例談功能關(guān)系在力學(xué)中的應(yīng)用

姚立權(quán)

一、正確理解功和能的區(qū)別

（1）能是物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定的物理量，即狀態(tài)量；而功則是和物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化過(guò)程有關(guān)的物理量，是過(guò)程量，兩者有著本質(zhì)的區(qū)別。

（2）做功可以使物體具有的能量發(fā)生變化，而且物體能量變化大小是用做功的多少來(lái)量度。但功和能不能相互轉(zhuǎn)化。

（3）能量有多種不同的形式，通過(guò)做功這一途徑，一種形式的能量轉(zhuǎn)化為另一種形式的能量，即做功的過(guò)程就是能量的轉(zhuǎn)化過(guò)程；做多少功就有多少能量發(fā)生了轉(zhuǎn)化，即功是能量轉(zhuǎn)化的量度，所以功和能單位相同。

例1 以下關(guān)于功和能，下列說(shuō)法中正確的是（ ）

A.功是矢量與過(guò)程對(duì)應(yīng)，能是標(biāo)量與狀態(tài)對(duì)應(yīng)

B.功是能量大小的量度

C.功是能量轉(zhuǎn)化的量度

D.因?yàn)楣湍艿膯挝欢际墙苟?，所以功就是?/p>

解析 功的正負(fù)不代表方向，功是標(biāo)量，與過(guò)程對(duì)應(yīng)是過(guò)程量，能是標(biāo)量與狀態(tài)對(duì)應(yīng)是狀態(tài)量，故AD錯(cuò)誤；做功的過(guò)程就是能量的轉(zhuǎn)化過(guò)程，做多少功就有多少能量發(fā)生了轉(zhuǎn)化，即功是能量轉(zhuǎn)化的量度，不是能量大小的量度，故B錯(cuò)誤；C正確。

例2當(dāng)重力對(duì)物體做正功時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.重力勢(shì)能一定增加，動(dòng)能一定減小 B.重力勢(shì)能一定減小，動(dòng)能一定增加

C.重力勢(shì)能不一定減小，動(dòng)能一定增加 D.重力勢(shì)能一定減小，動(dòng)能不一定增加

解析 重力做功引起物體的重力勢(shì)能的變化，當(dāng)重力對(duì)物體做正功，物體的重力勢(shì)能一定減??；而物體的動(dòng)能變化是由合力所做的功引起的；當(dāng)重力對(duì)物體做正功時(shí)，物體向下運(yùn)動(dòng)，合力對(duì)物體可以做正功、可以做負(fù)功、也可以不做功，動(dòng)能可能增加、可能減少、可能不變。故D正確。

二、準(zhǔn)確掌握功與能的關(guān)系

功和能既有著嚴(yán)格的區(qū)別，又有著緊密的聯(lián)系；能量有多種不同的形式，反映物體能夠?qū)ν庾龉Ρ绢I(lǐng)大小。通過(guò)做功這一途徑，一種形式的能量轉(zhuǎn)化為另一種形式的能量，即做功的過(guò)程就是能量的轉(zhuǎn)化過(guò)程；做多少功就有多少能量發(fā)生了轉(zhuǎn)化，即功是能量轉(zhuǎn)化的量度，但不同的力做功會(huì)引起對(duì)應(yīng)的不同形式的能發(fā)生改變。

（1）合外力對(duì)物體做功等于物體動(dòng)能的改變（即動(dòng)能定理）。

（2）重力做功對(duì)應(yīng)重力勢(shì)能的改變。

重力做多少正功，重力勢(shì)能減少多少；重力做多少負(fù)功，重力勢(shì)能增加多少。

（3）彈簧彈力做功與彈性勢(shì)能的改變相對(duì)應(yīng)。

彈力做多少正功，彈性勢(shì)能減少多少；彈力做多少負(fù)功，彈性勢(shì)能增加多少。

（4）除重力或彈簧的彈力以外的其他力做的功與物體機(jī)械能的增量相對(duì)應(yīng)，即

①除重力或彈簧的彈力以外的其他力做多少正功，物體的機(jī)械能就增加多少。

②除重力或彈簧的彈力以外的其他力做多少負(fù)功，物體的機(jī)械能就減少多少。

③除重力或彈簧的彈力以外的其他力不做功，物體的機(jī)械能不變。

④一對(duì)相互作用的滑動(dòng)摩擦力對(duì)物體系統(tǒng)所做總功，等于摩擦力與相對(duì)路程的乘積，即，系統(tǒng)損失機(jī)械能轉(zhuǎn)變成內(nèi)能，即摩擦生熱

