這些加速器真奇怪！

羅振國(guó)

摘要：回旋加速器考點(diǎn)頻繁呈現(xiàn)在各地高考試題中，然而近幾年的試題所考查的方式和考查的模型已悄然變化，如果我們還是把思維停留在原方式上，在碰到此類新穎題目時(shí)，勢(shì)必會(huì)無從下手，所以我們要與時(shí)俱進(jìn)，認(rèn)識(shí)并熟悉這些加速器，只有在平時(shí)把功夫下足，我們才能切實(shí)提高能力，做到有效得分.

關(guān)鍵詞：加速器；方式；能力

回旋加速器是考查帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的重要模型，一直以來在課本上占據(jù)著重要地位，也是高考復(fù)習(xí)中的備考重點(diǎn).然而最近幾年出現(xiàn)的高考試題卻讓大部分考生有無從下手之感，試題不僅考查的方式在不斷翻新，而且模型也在“喬裝打扮”.正所謂“少見多怪”，我們還是來認(rèn)識(shí)一下這些“奇怪”的加速器吧.

一、不一樣的加速器

1.同步加速器

例1（2014年高考天津卷） 同步加速器在粒子物理研究中有重要的應(yīng)用，其基本原理簡(jiǎn)化為如圖1所示的模型.M、N為兩塊中心開有小孔的平行金屬板.質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子A（不計(jì)重力）從M板小孔飄入板間，初速度可視為零.每當(dāng)A進(jìn)入板間，兩板的電勢(shì)差變?yōu)閁，粒子得到加速，當(dāng)A離開N板時(shí)，兩板的電荷量均立即變?yōu)榱?兩板外部存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，A在磁場(chǎng)作用下做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，R遠(yuǎn)大于板間距離.A經(jīng)電場(chǎng)多次加速，動(dòng)能不斷增大，為使R保持不變，磁場(chǎng)必須相應(yīng)地變化.不計(jì)粒子加速時(shí)間及其做圓周運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的電磁輻射，不考慮磁場(chǎng)變化對(duì)粒子速度的影響及相對(duì)論效應(yīng).求：

（1）A運(yùn)動(dòng)第1周時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的大小；

（2）在A運(yùn)動(dòng)第n周的時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力做功的平均功率Pn；

（3）若有一個(gè)質(zhì)量也為m、電荷量為+kq（k為大于1的整數(shù)）的粒子B（不計(jì)重力）與A同時(shí)從M板小孔飄入板間，A、B初速度均可視為零，不計(jì)兩者間的相互作用，除此之外，其他條件均不變.下圖中虛線、實(shí)線分別表示A、B的運(yùn)動(dòng)軌跡.在B的軌跡半徑遠(yuǎn)大于板間距離的前提下，請(qǐng)指出哪個(gè)圖能定性地反映A、B的運(yùn)動(dòng)軌跡，并經(jīng)推導(dǎo)說明理由.

答案（1）1R2mUq（2）qUπRnqU2m（3）A圖，理由見解析

解析（1）設(shè)A經(jīng)電場(chǎng)第1次加速后速度為v1，由動(dòng)能定理得qU=12mv21-0①

A在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所受洛倫茲力充當(dāng)向心力qv1B1=mv21R②

由①②得B1=1R2mUq③

（2）設(shè)A經(jīng)n次加速后的速度為vn，由動(dòng)能定理得nqU=12mv2n-0④

設(shè)A做第n次圓周運(yùn)動(dòng)的周期為Tn，有

Tn=2πRvn⑤

設(shè)在A運(yùn)動(dòng)第n周的時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力做功為

Wn，則Wn=qU⑥

在該段時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力做功的平均功率為

Pn=WnTn⑦

由④⑤⑥⑦解得Pn=qUπRnqU2m⑧

（3）A圖能定性地反映A、B運(yùn)動(dòng)的軌跡.

