利用次數(shù)關(guān)系簡化不等式問題

張 鵬

在高中數(shù)學(xué)涉及的基本不等式a＋b≥中，觀察發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)不等式前后次數(shù)不變的不等式.若我們更強(qiáng)調(diào)其中的次數(shù)關(guān)系及一般性，可把此式推廣為

即把一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)單項(xiàng)式做大小比較，且該單項(xiàng)式的次數(shù)為多項(xiàng)式各項(xiàng)次數(shù)和的算術(shù)平均數(shù).利用這個(gè)關(guān)系，我們可以對(duì)較為復(fù)雜、含有較高次數(shù)多項(xiàng)式的不等式問題進(jìn)行簡化.

例1已知a＞0，b＞0，ab＝1，求證：

分析1要將左式中的一次項(xiàng)轉(zhuǎn)化為右式中的次項(xiàng)，添加零次項(xiàng)來使用均值不等式進(jìn)行降次是常用手段，易知

分析2注意到的次數(shù)關(guān)系，將a＋b化成與有關(guān)的式子.

變式 已知a＞0，b＞0，c＞0，abc＝1，求證：

證明

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)取等號(hào)

例2a，b＞0，ab＝1，則的最小值是________.

分析目標(biāo)式的分母中出現(xiàn)平方項(xiàng)，次數(shù)較高，可考慮利用均值不等式把分母調(diào)整為一次式.觀察發(fā)現(xiàn)，a＝b＝1時(shí)，可猜測(cè)此時(shí)取到最小值并證明.

通分化簡得：

所以命題得證，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)

例3若正數(shù)x，y滿足15x-y＝22，則x3＋y3-x2-y2的最小值為________.

分析本題最常見的解法是代入消元，然后用導(dǎo)數(shù)解決，我們先來看一下使用這種解法的解題過程：

則f′（x）＝8（633x-935）（2x-3），

所以f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

然而這樣的解法計(jì)算太過繁雜.若從另外一個(gè)角度分析，由15x-y＝22，可以發(fā)現(xiàn)x＞1，將x3＋y3-x2-y2寫成x2（x-1）＋y2（y-1），若y＞1，則x3＋y3-x2-y2不可能有最小值，因此0＜y＜1，從二分法的角度思考，猜想再用基本不等式證明.要把x3＋y3-x2-y2調(diào)整為含15xy的形式，需要利用均值不等式進(jìn)行降次.

這種解法的運(yùn)算難度遠(yuǎn)小于上一種，雖看似難以想到，但若能透徹理解不等式前后次數(shù)變化的關(guān)系，稍加猜測(cè)，就很自然了.

通過攻克以上題目，我意識(shí)到平時(shí)對(duì)基本公式、基本定理等一定要爛熟于心，吃透理解.由這些公式或定理推廣的一般結(jié)論往往能為我們的解題提供助力，使我們胸有成竹，從容應(yīng)對(duì)考試.