基于Matlab的鈉雙線波長(zhǎng)差實(shí)驗(yàn)?zāi)M

潘尹凡 馮 杰 郭長(zhǎng)江

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200235 )

利用邁克爾孫干涉儀測(cè)量鈉雙線的波長(zhǎng)差是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中重要的實(shí)驗(yàn)之一，但由于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)與操作技巧的不足，有時(shí)難以調(diào)出清晰的干涉條紋，從而導(dǎo)致對(duì)光學(xué)產(chǎn)生恐懼，因此有必要利用其他輔助方法讓學(xué)生看到條紋的變化情況，結(jié)合真實(shí)操作完整了解該實(shí)驗(yàn)的具體內(nèi)容與思想．

1 邁克爾孫干涉儀測(cè)量鈉雙線的基本原理

設(shè)兩根譜線的波長(zhǎng)λA<λB，d為兩塊反射鏡到分光板的距離差，當(dāng)達(dá)到中心位置的兩路光的光程差δ滿足式(1)時(shí)，對(duì)應(yīng)了兩個(gè)干涉條紋半錯(cuò)級(jí)，即視見度極低的狀態(tài)．

(1)

移動(dòng)某塊反射鏡增大d值，當(dāng)中心位置再次滿足半錯(cuò)級(jí)條件時(shí)，λB“走過(guò)”Δk個(gè)周期，λA由于恰錯(cuò)開一級(jí)，在Δk個(gè)周期的基礎(chǔ)上還多“經(jīng)歷”一個(gè)周期，故有

2(d+Δd)=(k+Δk)λB=

(2)

由式(2)減式(1)得

2Δd=ΔkλB=(Δk+1)λA

(3)

根據(jù)式(3)可求得

代回得光程差變化為

(4)

式中Δδ又稱為相干長(zhǎng)度，實(shí)驗(yàn)中只要測(cè)得多次中心附近視見度極低時(shí)刻的距離讀數(shù)，通過(guò)式(4)便可計(jì)算出譜線的波長(zhǎng)差．

2 基于Matlab的模擬

Matlab擁有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算與模擬能力，在上述原理的指導(dǎo)下，本實(shí)驗(yàn)可轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)語(yǔ)句進(jìn)行模擬(補(bǔ)償板用以補(bǔ)償一路的半波損失，在模擬中認(rèn)為反射損失已彌補(bǔ))．如圖1(a)中分光板為K，反射鏡為M1與M2，分光板中心距M1為KM1，分光板中心距M2為KM2，分光板中心距觀察屏為KE，如圖1(b)所示．

圖1 邁克爾孫干涉儀光路圖與等效光路圖

Matlab模擬

KM1=100*1e-3;

KM2=100.12*1e-3;

KE=0.3;

L2=KE+2*KM2;

L1=KE+2*KM1;

lam1=588.9963*1e-9;

lam2=(588.9963+0.663)*1e-9;

lam=[lam1;lam2];

ymax=50*1e-3;

y=linspace(-ymax,ymax,256);

x=y;

I=zeros(256,256);

for r=1∶2

for i=1∶256

for j=1∶256

u1=sqrt(y(i)^2+x(j)^2+(L1)^2);

u2=sqrt(y(i)^2+x(j)^2+(L2)^2);

phi=2*pi/lam(r)*(u1-u2);

Iz(i,j)=(1/u1)^2+(1/u2)^2+2/u1/u2*cos(phi);

end

end

I=I+Iz;

end

br=I.*255/max(max(I));

image(x,y,br);colormap(gray(255));axis square;axis off;

模擬中一塊反射鏡位置固定，距分光板中心KM1=100 mm，另一塊反射鏡可調(diào)．分光板距觀察屏0.3 m，可知兩路光程為L(zhǎng)1=KE+2KM1，L2=KE+2KM2，將鈉雙線波長(zhǎng)設(shè)為lam1與lam2，觀察屏寬度設(shè)為100 mm，采用256×256矩陣計(jì)算各點(diǎn)相對(duì)光強(qiáng)．

對(duì)該光路做等效處理，干涉圖樣可視為距觀察屏L1與L2的兩個(gè)光源形成的，因此可求得矩陣(觀察屏)上任意點(diǎn)到兩個(gè)等效光源的距離u1與u2，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的相位差phi．認(rèn)為兩光路的光強(qiáng)相等，則任意點(diǎn)的相對(duì)光強(qiáng)表達(dá)式為

(5)

將兩個(gè)波長(zhǎng)形成的干涉分布合成后歸一顯示即得最后的模擬效果．修改KM1的數(shù)值觀察干涉圖樣的變化情況，當(dāng)KM1為100.131 2 mm，100.393 3 mm，100.655 2 mm時(shí)中心視見度最低，對(duì)應(yīng)著真實(shí)實(shí)驗(yàn)中記錄的反射鏡位置，可計(jì)算得δ≈0.524 0 mm，通過(guò)式(4)得理論值為0.523 8 mm，本模擬可大致還原實(shí)驗(yàn)真實(shí)效果，幫助學(xué)生課前預(yù)習(xí)與課后復(fù)習(xí)．

圖2 干涉圖像隨反射鏡位置變化的情況

3 小結(jié)

現(xiàn)代光學(xué)應(yīng)用廣泛，但追其本源都離不開典型光學(xué)實(shí)驗(yàn)中的原理，因此實(shí)際動(dòng)手操作對(duì)每一個(gè)物理學(xué)子都是必要經(jīng)歷的過(guò)程．考慮到光學(xué)實(shí)驗(yàn)的儀器操作難度與設(shè)備保護(hù)等因素，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)前運(yùn)行相應(yīng)的計(jì)算機(jī)模擬，一方面能提前了解實(shí)驗(yàn)應(yīng)有的現(xiàn)象，一方面也能理清實(shí)驗(yàn)的大致步驟與要求，通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬與實(shí)際實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方式，相信可以幫助學(xué)生深刻理解光學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)思想與包含的物理原理．

但筆者最后需要強(qiáng)調(diào)并明確一點(diǎn)：計(jì)算機(jī)模擬是基于理想情況下的結(jié)果，在物理學(xué)習(xí)過(guò)程中僅起到知識(shí)點(diǎn)的預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)作用．物理學(xué)科的教學(xué)重點(diǎn)仍然在于實(shí)驗(yàn)室的真實(shí)實(shí)驗(yàn)，其作用是模擬實(shí)驗(yàn)不能替代的．望物理學(xué)子與物理教師們時(shí)刻謹(jǐn)記這點(diǎn)．

1 馮杰. 大學(xué)物理專題研究.北京：北京大學(xué)出版社，2011. 209～214

2 易明. 普通物理學(xué)教程. 光學(xué).北京：高等教育出版社，1999.140～167