高為845m，且炮彈距底面的高度h（單位：m）隨時(shí)間t（單位：s）變化的規(guī)律是h=130t-5t2.

問題3如果用t表示時(shí)間，h表示炮彈距底面的高度，兩個(gè)量t，h能構(gòu)成函數(shù)嗎？t和h的變化范圍分別是什么？

例2近幾十年來，大氣層中的臭氧層迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題，下圖中的曲線現(xiàn)實(shí)了南極上空臭氧層空洞的面積從1979—2001年的變化情況.

問題4如果用t表示時(shí)間，S表示臭氧層空洞面積，這里的變量t，S之間是否是函數(shù)關(guān)系，它們各自的變化范圍是什么？試用集合A，B表示.

用集合A，B表示變量t，S的變化范圍為：

A=t1979≤t≤2001，B=S0≤t≤26.

例3國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個(gè)國家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高，下表中恩格爾系數(shù)隨時(shí)間變化的情況表明，“八五”計(jì)劃以來，我國城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著的變化.

“八五”計(jì)劃以來，我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況

問題5如果用t表示時(shí)間，S表示恩格爾系數(shù)，兩個(gè)量t，S能構(gòu)成函數(shù)嗎？t和S的變化范圍用集合A，B表示分別是什么？

用集合A，B表示變量t，S的變化范圍為：

A=t1991≤t≤2001，B={S|379≤S≤538}.

設(shè)計(jì)意圖從實(shí)例中體會(huì)到函數(shù)可以用解析式、圖像、圖表來刻畫，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，靈活應(yīng)變的能力.

第二階段綜合分析（過程階段）——思維活動(dòng)為主的理性思考

通過對(duì)3個(gè)實(shí)例是否構(gòu)成函數(shù)，及其變量的變化范圍的討論，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考兩個(gè)變量之間是否存在某種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生用集合與對(duì)應(yīng)的語言來刻畫實(shí)例.學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解由感性上升到理性.這是過程階段.

第三步：“思”

問題6在例1中，如果把t的取值范圍看成集合A，h的取值范圍看成集合B，對(duì)集合A中每一個(gè)元素t與集合B中的元素有什么關(guān)系呢？

于是，有：

①t的變化范圍是數(shù)集A=t0≤t≤26；

②h的變化范圍是數(shù)集B=h0≤h≤845；

③對(duì)于A中的任意一個(gè)時(shí)間t，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系h=130t-5t2都有唯一的高度h和它對(duì)應(yīng)，從而構(gòu)建了從A到B的一個(gè)對(duì)應(yīng)f：A→B.

設(shè)計(jì)意圖從實(shí)例中找出函數(shù)可以用解析式來刻畫，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題的能力，靈活應(yīng)變的能力.

問題7在例2和例3中，對(duì)集合A中每一個(gè)元素x與集合B中的元素有什么關(guān)系？

對(duì)于A中的任意一個(gè)時(shí)間t，按照某一對(duì)應(yīng)關(guān)系都有唯一的S和它對(duì)應(yīng)，從而構(gòu)建了從A到B的一個(gè)對(duì)應(yīng)f：A→B.

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生用集合與對(duì)應(yīng)的語言來刻畫實(shí)例通過語言之間的轉(zhuǎn)化，變一種說法，牽出對(duì)應(yīng)這一說法，為用對(duì)應(yīng)描述變量之間的依賴關(guān)系奠定基礎(chǔ)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生分析問題和提取信息的能力.

第四步：“辨”

問題8以上3個(gè)實(shí)例有什么相同點(diǎn)？不同點(diǎn)？

相同點(diǎn)：通過歸納概括，可以得到： 在集合A中每取一個(gè)數(shù)，按照一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合B中都有唯一的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，構(gòu)建了從A到B的一個(gè)對(duì)應(yīng)f：A→B.即：

（1）都有兩個(gè)非空數(shù)集A，B；

（2）兩個(gè)數(shù)集間都有一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

（3）對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)數(shù)，數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng).

