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    在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透“數(shù)形結(jié)合”思想的案例研析

    2018-03-06 11:15:48陳仕軍
    新課程·小學(xué) 2018年12期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)思維數(shù)形結(jié)合

    陳仕軍

    摘 要:數(shù)學(xué)的本質(zhì)特性之一是抽象性。然而,小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要求抽象的東西形象化,又通過直觀的形象來深化抽象的內(nèi)容。數(shù)形結(jié)合的思想就是通過數(shù)形之間的對應(yīng)關(guān)系來研究問題、解決問題。通過數(shù)形結(jié)合,可使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀、易理解、易接受;將直觀的圖形數(shù)量化,轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)運(yùn)算,可以降低難度,使理解更加深刻。數(shù)學(xué)家華羅庚所說的“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微”。正說明了數(shù)形結(jié)合思想的重要性,對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與促進(jìn)思維品質(zhì)的發(fā)展有著獨(dú)特的價值。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也指出課程內(nèi)容的學(xué)習(xí),強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動,發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念以及應(yīng)用意識與推理能力。發(fā)展學(xué)生的空間觀念、數(shù)感和符號感在本質(zhì)上講就是一種數(shù)形結(jié)合思想,這三個目標(biāo)之間并非相互獨(dú)立,而是一個互相聯(lián)系、相輔相成、密不可分的統(tǒng)一體。教師在教學(xué)活動中應(yīng)抓住其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想,引導(dǎo)學(xué)生能夠全面、深入、準(zhǔn)確、認(rèn)真地思考問題,抓住事物的本質(zhì)、規(guī)律和內(nèi)在聯(lián)系,重視它們之間的協(xié)調(diào)發(fā)展,這對提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著重要的意義。

    關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)課堂;數(shù)學(xué)思維;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

    一、以圖識律,培育數(shù)學(xué)興趣,提高抽象思維能力

    對抽象的數(shù)學(xué)算式、代數(shù)式給予直觀形象的推證解釋,以直觀圖形解釋數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)規(guī)律,使得學(xué)生數(shù)形思想同步發(fā)展。例如學(xué)生在課堂中學(xué)習(xí)乘法分配律時都經(jīng)歷“實(shí)例—感知—驗(yàn)證—判析—抽象—定義”這么一個思維過程,從大量的數(shù)學(xué)實(shí)例中學(xué)生初步抽象出運(yùn)算規(guī)律,但尚不能進(jìn)行數(shù)學(xué)思維層次上的推證。就小學(xué)高年段學(xué)生來說,他們具備較強(qiáng)直觀形象思維能力,抽象思維能力正在發(fā)展,我們可以借助下面的課堂活動將這一運(yùn)算規(guī)律予以推證和說明。

    課堂活動要求:這是由兩個小長方形拼成的大長方形,請用含字母的式子表示出大長方形的面積。

    數(shù)學(xué)課堂活動:

    (1)觀察大長方形面積的要素:a(b+c)=大長方形的面積

    (2)觀察大長方形面積的構(gòu)成:ab+ac=大長方形的面積

    綜合比較兩次得到的結(jié)果,分析后自然推得:a(b+c)=ab+ac

    課堂提問:“仔細(xì)觀察,看到這個結(jié)論,你能想到我們曾經(jīng)學(xué)過的什么運(yùn)算律?”學(xué)生:“這就是乘法分配律??!”“原來還可以這樣驗(yàn)證乘法分配律!”“我們發(fā)現(xiàn)乘法分配律的證明用圖表示出來更直觀!”……由于學(xué)生在不知不覺中參與了數(shù)學(xué)運(yùn)算律揭示的過程,思維水平自然有躍進(jìn),數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣亦更加濃厚。

    結(jié)合目前現(xiàn)代數(shù)學(xué)課堂中豐富的信息化教學(xué)手段,將下面的這些運(yùn)算定律更形象地展示給學(xué)生,數(shù)學(xué)不再單調(diào)。

    1.課堂多媒體動態(tài)演示:

    (1)先動態(tài)閃動線段a與線段b合并,再以合并后的線段與線段c合并;

    (2)先動態(tài)閃動線段b與線段c合并,再以合并后的線段與線段a合并。

    動態(tài)比較兩次總長度,揭示加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)

    2.課堂多媒體動態(tài)演示:

    (1)小球從左至右滾動距離a,再滾動距離b,整體閃動小球滾動的總距離;

    (2)小球從右至左滾動距離b,再滾動距離a,整體閃動小球滾動的總距離。

    動態(tài)比較兩次總長度,揭示加法交換律a+b=b+a。

    3.課堂多媒體動態(tài)演示:

