曲線運(yùn)動(dòng)典型問題賞析

成勇

典型問題一 運(yùn)動(dòng)的合成與分解的應(yīng)用

1.合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系

（1）等時(shí)性：各個(gè)分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)總是同時(shí)開始，同時(shí)結(jié)束，經(jīng)歷時(shí)間相等。

（2）等效性：各分運(yùn)動(dòng)疊加起來與合運(yùn)動(dòng)有相同的效果。

（3）獨(dú)立性：一個(gè)物體同時(shí)參與幾個(gè)運(yùn)動(dòng)，其中的任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)都會(huì)保持其運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不變，并不會(huì)受其他分運(yùn)動(dòng)的干擾。

2.運(yùn)動(dòng)的合成與分解的運(yùn)算法則

運(yùn)動(dòng)的合成與分解是指描述運(yùn)動(dòng)的各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解，由于它們均是矢量，故合成與分解都遵守平行四邊形定則。

例1在一光滑水平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，一物體從t=0時(shí)刻起，由坐標(biāo)原點(diǎn)0（0，0）開始運(yùn)動(dòng)，其沿x軸和y軸方向運(yùn)動(dòng)的速度—時(shí)間圖象如圖1甲、乙所示，下列說法中正確的是（ ）

A.前2s內(nèi)物體沿x軸做勻加速直線運(yùn)動(dòng)

B.后2s內(nèi)物體繼續(xù)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，但加速度沿y軸方向

C.4s末物體坐標(biāo)為（4m，4m）

D.4s末物體坐標(biāo)為（6m，2m）

解析 前2s內(nèi)物體在y軸方向速度為0，由題圖甲知，只沿x軸方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，A正確；后2s內(nèi)物體在x軸方向做勻速運(yùn)動(dòng)，在y軸方向做初速度為0的勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度沿y軸方向，合運(yùn)動(dòng)是曲線運(yùn)動(dòng)，B錯(cuò)誤；4s內(nèi)物體在x軸方向上的位移是x=6m，在y軸方向上的位移為y=2m，所以4s末物體坐標(biāo)為（6m，2m），D正確，C錯(cuò)誤。選AD。

典型問題二 小船渡河問題

1.小船過河問題的分析思路：把小船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)ν分解成船相對(duì)于靜水的劃行運(yùn)動(dòng)的ν₁和船隨水漂流運(yùn)動(dòng)的ν₂。

2.三種過河情景分析

例2河寬l=300m，水速1m/s，船在靜水中的速度ν=3m/s，欲分別按下列要求過河時(shí)，船頭應(yīng)與河岸成多大角度？過河時(shí)間是多少？

（1）以最短時(shí)間過河；

（2）以最小位移過河；

（3）若水速為ν=4m/s，此小船還能不能沿垂直于河岸方向過河？

解析 （1）以最短時(shí)間渡河時(shí)，船頭應(yīng)垂直于河岸航行。t=l/ν=300/3s=100s。

（2）以最小位移過河，船的實(shí)際航向應(yīng)垂直河岸，即船頭應(yīng)指向上游河岸。設(shè)船頭與

上游河岸夾角為θ，有

（3）若要小船垂直于河岸渡河，那么在速度合成的三角形中船的速度即斜邊，即要求船的速度大于水的速度，而此時(shí)船的速度小于河水的速度，故不可能垂直河岸方向過河，典型問題三關(guān)聯(lián)速度問題1.模型特點(diǎn)：沿繩（或桿）方向的速度分量大小相等。 2.思路與方法

合速度：物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度ν

分速度：其一：沿繩（或桿）的分速度ν₁

其二：與繩（或桿）垂直的分速度ν₂

3.解題的原則

把物體的實(shí)際速度分解為垂直于繩（桿）和平行于繩（桿）的兩個(gè)分量，根據(jù)沿繩（桿）方向的分速度大小相等求解。常見的模型如圖3所示。

例3 如圖4所示，將質(zhì)量為2m的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質(zhì)量為m的小環(huán)，小環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d?，F(xiàn)將小環(huán)從與定滑輪等高的A處由靜止釋放，當(dāng)小環(huán)沿直桿下滑距離也為d時(shí)（圖中B處），下列說法正確的是（重力加速度為g）（ ）

A.小環(huán)剛釋放時(shí)輕繩中的張力一定大于2mg

B.小環(huán)到達(dá)B處時(shí)，重物上升的高度為（√2-1）d

C.小環(huán)在B處的速度與重物上升的速度大小之比等于√2/2

D.小環(huán)在B處的速度與重物上升的速度大小之比等于√2

典型問題四 多體平拋問題

1.多體平拋運(yùn)動(dòng)問題是指多個(gè)物體在同一豎直平面內(nèi)平拋時(shí)所涉及的問題。

2.三類常見的多體平拋運(yùn)動(dòng)

（1）若兩物體同時(shí)從同一高度（或同一點(diǎn)）拋出，則兩物體始終在同一高度，二者間距只取決于兩物體的水平分運(yùn)動(dòng)。

（2）若兩物體同時(shí)從不同高度拋出，則兩物體高度差始終與拋出點(diǎn)高度差相同，二者間距由兩物體的水平分運(yùn)動(dòng)和豎直高度差決定。

（3）若兩物體從同一點(diǎn)先后拋出，兩物體豎直高度差隨時(shí)間均勻增大，二者間距取決于兩物體的水平分運(yùn)動(dòng)和豎直分運(yùn)動(dòng)。

