用數(shù)學(xué)史促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主動建構(gòu)*

☉江蘇無錫市太湖格致中學(xué) 陳 鋒

☉江蘇無錫市東絳實驗學(xué)校 薛 鶯

一、問題的提出

隨著數(shù)學(xué)教學(xué)回歸本色，將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)已悄然成為課堂一道靚麗的風(fēng)景線，在數(shù)學(xué)教學(xué)中利用數(shù)學(xué)史將數(shù)學(xué)知識、方法、文化融為一體，不僅可以提升數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性和趣味性，熏陶中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，提升數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，而且可以幫助學(xué)生提高在新情景下對知識的理解以及遷移到不同情境中去的能力，從而達(dá)到檢測學(xué)生思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能.但是如果僅僅是把數(shù)學(xué)史當(dāng)作數(shù)學(xué)相關(guān)歷史的簡單介紹，是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，因為這樣做無法有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.那么，怎樣才能更好地在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮數(shù)學(xué)史的功用呢？筆者以為，可以采用數(shù)學(xué)史更多元化地融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，進(jìn)而讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知、思維和境界上都有所提升.現(xiàn)結(jié)合筆者的課堂教學(xué)實踐，來談一談自己在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的一些做法，供各位教師參考.

二、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)展示及效能分析

1.通過歷史成因揭示例題本質(zhì)，掌握基礎(chǔ)知識，完善學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知.

很多時候，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，往往會產(chǎn)生這樣的想法：“學(xué)這個東西到底有什么用啊？”學(xué)生一旦有了這樣的想法但得不到解答時，就會覺得我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只是為了學(xué)而學(xué)，并無實際意義.于是，他們就會產(chǎn)生消極感甚至排斥感.要消除類似想法，可以借助數(shù)學(xué)史，依史說數(shù)學(xué)，解決學(xué)生的迷惑，并在解惑的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提升學(xué)生對所學(xué)知識的理解與掌握.

（1）例題展示：.

我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用三角形解釋二項和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”.這個三角形給出了（a+b）n（n=1、2、3、…）的展開式的系數(shù)規(guī)律（按a的次數(shù)由大到小的順序）.請依據(jù)上述規(guī)律，寫出的展開式中含x2014項的系數(shù)：______.

圖1

（2）教學(xué)流程.

在學(xué)生觀察、思考例題的基礎(chǔ)上，教師通過“你知道楊輝三角嗎”來激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣，接下來教師介紹楊輝三角產(chǎn)生的歷史，教師通過問題“你知道楊輝三角與二項和展開式的系數(shù)之間有怎樣的關(guān)系嗎”引導(dǎo)學(xué)生思考的方向和觀察的角度.由此，學(xué)生憑借對楊輝三角這一數(shù)學(xué)史的了解，發(fā)現(xiàn)楊輝三角就是展開式的系數(shù)的規(guī)律，進(jìn)而順利完成問題的解答.最后教師對楊輝三角的數(shù)學(xué)史的知識進(jìn)行拓展，讓學(xué)生了解楊輝三角是開方做法的本源.

（3）效能分析.

在這一例題的教學(xué)中，教師通過介紹楊輝三角這段數(shù)學(xué)史，首先，回答了學(xué)生“為什么會產(chǎn)生楊輝三角”的疑惑，讓學(xué)生感受楊輝三角具有言簡意賅、準(zhǔn)確直白的特點，進(jìn)而體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與古代優(yōu)秀文化成果的聯(lián)系，再一次深刻感受民族文化的作用，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的快感.其次，對二項和的乘方展開式形成整體認(rèn)知：一方面通過史料的例子，學(xué)生可以很容易觀察到二項和的乘方展開式的系數(shù)與楊輝三角的關(guān)系，學(xué)生的學(xué)習(xí)變得直觀、明了，易于理解，而問題的解決也變得順理成章，水到渠成；另一方面，可以培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)感”，讓學(xué)生清晰地感知數(shù)學(xué)的形式美和簡潔美.因此，依傍數(shù)學(xué)史來講例題，既可以提升學(xué)生的認(rèn)知，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不再迷惘，并且能夠依靠數(shù)學(xué)史讓學(xué)生對所學(xué)的知識有進(jìn)一步理解，使其對數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容有更好的掌握，使數(shù)學(xué)思維過程簡明、準(zhǔn)確，從而更容易揭示數(shù)學(xué)對象的本質(zhì).

2.借助前人實踐挖掘例題內(nèi)涵，掌握基本技能，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

數(shù)學(xué)這門學(xué)科有其本身的特點，它不只是教授知識，更是在培養(yǎng)思維：教會學(xué)生思考，教會學(xué)生怎樣思考.在此時，往往可以借助數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生看到前人是怎樣思考的，借助前人思考的方式解決問題，并且在前人的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步.

