讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向縱深處漫溯

方芳

【關(guān)鍵詞】認(rèn)識百分?jǐn)?shù);數(shù)學(xué)思考;數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)思維

【中圖分類號】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2018）81-0064-03

不久前，筆者聽特級教師周衛(wèi)東執(zhí)教蘇教版六上《認(rèn)識百分?jǐn)?shù)》，感觸頗深：周老師從知識的頂端和本質(zhì)研究教材，以“高觀點”的視角引領(lǐng)教學(xué)，給了這節(jié)課全新的生命——內(nèi)涵深刻、外延豐富、溝通緊密、板塊清晰，充分體現(xiàn)了學(xué)生主體。

這節(jié)課教學(xué)的界面特別寬，知識的延展特別豐富，涉及的概念延展就有比、扇形統(tǒng)計圖、分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生、估算、十進(jìn)分?jǐn)?shù)等，每一處延伸都讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)思考可以更全面、更深刻、更豐富，每個學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力都得到了一定程度的鍛煉和提高。

數(shù)學(xué)思想的滲透往往是“潤物細(xì)無聲”的。本節(jié)課中，在揭示百分?jǐn)?shù)意義的過程中，圈出一個數(shù)和另一個數(shù)的圈，對學(xué)生習(xí)得建模思想的作用不言而喻;讓學(xué)生自主表示百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系，集合圈的出現(xiàn)體現(xiàn)了集合思想的滲透;引導(dǎo)學(xué)生比較百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的區(qū)別，掌握百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征，無形之中有了比較思想;學(xué)生在研究過程中學(xué)會一分為二、辯證地看待事物，讓辯證思想悄然登場。

這節(jié)課著力聚焦高階思維的提升，學(xué)生在學(xué)習(xí)、思考的過程中分析、評價和創(chuàng)造，在解決問題的過程中融會貫通、拓展思路、發(fā)散思維。本節(jié)課中，表示數(shù)量之間關(guān)系知識點的整理、十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的拓展、百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生必要性的探究等，讓學(xué)生的思維能力不斷提升，學(xué)生的創(chuàng)造力、想象力在教師搭建的舞臺上發(fā)光發(fā)亮。

片段一：引發(fā)聯(lián)想，深度追問“百分?jǐn)?shù)的意義”

師：課前，老師請大家找一個生活中用到百分?jǐn)?shù)的句子?，F(xiàn)在，請你說出你的句子，并說說你句子中的百分?jǐn)?shù)表示什么意思。

生：一杯糖水含糖7%，這里百分?jǐn)?shù)表示糖是糖水的7%。

生：下載一部動畫片，進(jìn)度條顯示78%，這里百分?jǐn)?shù)的含義是已下載動畫片的量是下載總量的78%。

師：像這樣說下去，說得完嗎？老師這兒也有個句子——“一塊電池，用電量還剩80%”，這個句子中的80%是什么意思？

生：剩余電量占總電量的80%。

師：好好觀察這些百分?jǐn)?shù)，表示的意思，試著概括一下百分?jǐn)?shù)究竟表示什么。

師：是的，所謂百分?jǐn)?shù)，就是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。這句話是百分?jǐn)?shù)意義規(guī)范層面的解讀，在數(shù)學(xué)上，根據(jù)這個意義，我們還可以聯(lián)想到更多和它有關(guān)的句式。

出示任務(wù)一：“一塊電池，用電量還剩80%”，還可以想到哪些關(guān)鍵句？

學(xué)生大膽想象、發(fā)散思維，完成學(xué)習(xí)單，然后全班交流。

生：已經(jīng)用掉的電量占總電量的20%。（板書：百分?jǐn)?shù)）

生：用去電量和剩余電量的比是1∶4。（板書：比）

生：剩余電量占總電量的。（板書：分?jǐn)?shù)）

生：剩余電量是用去電量的4倍。（板書：倍） 生：把用去的電量看作1份，剩余的電量就是4份。（板書：份）

師：由一句含有百分?jǐn)?shù)的句子，大家想到了比、分?jǐn)?shù)、倍、份，真是太牛了！好好琢磨一下，這些知識點有沒有共同之處？它們都在努力表示什么？