A經(jīng)過n次加速后，設(shè)其對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為Bn，A、B的周期分別為Tn、T′，綜合②、⑤式并分別應(yīng)用A、B數(shù)據(jù)得Tn=2πmqBn，T′=2πmkqBn=Tnk

由上可知，Tn是T′的k倍，所以A每繞行1周，B就繞行k周.由于電場(chǎng)只在A通過時(shí)存在，故B僅在與A同時(shí)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)才被加速.

經(jīng)n次加速后，A、B的速度分別為vn和v′n，考慮到④式

vn=2nqUm，v′n=2nkqUm=kvn

由題設(shè)條件并考慮到⑤式，對(duì)A有Tnvn=2πR

設(shè)B的軌跡半徑為R′，有T′v′n=2πR′

比較上述兩式得R′=Rk

上式表明，運(yùn)動(dòng)過程中B的軌跡半徑始終不變.

由以上分析可知，兩粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖A所示.

解題體會(huì)課本上常見的加速器的磁場(chǎng)是恒定的，粒子旋轉(zhuǎn)半徑越來越大，而本題中的磁場(chǎng)是不斷增大的，粒子軌跡半徑不變，即所謂同步加速器.命題人另辟蹊徑，將常見模型改頭換面，側(cè)重能力考查.

2. 直線加速器

例2（2016年高考四川卷第9題）中國(guó)科學(xué)院2015年10月宣布中國(guó)將在2020年開始建造世界上最大的粒子加速器.加速器是人類揭示物質(zhì)本源的關(guān)鍵設(shè)備，在放射治療、食品安全、材料科學(xué)等方面有廣泛應(yīng)用.

如圖2所示，某直線加速器由沿軸線分布的一系列金屬圓管（漂移管）組成，相鄰漂移管分別接在高頻脈沖電源的兩極.質(zhì)子從K點(diǎn)沿軸線進(jìn)入加速器并依次向右穿過各漂移管，在漂移管內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在漂移管間被電場(chǎng)加速，加速電壓視為不變.設(shè)質(zhì)子進(jìn)入漂移管B時(shí)速度為8×106m/s，進(jìn)入漂移管E時(shí)速度為1×107 m/s，電源頻率為1×107Hz，漂移管間縫隙很小，質(zhì)子在每個(gè)管內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間視為電源周期的1/2.質(zhì)子的荷質(zhì)比取1×108C/kg.求：

（1）漂移管B的長(zhǎng)度；

（2）相鄰漂移管間的加速電壓.

答案（1）04 m（2）6×104V

解析（1）設(shè)高頻脈沖電源的頻率為f，周期為T；質(zhì)子在每個(gè)漂移管中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t；質(zhì)子進(jìn)入漂移管B時(shí)速度為vB；漂移管B的長(zhǎng)度為L(zhǎng)B.則

T=1f①

t=12T②

LB=vBt③

聯(lián)立①②③式并代入數(shù)據(jù)得LB=04m

（2）設(shè)質(zhì)子進(jìn)入漂移管E的速度為vE，相鄰漂移管間的加速電壓為U，電場(chǎng)對(duì)質(zhì)子所做的功為W，質(zhì)子從漂移管B運(yùn)動(dòng)到E電場(chǎng)做功W′，質(zhì)子的電荷量為q、質(zhì)量為m，則

W=qU④

W′=3W⑤

W′=12mv2E-12mv2B⑥

聯(lián)立④⑤⑥式并代入數(shù)據(jù)得U=6×104V⑦

解題體會(huì)直線加速器模型是最早出現(xiàn)、最直觀的加速器，原理比較容易理解，但是隨著速度增大，漂移管越來越長(zhǎng)，存在著占據(jù)較大空間的缺點(diǎn)，從而被回旋加速器所替代.而2016年高考四川卷重新出現(xiàn)了這個(gè)經(jīng)典模型，對(duì)考生來說也是不小的挑戰(zhàn).endprint

