發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學問題的方法

常軒銘

著名數(shù)學家哈爾莫斯曾說：“問題是數(shù)學的心臟.”古希臘的三大幾何作圖難題推動了當時古希臘幾何學的發(fā)展，1900年世界數(shù)學家大會上希爾伯特的23個數(shù)學問題推動了現(xiàn)當代數(shù)學學科的發(fā)展，問題是推動數(shù)學學科發(fā)展的根本動力.但是，我認為，問題的解決固然重要，但更為重要的應該是發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，試想，如果沒有問題的發(fā)現(xiàn)與提出，又怎么會有問題的解決呢？作為一名高中學生，雖然我們不可能像大數(shù)學家一樣提出能影響數(shù)學學科發(fā)展的大問題，但我們可以從中學開始，盡自己的所能去提出、發(fā)現(xiàn)一些值得我們深入研究的問題，不斷地培養(yǎng)自己發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，我想在不久的將來，說不定我們也能提出一些能推動學科發(fā)展的大問題.下面結合我自己在數(shù)學學習過程中的經(jīng)歷和體驗，和各位同學分享自己是如何發(fā)現(xiàn)并提出一些數(shù)學問題的.

方法1：對概念或定義提出一些質疑

數(shù)學教材中有很多的數(shù)學概念和定義，它們是數(shù)學學科必不可少的組成部分.當我們在學習數(shù)學概念或定義時，如果能對概念或定義多問幾個“為什么”，多提出一些質疑，不僅可以提出一些有價值的問題，同時能加深我們對概念或定義的理解.

以集合中的兩個概念和定義為例來說明.

例1 我們在高一學習過集合的概念：“一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構成一個集合.”

問題1：為什么數(shù)學定義和概念前一般都會有“一般地”？

問題2：什么是一定范圍？怎樣才算是確定的？

例2空集有如下性質：我們約定，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

任何一個約定式定義都有它存在的合理性和必要性.因此可以提出下列問題：

問題1：為何要做這樣的約定？（必要性）

問題2：為何可以做出這樣的約定？（合理性）

方法2：反過來思考問題

反過來思考問題，是指學完一個命題后，追問自己：這個命題將條件作為結論，將結論作為條件是否成立？這樣可以發(fā)現(xiàn)、提出很多新的問題.

例3初中我們曾經(jīng)學過平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.那么，將條件和結論的順序交換一下，便可以提出新的問題：兩直線平行，同位角是否相等？兩直線平行，內(nèi)錯角是否相等？兩直線平行，同旁內(nèi)角是否互補？

例4在“數(shù)列”一章，我們已經(jīng)知道這樣一個結論：

已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，則它的前n項和為將它的條件和結論交換順序，便可提出新的問題：已知數(shù)列｛an｝的前n項和為則這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？

方法3：將結論一般化

將結論一般化是指當我們學完一個命題后，追問自己：能否將命題的結論作一般性推廣？這個也是比較常用的提出問題的方法.

例5對于集合子集個數(shù)的探討，教材上讓我們試著寫出｛a1，a2｝的全部子集，在教材旁白部分有一個思考題：請寫出｛a1，a2，a3｝的全部子集.研究了集合元素個數(shù)為2個和3個的子集個數(shù)之后，我們可以提出一個新的問題：如果集合中元素個數(shù)為n（n∈N），那么集合子集個數(shù)有多少個？并且可以思考如何給出證明.

例6當我們研究了橢圓中頂角為30°，60°等特殊的焦點三角形的面積后，我們可以提出一個新的問題：如果頂角為θ，那么焦點三角形面積的一般結論是什么？

方法4：四則運算生成新問題

四則運算生成新問題是指，如果概念（定義）或性質中有加減乘除四則運算中的一個，我們可以在其他四則運算形式下提出相似的問題.

以等差數(shù)列和橢圓為例加以說明.

例7從第二項開始，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)，這樣的數(shù)列為等差數(shù)列.

我們可以將差改為“和”“積”“商”，提出相似的問題.

從第二項開始，每一項與前一項的和都等于同一個常數(shù)，這樣的數(shù)列為等和數(shù)列.

從第二項開始，每一項與前一項的乘積都等于同一個常數(shù)，這樣的數(shù)列為等積數(shù)列.

從第二項開始，每一項與前一項的商都等于同一個常數(shù)，這樣的數(shù)列為等商數(shù)列.

并且可以仿照研究等差數(shù)列的相關方法，研究等和數(shù)列、等積數(shù)列、等商數(shù)列（就是以后研究的等比數(shù)列）的通項公式、前n項的和及其他相關性質.

例8平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓.

我們可以將“和”改為“差”“積”“商”，提出相似的問題.

問題1：平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差等于常數(shù)的點的軌跡是什么？

問題2：平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的積等于常數(shù)的點的軌跡是什么？

問題3：平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的商等于常數(shù)的點的軌跡是什么？

方法5：從課本的例題和習題中提出新的問題

蘇教版高中數(shù)學教材有一個很大的亮點和特色是教材的例習題的選編，每一節(jié)后面都有配套的課堂練習.習題部分分為三個層次：感受理解、思考運用、探究拓展.難度層層遞進，思考的深度由淺入深，同時教材在例習題的選擇上也是非常得當?shù)?從課本的例題和習題中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題也是常用的方法之一.

例9蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書（必修4）》第50頁有這樣一個問題：

一鐵棒欲通過如圖1所示的直角走廊，回答下列問題：

（2）求L（θ）的最小值（用計算器或計算機）；

（3）解釋（2）中所求得的L是能通過這個直角走廊的鐵棒的長度的最大值.

圖1

該題是一道非常有趣的應用題，其形式新穎，又貼近生活實際，我們可以進一步提出新的問題：題目中展現(xiàn)的是一個不等寬的直角走廊，如果換成等寬直角走廊，情況有何變化？若將直角走廊換成折線形走廊、彎角走廊、圓角走廊，將木棒變成有厚度的平板小車（或木板），情況又是怎樣的呢？

我想，如果我們能在平時的數(shù)學學習過程中活用這樣一些發(fā)現(xiàn)、提出問題的方法，相信長久堅持下去一定能提高自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，與此同時也能不斷提升問題的質量和層次.更為重要的是，在問題的提出和解決過程中，我們能收獲研究問題的樂趣和數(shù)學學習的興趣，這一點能更好地促進我們的數(shù)學學習.