生：我覺得它們都在表達(dá)兩個數(shù)之間的關(guān)系或聯(lián)系。

師：說得多好?。∈堑?，它們都是在表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系。（板書：關(guān)系，整理出圖1）

師：同學(xué)們把小學(xué)階段表示數(shù)量之間關(guān)系的知識點基本都整理出來了，可以用百分?jǐn)?shù)表示，可以用比表示，可以用分?jǐn)?shù)表示，可以用倍表示，也可以用份表示，它們是一些相近的概念。

教材中給出的百分?jǐn)?shù)的意義只有一句話：“一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。”在教學(xué)中，周老師通過引導(dǎo)學(xué)生解讀生活中百分?jǐn)?shù)的含義，促使學(xué)生不斷地概括、歸納、總結(jié)，從而得出所謂“關(guān)于百分?jǐn)?shù)意義的最規(guī)范層面的概括”。接著，周老師通過“還可以想到哪些關(guān)鍵句？”這個問題，進(jìn)一步推動學(xué)生的聯(lián)想、溝通，并在相關(guān)過程中形成了一幅精妙的關(guān)系圖。這幅圖揭示了百分?jǐn)?shù)和比、分?jǐn)?shù)、倍、份等概念表達(dá)的都是數(shù)量之間的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生對百分?jǐn)?shù)意義的研究走向了更深處。

片段二：對比分析，逐層理清“百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)間的關(guān)系”

師：剛才，我們研究了百分?jǐn)?shù)的意義，并由百分?jǐn)?shù)做出了這么多的聯(lián)想，真是太棒了！接下來，讓我們聚焦這個問題，百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)之間到底有什么樣的關(guān)系？同桌互相說一說。

出示任務(wù)二：哪些是百分?jǐn)?shù)？分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)之間是什么關(guān)系？

師：“一根繩長米，用去了”“噸是噸的”，這兩個句子中哪些是百分?jǐn)?shù)？圈出來。想一想，百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)之間到底有什么關(guān)系？用一張圖來表示兩者之間的關(guān)系。

師：為什么圈的這兩個數(shù)是百分?jǐn)?shù)？

生：“一根繩長米”，是把1米看作單位“1”，平均分成100份，取其中的41份，而“用去了”，是用去的繩長與繩子總長度進(jìn)行了比較。

生：帶單位的分?jǐn)?shù)表示的是具體數(shù)值，不帶單位的分?jǐn)?shù)表示的是數(shù)量之間的關(guān)系。

師：由此可見，盡管帶單位的分?jǐn)?shù)的分母也是100，但它不是百分?jǐn)?shù)。弄清楚這個關(guān)系之后，我們再來看這位同學(xué)的作品（如圖2），用這樣的圖表示分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)間的關(guān)系，可以嗎？

師：老師把圖稍微改進(jìn)一下，但不改變它的意思。（豎線隔開）百分?jǐn)?shù)表示一種關(guān)系，那左邊這部分表示什么？（具體數(shù)值）右邊呢？（關(guān)系）（如圖3）

師：是的，表示關(guān)系的分?jǐn)?shù)中有一種特殊的數(shù)，就是百分?jǐn)?shù)，它特殊在哪里？（分母是100）百分?jǐn)?shù)還有一些“親兄弟”，大家猜猜是什么。

出示：今年小麥增產(chǎn)了兩成;我的牛排煎七分熟;按原價的九折購得一臺電腦;海水的含鹽量是3.5‰;存款的月利率是5.85‰。

生：哇！是十分?jǐn)?shù)和千分?jǐn)?shù)。

師：十分?jǐn)?shù)的分母是10，百分?jǐn)?shù)的分母是100，千分?jǐn)?shù)的分母是1000，這些分?jǐn)?shù)都是“十進(jìn)分?jǐn)?shù)”。