3. 扇形聚焦回旋加速器

例3（2016年高考浙江卷第25題）為了進(jìn)一步提高回旋加速器的能量，科學(xué)家建造了“扇形聚焦回旋加速器”.在扇形聚焦過程中，離子能以不變的速率在閉合平衡軌道上周期性旋轉(zhuǎn).扇形聚焦磁場(chǎng)分布的簡(jiǎn)化圖如圖3所示，圓心為O的圓形區(qū)域等分成六個(gè)扇形區(qū)域，其中三個(gè)為峰區(qū)，三個(gè)為谷區(qū)，峰區(qū)和谷區(qū)相間分布.峰區(qū)內(nèi)存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，谷區(qū)內(nèi)沒有磁場(chǎng).質(zhì)量為m，電荷量為q的正離子，以不變的速率v旋轉(zhuǎn)，其閉合平衡軌道如圖中虛線所示.

（1）求閉合平衡軌道在峰區(qū)內(nèi)圓弧的半徑r，并判斷離子旋轉(zhuǎn)的方向是順時(shí)針還是逆時(shí)針；

（2）求軌道在一個(gè)峰區(qū)內(nèi)圓弧的圓心角θ，及離子繞閉合平衡軌道旋轉(zhuǎn)的周期T；

（3）在谷區(qū)也施加垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B′，新的閉合平衡軌道在一個(gè)峰區(qū)內(nèi)的圓心角θ變?yōu)?0°，求B′和B的關(guān)系.已知：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ，cosα=1-2sin2a2

答案（1）r=mvqB；旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向

（2）θ=2π3；T=（2π+33）mqB（3）B′=3-12B

解析（1）峰區(qū)內(nèi)圓弧半徑r=mvqB，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針；

（2）如圖4所示，由對(duì)稱性，峰區(qū)內(nèi)圓弧圓心角

θ=2π3，

每個(gè)圓弧長(zhǎng)度

l=2πr3=2πmv3qB，

每段直線長(zhǎng)度

L=2rcosπ6=3r=3mv3qB，

周期T=3（L+l）v，解得T=（2π+33）mqB

（3）如圖5所示，谷區(qū)內(nèi)圓心角θ′=30°

谷區(qū)內(nèi)的軌道圓弧半徑

r′=mvqB′，

由幾何關(guān)系rsinθ2=r′sinθ′2，

由三角關(guān)系sin30°2=sin15°=6-24，

解得B′=3-12B

解題體會(huì)本題以“扇形聚焦回旋加速器”為情景設(shè)置考題，主要考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，側(cè)重幾何知識(shí)的應(yīng)用，其難度不大.考生需細(xì)心畫圖，找出幾何關(guān)系.

二、不一般的考查方式

1.從加速器引出粒子的兩種方式

例4（2015高考浙江卷第25題）使用回旋加速器的實(shí)驗(yàn)需要把離子束從加速器中引出，離子束引出的方法有磁屏蔽通道法和靜電偏轉(zhuǎn)法等.質(zhì)量為m，速度為v的離子在回旋加速器內(nèi)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)軌道是半徑為r的圓，圓心在O點(diǎn)，軌道在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.為引出離子束，使用磁屏蔽通道法設(shè)計(jì)引出器.引出器原理如圖6所示，一對(duì)圓弧形金屬板組成弧形引出通道，通道的圓心位于O′點(diǎn)（O′點(diǎn)圖中未畫出）.引出離子時(shí)，令引出通道內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度降低，從而使離子從P點(diǎn)進(jìn)入通道，沿通道中心線從Q點(diǎn)射出.已知OQ長(zhǎng)度為L(zhǎng)，OQ與OP的夾角為θ.