（1）例題展示.

我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”，如圖2，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù).由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是________.

（2）教學(xué)流程.

學(xué)生看題、思考，教師直接讓學(xué)生回答后，追問：“你如何做的？你的根據(jù)是什么？”讓學(xué)生探究七進(jìn)制進(jìn)位方法的本質(zhì)，接著通過“從圖中你又了解到用什么辦法來計數(shù)呢”“你了解結(jié)繩計數(shù)的典故嗎”等問題，引出對最早的記數(shù)方法——結(jié)繩計數(shù)和石子計數(shù)的介紹，引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)來源于生活實際的認(rèn)同，最后教師用“遠(yuǎn)古時期，為什么人們用滿七進(jìn)一，而不用滿十進(jìn)一”“你會用十進(jìn)制來解決這個問題嗎”“如果是你，你更愿意用幾進(jìn)制計數(shù)法”等一系列問題對例題進(jìn)行引申，讓學(xué)生進(jìn)一步感受和體驗進(jìn)位制的“原形”.

（3）效能分析.

從這一案例可以看到，例題是以古代《易經(jīng)》“結(jié)繩計數(shù)”為素材，按滿七進(jìn)一計算自孩子出生后的天數(shù)，來獲得解決問題的途徑.教師首先通過介紹歷史典故，發(fā)現(xiàn)結(jié)繩計數(shù)法來源于生活實際，讓學(xué)生感受到前人發(fā)明的“結(jié)繩計數(shù)法”是一項光輝偉大的成就，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)文化，形成理性思維，同時能讓學(xué)生感受我國古代數(shù)學(xué)的成就，增強愛國情懷.這種“逐一計數(shù)”的方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)“一一對應(yīng)”的思想和“化繁為簡”的轉(zhuǎn)化思想.其次，讓學(xué)生對計數(shù)法的進(jìn)制進(jìn)行探究，運用了類比的方法，讓學(xué)生在探究中自然感受到“結(jié)繩計數(shù)法”，方法雖好，卻有缺陷.在進(jìn)一步的思考過程中，學(xué)生修正了前人的想法，彌補了結(jié)繩計數(shù)的缺陷，使方法更為完善，進(jìn)而從數(shù)學(xué)的本源解決了這一問題.這正是借助前人的思維，來提升自己的思維.我們沿著前人的腳步前進(jìn)，卻并不固步自封，而是能在前人的基礎(chǔ)上，更進(jìn)一步.哪怕是一小步，也是一種超越前人的舉動.這樣不但可以訓(xùn)練學(xué)生的思維，也能夠提升學(xué)生的自信心，而這兩者，都是數(shù)學(xué)課堂上應(yīng)該達(dá)成的任務(wù).

3.對照文史資料拓展例題外延，發(fā)展數(shù)學(xué)情態(tài)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)境界.

歷史屬文，數(shù)學(xué)是理.文科有文藝、感性的一面，理科則以邏輯、抽象的面目出現(xiàn).這兩者在課堂上如果能得到和諧統(tǒng)一，那么學(xué)生不但能學(xué)好數(shù)學(xué)，更能夠提升自身的境界，感受數(shù)學(xué)的魅力，也體驗到文學(xué)的絢麗.

圖2

（1）例題展示.

我國古代有這樣一首古詩“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長幾何”.請求古詩中寓含的數(shù)學(xué)問題：葛藤的最短長度是_____尺.

（2）教學(xué)流程.

在學(xué)生閱讀古詩的基礎(chǔ)上，師生共同對古詩解讀，因一丈是十尺，因此得到題意是：一根枯木豎立在地面上，該枯木的高為20尺，枯木底面周長為3尺，有葛藤自枯木底部纏繞而上，繞五周后其末端恰好到枯木頂部.求葛藤的最短長度.進(jìn)而讓學(xué)生明確題目的已知和問題，然后引導(dǎo)孩子根據(jù)題目的含意，把枯木看作一個圓柱體，畫出相應(yīng)的圖畫（如圖3），接著教師追問：“如何解決求最短的長度這一問題？”引導(dǎo)學(xué)生首先把立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形，圓柱體沿側(cè)面的母線展開是一個矩形，再在一個平面上求最短，利用直線最短和勾股定理即可求得.最后教師總結(jié)歸納在解決這個問題的過程中，用到了很多數(shù)學(xué)思想和方法.

（3）效能分析.