例3人通過(guò)滑輪將質(zhì)量為m的物體，沿粗糙的斜面由靜止開(kāi)始勻加速地由底端拉上斜面，物體上升的高度為h，到達(dá)斜面頂端的速度為v，如圖1所示。則在此過(guò)程中下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.物體所受的合外力做功為mgh+1/2mν²

B.物體所受的合外力做功為1/2mν²

C.人對(duì)物體做的功為mgh

D.人對(duì)物體做的功大于mgh

例4如圖2所示，質(zhì)量為m的物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）以某一初速度由底端沖上傾角為30°的固定斜面，上升的最大高度為h，其加速度大小為a，在這個(gè)過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.重力勢(shì)能增加了mgh

B.動(dòng)能損失了mgh

C.動(dòng)能損失了3/2mgh

D.機(jī)械能損失了1/2mgh

例5 如圖3所示，質(zhì)量為m的滑塊以一定初速度滑上傾角為θ的固定斜面，同時(shí)施加一沿斜面向上的恒力F=mgsinθ；已知滑塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=tanθ，取出發(fā)點(diǎn)為參考點(diǎn)，能正確描述滑塊運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)過(guò)程中產(chǎn)生的熱量Q、滑塊動(dòng)能E_k、勢(shì)能E_p、機(jī)械能E隨位移x關(guān)系的是

解析 根據(jù)滑塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=tanθ可知，滑動(dòng)摩擦力等于重力沿斜面向下的分力，施加一沿斜面向上的恒力

例6 衛(wèi)星在環(huán)繞地球做橢圓軌道運(yùn)行，地心在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，如圖4所示，衛(wèi)星由A到B的過(guò)程中（ ）

A.衛(wèi)星的動(dòng)能減小

B.衛(wèi)星的勢(shì)能增大

C.衛(wèi)星的機(jī)械能減小

D.地球的引力對(duì)衛(wèi)星做負(fù)功

解析 物體的動(dòng)能增加量等于合力所做的 ；而 ，衛(wèi)星的動(dòng)能減小，故AD正確；由于引力所做負(fù)功，衛(wèi)星的重力勢(shì)能增加，故B正確；衛(wèi)星由4到B的過(guò)程中，由于只有引力做功，衛(wèi)星的機(jī)械能不變，故C錯(cuò)誤。 三、合理選擇研究對(duì)象和研究過(guò)程

對(duì)多過(guò)程、多物體的系統(tǒng)，除準(zhǔn)確掌握功與能的關(guān)系外，還必須合理選擇研究對(duì)象和研究過(guò)程。

例7如圖5所示，物體A和的質(zhì)量均為m，它們通過(guò)一勁度系數(shù)為k的輕彈簧相連，開(kāi)始時(shí)B放在地面上，A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)用手通過(guò)細(xì)繩緩慢地將A向上提升距離L₁時(shí)，B剛要離開(kāi)地面，此過(guò)程手做功為W₁；若將A加速向上提起，A上升的距離為L(zhǎng)₂時(shí)，B剛要離開(kāi)地面，此時(shí)A的速度為ν，此過(guò)程手做功為W₂，彈簧一直處于彈性限度內(nèi)。則（ ）

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例8從地面整直上拋一個(gè)質(zhì)量為m的小球，小球上升的最大高度為h，設(shè)上升和下降過(guò)程中空氣阻力大小恒為f。下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.小球上升的過(guò)程中動(dòng)能減少了mgh

B.小球上升和下降的整個(gè)過(guò)程中機(jī)械能減少了fh

C.小球上升的過(guò)程中重力勢(shì)能增加了mgh

D.小球上升和下降的整個(gè)過(guò)程中動(dòng)能減少了fh

解析 根據(jù)動(dòng)能定理，上升的過(guò)程中動(dòng)能減少量等于小球克服重力和阻力做的功， ，故A錯(cuò)誤；小球上升和下降的整個(gè)過(guò)程中重力勢(shì)能不變，動(dòng)能減少量和機(jī)械能的減少量都等于全程中克服阻力做的功2fh，故B、D錯(cuò)誤；小球上升的過(guò)程中重力勢(shì)能增加等于小球克服重力做的功mgh，故C正確。