（1）求離子的電荷量q并判斷其正負(fù)；

（2）離子從P點(diǎn)進(jìn)入，Q點(diǎn)射出，通道內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)降為B′，求B′；

（3）換用靜電偏轉(zhuǎn)法引出離子束，維持通道內(nèi)的原有磁感應(yīng)強(qiáng)度B不變，在內(nèi)外金屬板間加直流電壓，兩板間產(chǎn)生徑向電場(chǎng)，忽略邊緣效應(yīng).為使離子仍從P點(diǎn)進(jìn)入，Q點(diǎn)射出，求通道內(nèi)引出軌跡處電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向和大小.

答案（1）q=mvBr，正電荷

（2）mv（2r-2Lcosθ）q（r2+L2-2rRcosθ）

（3）E=Bv-mv2（2r-2Lcosθ）q（r2+L2-2rRcosθ）

解析（1）離子做圓周運(yùn)動(dòng)Bqv=mv2r①

解得q=mvBr，正電荷②

（2）如圖7所示，O′Q=R，OQ=L，O′O=R-r

引出軌跡為圓弧 B′qv=mv2R③

根據(jù)幾何關(guān)系得：R=r2+L2-2rLcosθ2r-2Lcosθ

解得B′=mv（2r-2Lcosθ）q（r2+L2-2rLcosθ）

（3）電場(chǎng)強(qiáng)度方向沿徑向向外；引出軌跡為圓弧，Bqv-Eq=mv2R

解得E=Bv-mv2（2r-2Lcosθ）q（r2+L2-2rLcosθ）

解題體會(huì)考生平時(shí)練習(xí)都在關(guān)注粒子在磁場(chǎng)中回旋運(yùn)動(dòng)與電場(chǎng)中加速，很少會(huì)關(guān)注粒子從加速器中引出方法.本題以磁屏蔽通道法和靜電偏轉(zhuǎn)法引出離子束的考查方式出現(xiàn)，著實(shí)會(huì)讓考生大吃一驚，另外由余弦定理求半徑即考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力.

2. 盒中射靶

例5（2015高考重慶卷第9題）圖8為某種離子加速器的設(shè)計(jì)方案.兩個(gè)半圓形金屬盒內(nèi)存在相同的垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其中MN和M′N′是間距為h的兩平行極板，其上分別有正對(duì)的兩個(gè)小孔O和O′，O′N′=ON=d，P為靶點(diǎn)，O′P=kd（k為大于1的整數(shù)）.極板間存在方向向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，兩極板間電壓為U.質(zhì)量為m、帶電量為q的正離子從O點(diǎn)由靜止開始加速，經(jīng)O′進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域.當(dāng)離子打到極板上O′N′區(qū)域（含N′點(diǎn)）或外殼上時(shí)將會(huì)被吸收.兩虛線之間的區(qū)域無電場(chǎng)和磁場(chǎng)存在，離子可勻速穿過.忽略相對(duì)論效應(yīng)和離子所受的重力.求：

（1）離子經(jīng)過電場(chǎng)僅加速一次后能打到P點(diǎn)所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度大??；

（2）能使離子打到P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的所有可能值；

（3）打到P點(diǎn)的能量最大的離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

答案（1）B=22qUmqkd

（2）B=22nqUmqkd，（n=1、2、3…k2-1）

（3）t磁=（2k2-3）πmkd22qUm（k2-1），t電=h2（k2-1）mqUendprint

解析（1）離子經(jīng)電場(chǎng)加速，由動(dòng)能定理qU=12mv2，可得v=2qUm

磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，qvB=mv2r

剛好打在P點(diǎn)，軌跡為半圓，由幾何關(guān)系可知

r=kd2

聯(lián)立解得B=22qUmqkd

（2）若離子經(jīng)過一次加速后速度較小，圓周運(yùn)動(dòng)半徑較小，不能直接打在P點(diǎn)，而做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)N′右端，再勻速直線到下端磁場(chǎng)，將回到O點(diǎn)重新加速，直到打在P點(diǎn).設(shè)共加速了n次，有：nqU=12mv2n

qvnB=mv2nrn，且rn=kd2，解得B=22nqUmqkd

要求離子第一次加速后不能打在板上，有r1>d2，且qU=12mv21，qv1B=mv21r1

解得n

故加速次數(shù)n為正整數(shù)最大取n=k2-1

即B=22nqUmqkd（n=1、2、3…k2-1）

（3）加速次數(shù)最多的離子速度最大，取n=k2-1，離子在磁場(chǎng)中做n-1個(gè)完整的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和半個(gè)圓周打到P點(diǎn).