這一例題是一首古詩，把數(shù)學(xué)的問題撰寫成詩歌，是我國古代特別的一種數(shù)學(xué)形式，學(xué)生從中可以感受到詩歌與數(shù)學(xué)美并存其間，這是一種文藝美.而數(shù)學(xué)又將無數(shù)的歷史文學(xué)，化歸抽象成公式運算，這是數(shù)學(xué)的邏輯美.首先，近年來很多數(shù)學(xué)中考試題選自于中國古代數(shù)學(xué)名著，如《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》等，其實不僅是中考試題，教材中也收集了中國古代數(shù)學(xué)問題，如“雞兔同籠”“百錢百雞”等，當(dāng)然還有國外數(shù)學(xué)名題.其次，這些具有文化歷史背景的題目，根據(jù)已學(xué)過的基礎(chǔ)知識和思想方法再現(xiàn)探究過程，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，同時可以不斷地增強學(xué)生的創(chuàng)造力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信念.再次，解答有歷史背景的題目，可以展現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值，喚起學(xué)生的情感，如數(shù)學(xué)家及其著作的重要成果能夠喚起學(xué)生的民族自豪感和自主創(chuàng)新精神，經(jīng)典歷史原題、名人名題能讓學(xué)生充分領(lǐng)略古代數(shù)學(xué)的思想精髓.寓教育于考試之中，挖掘數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，即數(shù)學(xué)的精神、思想和方法.

圖3

三、對數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)例題教學(xué)的思考

正如張奠宙教授所言：“學(xué)術(shù)形態(tài)向教育形態(tài)的轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)從冰冷到火熱這一過程.”如果說數(shù)學(xué)從發(fā)明到呈現(xiàn)在教科書上，是“火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗”，那么，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂，把富有詩意的內(nèi)容添入數(shù)學(xué)課堂中，則讓書上那冰冷的美麗又呈現(xiàn)出火熱的詩意來.在這樣的課堂上，學(xué)生不僅能學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，更能體驗到數(shù)學(xué)史帶來的美感，無形中也提升了學(xué)生的境界，開闊了學(xué)生的眼界.其實，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時了解數(shù)學(xué)史，本應(yīng)該如同學(xué)習(xí)語文名篇時掌握相關(guān)文學(xué)常識一樣理所當(dāng)然.可是在很多時候，由于“實用主義”，我們往往有意無意地把這些原本應(yīng)該了解的內(nèi)容忽略掉了.反過來，在數(shù)學(xué)史介入數(shù)學(xué)課堂之后，我們也應(yīng)該沿著前人的腳步或借用前人的眼光去觀察、學(xué)習(xí)、思考數(shù)學(xué)，并在前人的基礎(chǔ)上力圖有所升華.因此筆者認(rèn)為教師要把握好以下幾點：

1.數(shù)學(xué)史的選擇要有“度”.

在數(shù)學(xué)例題教學(xué)中引用數(shù)學(xué)史時，數(shù)學(xué)史的選擇要能緊扣例題，聯(lián)系知識點，需要關(guān)注以下兩個“角度”.（1）適合學(xué)生實際.數(shù)學(xué)史的引用要適合學(xué)生的現(xiàn)有學(xué)習(xí)水平、潛能、興趣等因素.（2）把握例題的特點.不是所有例題都能引用數(shù)學(xué)史.這就要求教師對例題作深入鉆研，因為它是提升例題教學(xué)有效性的基礎(chǔ).

2.數(shù)學(xué)史的引用要有“法”.

數(shù)學(xué)史的引用，離不開教師的引導(dǎo)，離不開例題作支撐，因此，教師引導(dǎo)的方式，教師是否適時、適度地引導(dǎo)，是數(shù)學(xué)史的引用成與敗的關(guān)鍵.因此要注意以下兩個“方法”.（1）要關(guān)注學(xué)生的差異性；盡可能滿足學(xué)生自主發(fā)展的需要，在教師的組織和必要的引導(dǎo)下，顯示學(xué)生自己的才華.（2）有些數(shù)學(xué)史不用探究，只要學(xué)生簡單了解、教師講解即可，而有些數(shù)學(xué)史為了今后能有效遷移，有必要進(jìn)行延伸，讓學(xué)生自主探尋和發(fā)現(xiàn).

3.數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)要有“方”.

在數(shù)學(xué)例題教學(xué)中引用數(shù)學(xué)史時，數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)需要關(guān)注以下幾個方面.（1）有些數(shù)學(xué)史學(xué)生都清楚，只要教師稍作提示即可.（2）有些數(shù)學(xué)史，學(xué)生已有所了解，需要教師必要的提示，再通過師生或生生之間的對話，互相啟發(fā)、互為補充才能完成.（3）有些比較生僻，教師可以借助信息技術(shù)輔助展示.

綜上可知，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂，借助數(shù)學(xué)史進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，并不僅僅是一種“有趣的介紹”，也不是為了介入而介入，而是因為在實際運用中，數(shù)學(xué)史確實值得我們?nèi)谌霐?shù)學(xué)課堂之中.以史入數(shù)，憑史而學(xué)，史數(shù)相激，必能發(fā)出耀眼的火花.