不同點(diǎn)：（1）實(shí)例1是用解析式刻畫變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

（2）實(shí)例2是用圖象刻畫變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

（3）實(shí)例3是用表格刻畫變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖由前面3個(gè)實(shí)例，抽象概括出函數(shù)概念的本質(zhì)，借助3個(gè)集合單值對(duì)應(yīng)關(guān)系圖，這樣處理有利于形成知識(shí)的正遷移.通過學(xué)生的觀察、分析、比較、歸納、概括，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的能力，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

第三階段建構(gòu)理論（對(duì)象階段）——數(shù)學(xué)的表示與應(yīng)用

在教師的引導(dǎo)下，由學(xué)生抽象、總結(jié)、概括函數(shù)的概念，即得到函數(shù)概念的準(zhǔn)確定義，并在此基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞、構(gòu)成要素、符號(hào)進(jìn)行解讀，逐個(gè)擊破難點(diǎn)，使學(xué)生更加深刻的理解函數(shù)概念.這是對(duì)象階段.

第五步：“定”（即定義）

問題9你能用集合的觀點(diǎn)給函數(shù)重新下個(gè)定義嗎？（得出函數(shù)的概念）

函數(shù)概念：設(shè)A，B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)應(yīng)集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)fx和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=fx，x∈A.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合fxx∈A叫做函數(shù)的值域.

設(shè)計(jì)意圖本環(huán)節(jié)是實(shí)現(xiàn)從“描述性定義”到嚴(yán)格的符號(hào)化定義的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

第六步：“懂”

問題10在這個(gè)定義中，你認(rèn)為有哪些是關(guān)鍵詞？函數(shù)的構(gòu)成要素有哪些？ 怎樣理解函數(shù)的概念呢？

概念中的關(guān)鍵點(diǎn)：

①A，B是非空數(shù)集；

②對(duì)應(yīng)關(guān)系f可以通過解析式、圖象、列表來表示；

③任意、存在、唯一；

④符號(hào)“y=fx”的含義；endprint

⑤函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系.

問題11怎樣理解函數(shù)定義中符號(hào)fx和y=fx的意義呢？

對(duì)符號(hào)fx的理解：符號(hào)fx不能理解為f與x相乘，因?yàn)閒本身不是數(shù)，可將抽象符號(hào)f（x）與學(xué)生“加工”的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來，幫助學(xué)生理解符號(hào)f（x）.如果把函數(shù)f比喻為“加工機(jī)器”.輸入原料x，通過“加工機(jī)器”f輸出唯一確定的產(chǎn)品fx.也可以把函數(shù)fx看成是“計(jì)算機(jī)器”f對(duì)x實(shí)施的“一系列運(yùn)算”.例如，fx=x2-2x+3可以看成f對(duì)x實(shí)施了“平方，減2倍，再加3”這一系列運(yùn)算.這對(duì)學(xué)生理解函數(shù)f和函數(shù)值的計(jì)算都是非常有實(shí)效的.

對(duì)符號(hào)y=fx的理解：因?yàn)閥表示x的函數(shù)，且f（x）表示x的函數(shù)，所以y=fx.

設(shè)計(jì)意圖通過對(duì)函數(shù)概念及函數(shù)構(gòu)成要素的分析，深入理解函數(shù)概念中的難點(diǎn)知識(shí).

通過逐步解析，理解“關(guān)鍵詞”、“函數(shù)構(gòu)成要素”、“符號(hào)fx和y=fx的意義”等難點(diǎn).對(duì)難點(diǎn)逐個(gè)擊破，使學(xué)生深刻理解函數(shù)的概念.

第四階段形成圖式（圖式階段）——辨析與反思

最后設(shè)計(jì)不同層次例題和練習(xí)，學(xué)生從不同背景下理解函數(shù)概念，通過對(duì)函數(shù)概念的多角度思考，完善函數(shù)概念認(rèn)知圖式.這是圖式階段.

第七步：“用”

例題是為了使學(xué)生更好地理解函數(shù)定義而設(shè)置的，既考慮了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性.

典例解析已知函數(shù)fx=x+3+1x+2.

（1）求函數(shù)fx的定義域；

（2）求f-3， f23的值；

（3）當(dāng)a>0時(shí)，求fa， fa-1的值.