四、分清實(shí)際位移與相對(duì)位移

動(dòng)能定理以及功的公式W=Fx中的位移x是指對(duì)地的實(shí)際位移，而摩擦生熱Q=F_fx_相對(duì)中的位移x_相對(duì)是指兩接觸物體間的相對(duì)位移。 例9 如圖6所示，質(zhì)量為M、長(zhǎng)度為l的小車(chē)靜止在光滑的水平面上。質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在小車(chē)的最左端?，F(xiàn)用一水平恒力F作用在小物塊上，使小物塊從靜止開(kāi)始做勾加速直線運(yùn)動(dòng)。小物塊和小車(chē)之間的摩擦力為f，小物塊滑到小車(chē)的最右端時(shí)，小車(chē)運(yùn)動(dòng)的距離為x。在這個(gè)過(guò)程中，以下結(jié)論正確的是（ ）

A.小物塊到達(dá)小車(chē)最右端時(shí)具有的動(dòng)能為（F-f）（l+x）

B.小物塊到達(dá)小車(chē)最右端時(shí)，小車(chē)具有的動(dòng)能為fx

C.小物塊克服摩擦力所做的功為f（l+x）

D.小物塊和小車(chē)增加的機(jī)械能為fx

解析 小物塊的位移為（l+x），受到的合力（F-f），由動(dòng)能定理小物塊到達(dá)小車(chē)最右端時(shí)具有的動(dòng)能為（F-f）（l+x）；故A正確；小車(chē)的位移為x，受到的合力為f，由動(dòng)能定理小物塊到達(dá)小車(chē)最右端時(shí)具有的動(dòng)能為fx，故B正確；摩擦力對(duì)小物塊所做的功對(duì)應(yīng)的小物塊位移為（l+x），故 ，所以小物塊克服摩擦力所做的功為f（l+x），故C正確；小物塊和小車(chē)增加的機(jī)械能為系統(tǒng)除重力以外的其他力做的功， 為滑動(dòng)摩擦力對(duì)物體系統(tǒng)所做總功，對(duì)應(yīng)位移是指小物塊在小車(chē)上相對(duì)位移，所以 ，故D錯(cuò)誤。

例10 如圖A所示，一塊長(zhǎng)木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物體現(xiàn)以恒定的外力F拉B，由于A、B間摩檫力的作用，A將在B上滑動(dòng)，以地面為參照物，A都向前移動(dòng)一段距離，在此過(guò)程中（ ）

A.外力F做的功等于A和B動(dòng)能的增量

B.B對(duì)A的摩檫力所做的功大于A的動(dòng)能的增量

C.A對(duì)B的摩擦力所做的功等于B對(duì)A的摩擦力所做的功

D.外力F對(duì)B做的功等于A、B動(dòng)能的增量之和

解析 物體A所受的合外力等于B對(duì)A的摩擦力，所以B對(duì)A的摩擦力所做的功等于A的動(dòng)能的增量，故B錯(cuò)誤。A對(duì)B的摩擦力與B對(duì)A的摩擦力是一對(duì)作用力與反作用力，大小相等，方向相反，但由于A在B上滑動(dòng)，A、B對(duì)地的位移不等，所以二者做功不等，故C錯(cuò)誤。對(duì)B應(yīng)用動(dòng)能定理， ，即 ，即外力F對(duì)B做的功等于B的動(dòng)能增量與B克服摩擦力所做功之和，所以D正確，A錯(cuò)誤。

考試是考查學(xué)生獨(dú)立分析能力，不乏陳題翻新，老題新編，平時(shí)不可能練習(xí)到與考試一模一樣的題目，但知識(shí)規(guī)律、思想方法、物理模型等一定可以練習(xí)到，所以在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，要能夠獨(dú)立地對(duì)所遇到的問(wèn)題進(jìn)行具體分析、研究，弄清其中的物理狀態(tài)、物理過(guò)程和物理情境，找出起重要作用的因素和有關(guān)條件，建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，真正把?wèn)題弄懂弄通，把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分解為若干個(gè)比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，找出它們之間的聯(lián)系，運(yùn)用物理知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，切忌似是而非，機(jī)械模仿，這樣才能起到事半功倍的效果。endprint