百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征（百分?jǐn)?shù)不是一個具體的量，而是刻畫一種比率關(guān)系）是學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)意義的一個難點。透過實例中“哪些是百分?jǐn)?shù)”的判斷，突出百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的對比，學(xué)生在比較中自主建構(gòu)出了百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系：百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。接著，周老師啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究：百分?jǐn)?shù)是從分母是100的分?jǐn)?shù)發(fā)展而來的，但又區(qū)別于分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)只能表示兩個數(shù)之間的關(guān)系，而分?jǐn)?shù)既能表示具體數(shù)值也能表示兩個數(shù)的關(guān)系。除了百分?jǐn)?shù)之外，還有一些特殊的分?jǐn)?shù)，如千分?jǐn)?shù)、十分?jǐn)?shù)等，它們都叫十進(jìn)分?jǐn)?shù)。教師站在一定的高度對知識的外延進(jìn)行了補充，讓學(xué)生在討論、交流、評價過程中逐步打破了自己對分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的原有認(rèn)知，提升了思維。

片段三：創(chuàng)設(shè)疑障，有效回應(yīng)“百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必然”

師：清楚了百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系，我們來研究第三個問題——有了分?jǐn)?shù)，為什么還要有百分?jǐn)?shù)？大家互相說一說。

出示任務(wù)三：哪一種罐頭的質(zhì)量好？（出示圖4）

師：我發(fā)現(xiàn)好多同學(xué)在皺眉頭，為什么？

生：不好算。

師：先說說應(yīng)該怎么來解決這個問題。

生：算合格的占抽查箱數(shù)的幾分之幾，然后比較三個分?jǐn)?shù)的大小。

師：在比較時你有什么感覺？

生：太難了。

師：是的，看得出，你們都是在硬通分，還有更好的方法嗎？

生：統(tǒng)一成百分?jǐn)?shù)。

師：統(tǒng)一成百分?jǐn)?shù)有什么好處？

生：好比較，分母都是100.

師：怎么把這樣的分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)呢？

生：用分子除以分母，把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)，確認(rèn)保留幾位小數(shù)位后，乘以100，得數(shù)加上%就變成百分?jǐn)?shù)了。

師：我們經(jīng)歷了復(fù)雜的、不好比較的過程，更好地體會到了百分?jǐn)?shù)的作用。現(xiàn)在誰來說說，為什么有了分?jǐn)?shù)還要有百分?jǐn)?shù)呢？

生：在分?jǐn)?shù)不好比較時，先統(tǒng)一成相同的計數(shù)單位，然后再比較。

師：太了不起了！為大家點贊！此時，這個統(tǒng)一的計數(shù)單位是什么？

生：百分之一。

在突出百分?jǐn)?shù)相較于分?jǐn)?shù)的優(yōu)越性時，無論是人教版教材還是蘇教版教材，使用的例題看似不同，但內(nèi)在本質(zhì)都是一樣的：化成分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較時，公分母恰巧就是100，這樣的題材太過巧合，人為的痕跡過重，不能把學(xué)生置于一個矛盾沖突之中，從而不易使他們感受到百分?jǐn)?shù)“不可替代”的作用。試想，通分后公分母如果是300，是不是也要創(chuàng)造一個三百分?jǐn)?shù)？此環(huán)節(jié)中，周老師創(chuàng)設(shè)了一個趨于真實的情境，讓學(xué)生在沖突、悱憤的狀態(tài)中皺眉、苦思，從而頓悟到百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必然。

師：百分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是為了更方便我們?nèi)ケ容^?；貞浺幌?，分?jǐn)?shù)是在什么情況下產(chǎn)生的？（出示人教版教材中的素材）

師：分?jǐn)?shù)就是在生活中為了度量的需要產(chǎn)生的。在分?jǐn)?shù)的使用過程中，為了更方便我們比較，發(fā)明了百分?jǐn)?shù)。那再想想，學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)有什么用？

生：用到生活中去。

師：是的，學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)是為了更好地服務(wù)于生活。如果離開了生活當(dāng)中的應(yīng)用，百分?jǐn)?shù)就失去了意義。（出示圖5）

百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性在這個環(huán)節(jié)得到了很好的體現(xiàn)。教師精心創(chuàng)編數(shù)據(jù)，使得實際問題更貼合實際情況，在問題解決過程中，學(xué)生更加體會到百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的需要。結(jié)合歷史文化背景介紹，形成分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和生活三者之間的循環(huán)聯(lián)系，有助于學(xué)生更深刻地理解分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必然性。

（作者單位：南京市長江路小學(xué)）