    (1)閃動長方形寬a,向右平移距離b,形成完整長方形;

    (2)閃動長方形長b,向上平移距離a,形成完整長方形。

    動態(tài)比較兩次長方形面積,揭示加法交換律a×b=b×a。

    4.課堂多媒體動態(tài)演示:

    (1)閃動長方體框架底面(a×b),向上運(yùn)動,形成完整長方體;

    (2)閃動長方體框架右側(cè)面(a×b),向左運(yùn)動,形成完整長方體。

    動態(tài)比較兩次運(yùn)動的結(jié)果,揭示乘法結(jié)合律(a×b)×c=a×(b×c)

    在數(shù)學(xué)課堂活動中,借助現(xiàn)代數(shù)學(xué)課堂教學(xué)手段,在提高學(xué)生空間觀念的同時,揭示抽象的數(shù)學(xué)運(yùn)算律,“以形識數(shù)性”,把握數(shù)學(xué)本質(zhì),提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力。

    二、借數(shù)觀圖,感悟事物本質(zhì),提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度

    以已有的知識經(jīng)驗(yàn)解決實(shí)際問題是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要體現(xiàn),也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動達(dá)成性指標(biāo)之一,是學(xué)生思維發(fā)展水平最直接的反映。借助數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)性質(zhì)解決直觀幾何問題,實(shí)現(xiàn)“化難為易、化繁為簡”。就數(shù)學(xué)中的“相等的兩數(shù)同時減去(或加上)一個數(shù),所得的差(或和)也一定相等”這一性質(zhì),在學(xué)生儲備足夠的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)后,他們不僅能理解,也能舉出實(shí)例說明。數(shù)學(xué)課堂中我們以字母把它抽象概括出來:“若a=b,則a-c=b-c或a+c=b+c”。這既是對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng),也是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的需要。

    在學(xué)生理解這兩個等式后,讓他們思考下一題。

    如圖討論:陰影部分三角形ABC和三角形ECD面積之間的關(guān)系。

    學(xué)生討論分析:三角形ABE面積等于三角形ADE面積,因此這兩個三角形同時減去三角形AEC的面積后,所得到兩個新三角形的面積也相等(借助多媒體演示使教學(xué)更直觀、形象)。

    我們的教學(xué)不能僅停留在問題的求解上,應(yīng)適時引導(dǎo)“本題的解答實(shí)際上運(yùn)用了數(shù)學(xué)的什么性質(zhì)?a-c=b-c”,從而建立數(shù)學(xué)性質(zhì)與直觀幾何之間的關(guān)系,為學(xué)生用代數(shù)知識解決幾何形體問題搭起橋梁,提升“數(shù)形結(jié)合”的能力,感悟事物本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維。

    為進(jìn)一步拓展學(xué)生思維的深度,教師可以設(shè)計(jì)這樣一道題由學(xué)生自主探索解答。如圖求陰影部分面積:

    綜合評析時,引導(dǎo)學(xué)生思考我們運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)性質(zhì)?

    (注:長方形ABCD面積=長方形DEFG面積)

    三、數(shù)形相輔,深化數(shù)學(xué)體驗(yàn),增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂厚度

    在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中有機(jī)滲透數(shù)形結(jié)合思想,對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感、符號感和空間觀念,發(fā)展學(xué)生思維能力,提升動手實(shí)踐、自主探索、合作交流的能力大有裨益。教師在教學(xué)平行四邊形面積公式的推導(dǎo)時,通常會組織學(xué)生開展小組活動,把平行四邊形剪拼成他們已有的知識經(jīng)驗(yàn)——長方形。

    學(xué)生在課堂操作實(shí)踐活動中的剪拼方法歸成兩大類(如下圖):

    對比拼成的長方形與原來的平行四邊形的關(guān)系,推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式:S=a×h。

    在學(xué)生具備上述知識的基礎(chǔ)上,不少教師都讓學(xué)生練習(xí)過這樣一道題:已知題中的三個量,求一個未知量。

    這對多數(shù)學(xué)生而言解答并非困難,也能得到數(shù)學(xué)等式:a×b=c×d。a×b和c×d都表示同一個平行四邊形的面積,教師在課堂教學(xué)過程中往往都能評析到,并對等式的合理性作出解釋。但如果教師有意識地培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)形結(jié)合”思想,就可以對這一教學(xué)資源作進(jìn)一步挖掘。結(jié)合圖1,在引導(dǎo)學(xué)生在觀察平行四邊形面積推導(dǎo)的剪拼方法后,幫助學(xué)生在頭腦中形成a×b與剪拼方法一,c×d與剪拼方法二之間的對應(yīng)感觀,必將促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力與空間觀念的協(xié)調(diào)發(fā)展,我們的數(shù)學(xué)課堂也必將變得更厚實(shí)。