由勻速圓周運(yùn)動(dòng)T=2πrv=2πmqB

t磁=（n-1）T+T2=（2k2-3）πmkd22qUm（k2-1）

電場(chǎng)中一共加速n次，可等效成連續(xù)的勻加速直線運(yùn)動(dòng).

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式（k2-1）h=12at2電，a=qUmh，可得t電=h2（k2-1）mqU

解題體會(huì)本題將回旋加速器與質(zhì)譜儀相結(jié)合，其對(duì)數(shù)學(xué)能力要求較高，多次回旋的可能值與臨界條件的不等式的應(yīng)用容易把學(xué)生搞暈，命題人在這個(gè)地方設(shè)置了較大的障礙，考生不容易得分.

3. 加速器的加速效率問題

例6（2016年高考江蘇卷第15題）回旋加速器的工作原理如圖9所示，置于真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間狹縫的間距為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與盒面垂直.被加速粒子的質(zhì)量為m，電荷量為+q.加在狹縫間的交變電壓如圖10所示，電壓值的大小為U0，周期T=2πmqB.一束該粒子在t=0 時(shí)間內(nèi)從A處均勻地飄入狹縫，其初速度視為零.現(xiàn)考慮粒子在狹縫中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，假設(shè)能夠出射的粒子每次經(jīng)過狹縫均做加速運(yùn)動(dòng)，不考慮粒子間的相互作用.求：

（1）出射粒子的動(dòng)能Ek；

（2）粒子從飄入狹縫至動(dòng)能達(dá)到Ek所需的總時(shí)間t總；

（3）要使飄入狹縫的粒子中有超過99%能射出，d應(yīng)滿足的條件.

答案（1）Ek=q2B2R22m

（2）t0=πBR2+2BRd2U0-πmqB

（3）d<πmU0100qB2R

解析（1）由qvB=mv2R，Ek=12mv2，解得Ek=q2B2R22m

（2）粒子被加速n次達(dá)到動(dòng)能Ek，則Ek=nqU0，粒子在狹縫間做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)n次經(jīng)過狹縫的總時(shí)間為Δt.

由加速度a=qU0md，勻加速直線運(yùn)動(dòng)：nd=12aΔt2，t0=（n-1）T2+Δt，

解得t0=πBR2+2BRd2U0-πmqB

（3）只有在0～T2-Δt時(shí)間內(nèi)飄入的粒子才能每次均被加速，

故所占的比例為η=T2-ΔtT2，

由η>99%，解得d<πmU0100qB2R

解題體會(huì)本題考查的內(nèi)容看似常規(guī)，但是難度較大，突破口在于電場(chǎng)中加速時(shí)間的等效處理與磁場(chǎng)中環(huán)繞次數(shù)的換算；其次要理解粒子的飄入時(shí)間，只有在0～T2-Δt時(shí)間內(nèi)飄入的粒子才能每次均被加速，從而提高加速的效率.

可見，同樣一個(gè)加速模型，命題人卻有各種各樣的不同考查方式，所以我們不能固步自封，要關(guān)注新高考，與時(shí)俱進(jìn).善于抓住問題的本質(zhì)，掌握帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的特征，養(yǎng)成嚴(yán)密的邏輯思維和解題方式，在不同的情景中打開思路，真正提升自己的應(yīng)試能力.

參考文獻(xiàn)：

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[2] 周瑋.高考中的回旋加速器問題探析.高中數(shù)理化，2012（04）：37-40.