例4如圖6，x軸在水平地面內(nèi)，y軸沿豎直方向。圖中畫出了從y軸上沿x軸正向拋出的三個(gè)小球a、b和c的運(yùn)動(dòng)軌跡，其中a和c是從同一點(diǎn)拋出的。不計(jì)空氣阻力，則（ ）

A.a的飛行時(shí)間比b的長

B.b和c的飛行時(shí)間相同

C.a的水平速度比b的小

D.b的初速度比c的大

典型問題五b類平拋運(yùn)動(dòng)問題分析

1.受力特點(diǎn)：物體所受合力為恒力，且與初速度的方向垂直。

2.運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：在初速度ν₀方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在合外力方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a=F_合/m。

3.求解技巧

（1）常規(guī)分解法：將類平拋運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直于初速度方向（即沿合力方向）的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，兩分運(yùn)動(dòng)彼此獨(dú)立，互不影響，且與合運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性。 （2）特殊分解法：對(duì)于有些問題，可以過拋出點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將加速度分解為a_x、a_y，初速度ν₀化分解為ν_x、ν_y，然后分別在x、y方向列方程求解。endprint

例5

風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室能產(chǎn)生大小和方向均可改變的風(fēng)力。如圖7所示，在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室中有足夠大的光滑水平面，在水平面上建立xOy直角坐標(biāo)系。質(zhì)量m=0.5kg的小球以初速度ν₀=0.40m/s從0點(diǎn)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，在0?2.0s內(nèi)受到一個(gè)沿y軸正方向、大小F₁=0.20N的風(fēng)力作用；小球運(yùn)動(dòng)2.0s后風(fēng)力方向變?yōu)?；x軸負(fù)方向、大小變?yōu)镕₂=0.10N（圖中未畫出）。試求：

（1）2.0s末小球在y方向的速度大小和2.0s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移大??；

（2）風(fēng)力F₂作用多長時(shí)間，小球的速度變?yōu)榕c初速度相同。

解析 小球在力F₁作用下，在0?2.0s內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)。換為F₂作用后，當(dāng)小球沿y軸方向的速度為零時(shí)，小球的速度則與初速度相同。

（1）設(shè)在0?2.0s內(nèi)小球運(yùn)動(dòng)的加速度為a₁，則F₁=ma₁

2.0s末小球在y方向的速度ν₁=a₁t₁

代入數(shù)據(jù)解得ν₁=0.8m/s

沿x軸方向運(yùn)動(dòng)的位移x₁=ν₀t₁

沿y軸方向運(yùn)動(dòng)的位移y₁=1/2a₁t₁²

2.0s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移

代入數(shù)據(jù)解得t₂=4.Os。

典型問題六 水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)

1.運(yùn)動(dòng)實(shí)例：圓錐擺、火車轉(zhuǎn)彎、飛機(jī)在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)等。

2.特點(diǎn)：運(yùn)動(dòng)軌跡是水平面內(nèi)的圓。合外力沿水平方向指向圓心，提供向心力，豎直方向合力為零。

3.確定向心力的來源：沿半徑方向的合力

例6如圖8所示，半徑為的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對(duì)稱軸OO重合。轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度ω勾速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時(shí)間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，它和O點(diǎn)的連線與OO之間的夾角沒為60°。重力加速度大小為g。

（1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩檫力恰好為零，求⑴。；

（2）若ω=（1±k）ω₀；且0

典型問題七 豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)

1.模型概述：在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，運(yùn)動(dòng)至軌道最高點(diǎn)時(shí)的受力情況可分為兩類。一是無支撐（如球與繩連接，沿內(nèi)軌道的“過山車”等），稱為“輕繩模型”；二是有支撐（如球與桿連接，小球在彎管內(nèi)運(yùn)動(dòng)等），稱為“輕桿模型。

2.兩類模型對(duì)比

例7 一輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球，以另一端0為圓心，使小球在豎直面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖9所示，則下列說法正確的是（ ）

A.小球過最高點(diǎn)時(shí)，桿所受到的彈力可以等于零

B.小球過最高點(diǎn)的最小速度是√gR

C.小球過最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球的作用力一定隨速度增大而增大

D.小球過最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球的作用力一定隨速度增大而減小

典型問題八 用極限法分析圓周運(yùn)動(dòng)的臨界同題

除了豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的兩類模型，有些題目中也會(huì)出現(xiàn)“恰好”、“最大”、“至少”等字眼，說明題述過程存在臨界點(diǎn)，還有些題目中出現(xiàn)“取值范圍”、“函數(shù)關(guān)系”等詞語，說明題述過程存在起止點(diǎn)，而這些點(diǎn)往往就是解決問題的突破口。 例8如圖10所示，半徑為l/4、質(zhì)量為m的小球用兩根不可伸長的輕繩a、b連接，兩輕繩的另一端系在一根豎直桿的A、B兩點(diǎn)上，A、B兩點(diǎn)相距為l，當(dāng)兩輕繩伸直后，A、B兩點(diǎn)到球心的距離均為l。當(dāng)豎直桿以自己為軸轉(zhuǎn)動(dòng)并達(dá)到穩(wěn)定時(shí)（輕繩a、b與桿在同一豎直平面內(nèi)）。求：

（1）豎直桿角速度ω為多大時(shí)，小球恰好離開豎直桿。

（2）輕繩a的張力F_a兩點(diǎn)與豎直桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω之間的關(guān)系。