思考怎樣求函數(shù)的定義域？fx與fa有何區(qū)別與聯(lián)系？

點(diǎn)撥fa表示當(dāng)自變量x=a時(shí)函數(shù)fx的值，是一個(gè)常量，而fx是自變量x的函數(shù)，它是一個(gè)變量，fa是fx的一個(gè) 特殊值.

設(shè)計(jì)意圖通過例1使學(xué)生學(xué)會(huì)求簡單函數(shù)的定義域，以此更好地突出重點(diǎn).例1表明當(dāng)對(duì)應(yīng)法則確定后，對(duì)應(yīng)定義域內(nèi)的一個(gè)數(shù)，只要將它代入解析式，就可求出它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)符號(hào)的含義.

練習(xí)請大家根據(jù)所學(xué)的函數(shù)定義分析初中學(xué)習(xí)過的幾個(gè)具體函數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)的描述性定義上升到集合與對(duì)應(yīng)刻畫的定義，加深對(duì)函數(shù)概念的理解，鞏固所學(xué)知識(shí).

第八步：“悟”

“悟”是熟悉思想的感悟和提煉.教師可引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)概念教學(xué)中主要有以下幾種思想：類比思想，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想等.

類比思想：類比初中函數(shù)的概念，為高中函數(shù)概念的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.

分類討論思想：通過對(duì)3個(gè)實(shí)例的解讀，分別探討了函數(shù)不同的表達(dá)形式（解析式、圖像、圖表），并在此基礎(chǔ)上概括抽象了3個(gè)實(shí)例間的共性和特性，從而進(jìn)一步抽象得到函數(shù)的概念.

數(shù)形結(jié)合思想：函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，多處運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合的思想.

設(shè)計(jì)意圖依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》提出的：“概念教學(xué)應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).通過典型例子…使學(xué)生體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想方法…[3]”.教師在進(jìn)行教學(xué)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的思想方法，幫助學(xué)生鞏固本節(jié)課的主要內(nèi)容，加深印象.

布置作業(yè)

1復(fù)習(xí)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.

2必做題：教材第19頁練習(xí)第1、2題，第24頁習(xí)題12第4題.

3選做題：老師板書.

設(shè)計(jì)意圖及時(shí)復(fù)習(xí)所學(xué)，使其融匯貫通；必要練習(xí)，加深對(duì)概念本質(zhì)的理解；通過分層作業(yè)體現(xiàn)了學(xué)生課外探究具有選擇性、多樣性，從而滿足各個(gè)層次學(xué)生的需求，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展，體現(xiàn)了新課標(biāo)中“以學(xué)生發(fā)展為本”的理念.

四、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)重視學(xué)生的親身體驗(yàn)，借助學(xué)生的生活經(jīng)歷，將新知識(shí)與學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來.并且注重挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)背景，再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象過程，問題情境的設(shè)置形成逐層深入，環(huán)環(huán)相扣的問題鏈，以問題解決為線索，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)討論、積極探索，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際背景、圖象等多方面理解函數(shù)的本質(zhì).并在教學(xué)過程中通過具體函數(shù)來理解函數(shù)的一般概念，強(qiáng)調(diào)對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解.

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)歷了“特殊—一般——特殊”的過程，豐富了其數(shù)學(xué)思維，對(duì)比了初高中函數(shù)概念，上升了對(duì)函數(shù)的認(rèn)知.在這個(gè)過程中，倡導(dǎo)自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式，強(qiáng)調(diào)在實(shí)踐中完成學(xué)生自身知識(shí)的建構(gòu).

APOS理論對(duì)函數(shù)概念教學(xué)具有十分重要的指導(dǎo)意義，關(guān)于在教學(xué)中如何利用好APOS理論，提出了以下建議：（1）教師要合理運(yùn)用和開發(fā)教材，根據(jù)學(xué)生的思維活動(dòng)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)；（2）教師要通過各種反饋信息，了解學(xué)情，反思教學(xué)；（3）教師在教學(xué)中要注意滲透數(shù)學(xué)思想，要增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

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