一道期末測試命題引發(fā)的教學(xué)反思

李建波

【摘要】 高中學(xué)生會面對無數(shù)次考試檢測，對教師來說每次檢測都是對前一段教學(xué)的反饋和檢查.每次檢測所反饋的問題可能是由多方面原因造成的，如果造成這些問題的原因不能及時得到正確的認(rèn)識和糾正，可能會在往后的教學(xué)中造成更大更嚴(yán)重的問題.基于此，學(xué)生每次考試后我都會認(rèn)真分析出現(xiàn)的問題以及思考問題背后所隱藏在教學(xué)中的問題.本文以期末考試一道向量題為例，引發(fā)我對向量教學(xué)的思考與反思.

【關(guān)鍵詞】 平面向量;教學(xué)反思;課程標(biāo)準(zhǔn)

珠海市2016級高一第二學(xué)期期末考試試題有一道這樣的平面向量的填空題.

在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A平分線與AB邊上的中線交于O點.若AO =xAB +yAC （x，y∈ R ），則x+y的值為 .

在考試結(jié)束后，我們年級數(shù)學(xué)教師在一起討論過這道題.有的教師認(rèn)為此題的解題過程涉及角平分線性質(zhì)定理的應(yīng)用，但該定理在教材中并沒有明確提出，此題超出了考試大綱.

真的是這樣嗎？

先分析用角平分線性質(zhì)定理求解的思路，取AB邊中點D，連接CD交∠A平分線于點Ο，

由平分線性質(zhì)定理得 DO OC = AD AC = 1 3 ，

所以DO = 1 4 DC = 1 4 （AC -AD ）= 1 4 AC - 1 8 AB ，

所以AO =AD +DC = 1 2 AB + 1 4 AC - 1 8 AB = 3 8 AB + 1 4 AC ，

故x= 3 8 ，y= 1 4 ，x+y= 5 8 .

那么如果不用平分線性質(zhì)定理，此題是否有解？我給出如下兩種解法供大家參考.

解法一：由角分線定義出發(fā)，結(jié)合平面向量數(shù)量積以及∠BAO=∠CAO得

AB ·AO? AB ·AO? = AC ·AO? AC ·AO?? 4x+6ycosA 2 = 6xcosA+9y 3 .

又D，O，C三點共線，所以2x+y=1，

解得x= 3 8 ，y= 1 4 ，所以x+y= 5 8 .

解法二：從向量加法的平行四邊形法則出發(fā)可得

AO =λ? 1 2 AB + 1 3 AC? ，

所以2x=3y，可求得x= 3 8 ，y= 1 4 .

所以x+y= 5 8 .

由此可見，利用角平分線定理并不是唯一的方法，相反回歸定義法中去，解法更加簡單.

眾所周知，初高中數(shù)學(xué)知識是塔形結(jié)構(gòu)，塔形結(jié)構(gòu)最底層是雙基以及內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想及方法，然后就是在雙基內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)上，抽象概括的核心概念，再由概括形成數(shù)學(xué)觀念，進而形成哲學(xué)觀念.作為一名優(yōu)秀教師的知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知過程，應(yīng)該是自上而下的過程，簡單地說，教師教一個知識點時，與其對這個知識點的看法有直接關(guān)系，與其是否具有更高的觀點有直接關(guān)系.

最新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對平面向量的要求是“理解平面向量積運算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)、物理中的一些問題，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力”.在學(xué)向量之前的運算都是數(shù)與式的運算，但向量運算既是數(shù)的運算，也是圖像的運算，向量將兩者有機融合在一起，因此，要求發(fā)展學(xué)生的運算能力.正如章建躍教授所說：“當(dāng)下很多向量問題的教學(xué)，沒有反映向量法的本質(zhì)，往往是披著向量法的外衣，行綜合幾何方法之實，再者就是把向量中的代數(shù)化曲解為坐標(biāo)運算，窄化了向量法的應(yīng)用范圍.”

向量的加法法則與三角形定義一致，三角形是最基本最重要的幾何圖形之一，也是整個歐氏幾何的基礎(chǔ).向量數(shù)乘與三角形相似緊密聯(lián)系;平面向量基本定理與平行四邊形的性質(zhì)一致;平面向量內(nèi)積與三角形余弦定理等價;等等.

因此，在向量知識的教學(xué)中我們應(yīng)該加強對“方向”的認(rèn)識;加強從四個“向量一般定理”（平面向量基本定理、向量的加法法則、向量數(shù)乘的意義及運算律、向量數(shù)量積的意義及運算律）出發(fā)思考解決問題的能力;加強“代數(shù)運算”與“圖形運算”的結(jié)合，讓學(xué)生對向量法有基本而全面的認(rèn)識.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]人民教育出版社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.高中數(shù)學(xué)（必修4）[M].北京：人民教育出版社，2007.