    四、數(shù)圖相融,溝通縱橫聯(lián)系,建構(gòu)單元知識框架

    在學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的過程中,數(shù)學(xué)概念則是思維的細(xì)胞,是空間形式和數(shù)量關(guān)系以及它們的本質(zhì)屬性在學(xué)生思維中的體現(xiàn),他們對概念的理解達(dá)成度是其數(shù)學(xué)思維深刻性與靈活性水平的反映,是作為數(shù)與形的抽象概括的結(jié)果之一。數(shù)學(xué)概念僅憑精講,學(xué)生對概念的本質(zhì)難以產(chǎn)生全面深刻的理解,數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,輔助圖形、表格等直觀形象,不但可以幫助學(xué)生正確理解概念,而且利于他們建立知識間的縱橫聯(lián)系,形成他們自己的“數(shù)學(xué)知識樹”。

    在“數(shù)的整除”單元復(fù)習(xí)時,出示數(shù)字“1、2、3、4、5、6、7、9、12、24、30、36,提問:根據(jù)給出的這些數(shù),自由選擇一些數(shù)(可以是1個,也可以是多個)用本單元知識說一句話”。啟發(fā)學(xué)生打開思路后,教師將相關(guān)概念名稱“倍數(shù)、因數(shù)、整除……”展現(xiàn)在投影上。

    弄亂屏幕,引導(dǎo)學(xué)生整理這些概念,讓視覺效果更好,概念關(guān)系更有條理。

    課堂中,一個概念位置的擺放也會引發(fā)爭論,但學(xué)生思維打開了,收獲了很多,得到多彩的整除單元知識結(jié)構(gòu)圖,這里舉一例。如下圖:

    圖2解釋整除與除盡之間的從屬關(guān)系。

    圖3解釋非0自然數(shù)按因數(shù)個數(shù)分成三類呈現(xiàn)的并列關(guān)系。

    在這樣的數(shù)學(xué)課堂中,“數(shù)圖相融”,以直觀圖形展現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的概念及其之間的關(guān)系,學(xué)生更易于消化概念之間的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)區(qū)別,形成單元整體知識結(jié)構(gòu)。

    五、數(shù)形協(xié)調(diào),演繹數(shù)學(xué)抽象,積累數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn)

    小學(xué)階段學(xué)生的學(xué)業(yè)水平和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力往往在他們的計(jì)算正確率、解題策略的運(yùn)用上有所體現(xiàn),但教師在教學(xué)中不讓學(xué)生對計(jì)算法則(或方法)經(jīng)歷一個探索、理解、發(fā)現(xiàn)的過程,那么學(xué)生只能一味地接受知識的灌輸,其能力與創(chuàng)新思維只會被壓抑而非得以發(fā)展。例如在分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的課堂學(xué)習(xí)后,學(xué)生都能掌握“分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母”這一計(jì)算方法??山處熑裟艹浞终J(rèn)識到“數(shù)形結(jié)合”思想在課堂學(xué)習(xí)中的重要價值,再去思考設(shè)計(jì)教學(xué)活動,就可以讓不同學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上獲得不同層次的發(fā)展,幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn)。

    在數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)中一直有著兩條線:一明一暗,數(shù)學(xué)知識作明線,數(shù)學(xué)思想方法為暗線。然而,今天我們的數(shù)學(xué)課堂中,教師往往習(xí)慣以“知識的達(dá)成度、目標(biāo)的有效性”去評價一節(jié)課的優(yōu)劣,而忽視了數(shù)學(xué)思想方法在課堂上有意識地滲透。知識可能會遺忘,而數(shù)學(xué)思想方法一旦在學(xué)生頭腦中成形,必將讓學(xué)生受益終身。小學(xué)階段是學(xué)生數(shù)學(xué)思維由具體形象到抽象邏輯的重要過渡階段,“數(shù)形結(jié)合”思想方法在課堂中的滲透教學(xué)對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力有著獨(dú)特的價值。教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容,深入剖析研究教材、挖掘教材中多項(xiàng)資源,有意識地滲透“數(shù)形結(jié)合”思想,揚(yáng)數(shù)之長、取形之優(yōu)、數(shù)形相輔、數(shù)形互助,必然會讓學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力的培育在數(shù)學(xué)課堂生根發(fā)芽,熠熠生輝!

    編輯 高 瓊

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