函數(shù)觀點看數(shù)列

徐建東

高中教材必修5（蘇教版）中的數(shù)列定義是：數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1，2，3，…，k｝）為定義域的函數(shù)an＝f（n），當自變量按照從小到大的順序依次取值時，所對應(yīng)的一列函數(shù)值.

由此我們知道，數(shù)列可視為特殊的函數(shù)，可以用函數(shù)的觀點來看待數(shù)列，用研究函數(shù)的方法來研究數(shù)列.這為我們提供了一個更高的觀點.當然，同時要注意數(shù)列的特殊性：其定義域是正整數(shù)集或其有限子集｛1，2，3，…，k｝.因此在數(shù)列的圖象、最值、單調(diào)性、周期性等方面有其特殊的表現(xiàn)形式，如果不加注意也會產(chǎn)生錯誤.

一、函數(shù)視角下的數(shù)列的圖象和最值

例1求數(shù)列前n項和Sn＝n2-3n＋1的最小值.

分析考慮到數(shù)列前n項和Sn＝n2-3n＋1是關(guān)于n的二次函數(shù)，所以我們可以構(gòu)造函數(shù)f（x）＝x2-3x＋1，通過對函數(shù)圖象的研究來得到數(shù)列前n項和Sn＝n2-3n＋1的最值，我們可以列表如下：

函數(shù)f（x）＝x2-3x＋1 數(shù)列Sn＝n2-3n＋1主要差異①定義域 x∈R n∈N*②圖象③ 最值 f（x）＝x2-3x＋1＝ x-32（ ）2-54 Sn＝n2-3n＋1＝ n-32（）2-54

由此我們看到數(shù)列中的如下結(jié)論：因兩者在定義域上的顯著差異，導(dǎo)致其在圖象和最值上的差異，主要為：函數(shù)f（x）＝x2-3x＋1的圖象是一根開口向上的光滑的拋物線，而數(shù)列Sn＝n2-3n＋1的圖象是拋物線上的一系列離散的點.函數(shù)在時取得最小值而數(shù)列在n取1或者2時才會取得最小值-1.

二、函數(shù)視角下的數(shù)列的單調(diào)性

例2已知｛an｝是遞增數(shù)列，且對任意的n∈N*，都有an＝n2-λn恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.

錯解設(shè)函數(shù)f（x）＝x2-λx，

因為｛an｝是遞增數(shù)列，所以f（x）＝x2-λx在[1，＋∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，

正解1因為數(shù)列｛an｝是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an＜an＋1對n∈N*恒成立，

即n2-λn＜（n＋1）2-λ（n＋1）對n∈N*恒成立；

所以λ＜2n＋1對n∈N*恒成立，所以λ＜3.

正解2設(shè)函數(shù)f（x）＝x2-λx，因為｛an｝是遞增數(shù)列，結(jié)合f（x）＝x2-λx的圖象，可知對稱軸解得λ＜3.

函數(shù)單調(diào)性的定義中，所取的兩個自變量是定義域A的子區(qū)間I上的任意兩個量，而數(shù)列單調(diào)性中，自變量取的是相鄰的兩個正整數(shù).在求最大和最小值時，數(shù)列中的n只能在整數(shù)內(nèi)取值.如果結(jié)合圖象，我們可以把這些看得更清楚.

三、函數(shù)視角下的數(shù)列的周期性

例3已知數(shù)列｛an｝中，a1＝1，a2＝2，且有an＋2＝an＋1-an（n∈N*），求S2017.

分析對于這個數(shù)列，我們很難求出其通項公式，我們能做的也只能是嘗試著寫出數(shù)列的前幾項，試著找找有沒有規(guī)律，我們發(fā)現(xiàn)：

至此，我們已發(fā)現(xiàn)，這個數(shù)列是一個以6為周期的周期數(shù)列，要求數(shù)列的前2017項的和，每個周期內(nèi)6項的和等于0，S2017＝1.

結(jié)語：

學(xué)習(xí)數(shù)列，不能離開函數(shù)思想方法的指導(dǎo)，因為數(shù)列是特殊的函數(shù)；但在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，也不能將自變量離散變化的數(shù)列完全等同于自變量連續(xù)變化的函數(shù)，畢竟數(shù)列是特殊的函數(shù).