淺議概念學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的落實(shí)

史寧中教授指出，數(shù)學(xué)要成為科學(xué)，第一個(gè)不可逾越的難關(guān)就是如何理解概念。同時(shí)，對(duì)幾何學(xué)所需要的數(shù)學(xué)概念的抽象比代數(shù)學(xué)更為困難，越是直觀的事物，或是與我們的日常生活聯(lián)系密切的事物越難抽象。《認(rèn)識(shí)三角形》是小學(xué)階段“圖形與幾何”領(lǐng)域中十分重要的概念，圍繞如何幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中理解這一概念，我們展開了實(shí)踐與思考。

【教材分析】三角形的認(rèn)識(shí)安排在“蘇教版”教材四年級(jí)下冊(cè)，例題1引導(dǎo)學(xué)生抽象出什么樣的圖形是三角形，例題2是通過人字梁中的特殊線段認(rèn)識(shí)三角形的高。人字梁是認(rèn)識(shí)“高”很好的模型，但在學(xué)生生活中并不常見，我們思考是否可以找一個(gè)合適的原型替換掉人字梁，但需同樣發(fā)揮對(duì)“高”的理解價(jià)值。

【學(xué)情調(diào)研】全年級(jí)12個(gè)班，抽取其中兩個(gè)班級(jí)對(duì)學(xué)情進(jìn)行了測(cè)試和分析。

前測(cè)問題設(shè)計(jì)及分析（測(cè)試人數(shù)：86人，地點(diǎn)：三班、六班教室）

觀察表1，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于三角形學(xué)生已有感性認(rèn)識(shí)，并能通過直觀經(jīng)驗(yàn)來辨別圖形，但并未從圖形的特征分析原因。如問題1中，長(zhǎng)方形不是三角形的原因說明中約有85%的學(xué)生的理由是因?yàn)檫@是一個(gè)長(zhǎng)方形，只有15%的學(xué)生理由是因?yàn)檫@個(gè)長(zhǎng)方形有4個(gè)角。這節(jié)課，該如何通過活動(dòng)將學(xué)生的直觀經(jīng)驗(yàn)變?yōu)槔硇运季S，同時(shí)發(fā)揮“三角形”這一概念教學(xué)的育人價(jià)值呢？

表1

活動(dòng)一：畫三角形

師：這些圖形認(rèn)識(shí)嗎？（從多個(gè)三角形形狀的物體中抽象出三角形）它們大小不同，形狀也不同，但大家都認(rèn)為它們是三角形，這些不一樣的背后有什么一樣的呢？

生：有3條邊、3個(gè)角和3個(gè)頂點(diǎn)。

師：顯而易見，三角形有3個(gè)角，3個(gè)頂點(diǎn)，3條邊。想一想，你能畫一個(gè)三角形嗎？

（學(xué)生都能畫出一個(gè)三角形，而且速度很快）

畫法1：先畫一條邊，再畫另一邊，最后連起來。

畫法2：先點(diǎn)3個(gè)點(diǎn)，再將這3個(gè)點(diǎn)連起來。

畫法3：利用三角尺畫的。

師：過3個(gè)點(diǎn)能畫一個(gè)三角形嗎，為什么？

生（大多數(shù)認(rèn)為可以，少部分舉手）：如果點(diǎn)在一條線上就不能畫出來了，要分開來。

師：請(qǐng)你畫一畫。點(diǎn)3個(gè)點(diǎn)，畫出一個(gè)三角形，再點(diǎn)3個(gè)點(diǎn)，畫不出一個(gè)三角形。

（展示學(xué)生的作品）

師：當(dāng)3個(gè)點(diǎn)不在一條直線上時(shí)，我們才可以畫出一個(gè)三角形。

思考：畫出一個(gè)三角形，說一說三角形有怎樣的特征。這些對(duì)學(xué)生來說都很簡(jiǎn)單，但這樣的經(jīng)驗(yàn)是零碎的，需要通過觀察、比較、操作喚醒他們已有經(jīng)驗(yàn)，并將不同三角形的共性凸顯出來。畫一畫中，學(xué)生的畫法不同源自對(duì)三角形有不同的認(rèn)知，通過3個(gè)點(diǎn)畫三角形則是讓學(xué)生進(jìn)一步清晰點(diǎn)的位置對(duì)圖形的影響。學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)的提升，知識(shí)的反思過程，逐步抽象三角形的本質(zhì)屬性，感受知識(shí)中隱蔽的關(guān)系。

活動(dòng)二：說三角形

師：通過我們畫三角形的過程，你覺得怎樣的圖形是三角形呢？

（學(xué)生交流，當(dāng)不完整時(shí)其他學(xué)生舉出反例說明描述不準(zhǔn)確）

生1：我畫出了3個(gè)角的圖形，但它沒有圍起來，它不是三角形。

生2：我畫的圖形有3個(gè)角，也圍起來了，但它不是三角形，因?yàn)槿切伪仨氂?條線段圍起來。

生3：我畫的雖然有3個(gè)頂點(diǎn)、3個(gè)角，并且由3條線段圍起來，但它同樣不是三角形，因?yàn)闆]有首尾相接。

生4：有3個(gè)頂點(diǎn)、3個(gè)角、3條線段，并且能首尾連接在一起，這樣的圖形就是三角形。

（學(xué)生討論后確定三條線段首尾相接圍成的圖形是三角形）

師：在描述一個(gè)圖形時(shí)，可以有不一樣的角度，但都需要找到最關(guān)鍵的部分，用既準(zhǔn)確又簡(jiǎn)潔的方式，讓大家一看就明白。老師還有一個(gè)疑惑，一條線段有2個(gè)端點(diǎn)，3條線段應(yīng)該就有6個(gè)端點(diǎn)，可為什么三角形只有3個(gè)頂點(diǎn)呢？

生：因?yàn)?條線段要首尾相接，其中3個(gè)端點(diǎn)重合了，所以三角形只有3個(gè)頂點(diǎn)。

師：3條線段首尾相接圍成的圖形叫作三角形。正是因?yàn)?條線段首尾相接，三角形才一定會(huì)有3條邊、3個(gè)角和3個(gè)頂點(diǎn)。

思考：在辨別圖形、畫圖形的活動(dòng)中學(xué)生有怎樣的感性經(jīng)驗(yàn)，就會(huì)從那個(gè)角度來表達(dá)。鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度去表達(dá)，并在比較中化繁為簡(jiǎn)，讓他們看到數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確與簡(jiǎn)潔，感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)。學(xué)生在描述三角形時(shí)，最常犯的錯(cuò)誤是忽視命名中概念出現(xiàn)的順序，如“邊”是出現(xiàn)在三角形命名之后，確定了這個(gè)圖形是三角形，我們將三條線段命名為邊，而學(xué)生習(xí)慣用邊給三角形定義。這樣的錯(cuò)誤只能在引導(dǎo)中讓學(xué)生關(guān)注線段的存在，有了線段的首尾相接才會(huì)有邊，在對(duì)概念表達(dá)的錘煉中感悟本質(zhì)屬性，訓(xùn)練思維。

活動(dòng)三：認(rèn)識(shí)三角形的高

師：小老鼠杰瑞找到了一塊餅干，帶回家分享，它想把這塊餅干完整地推回洞里，怎樣確定它能否推進(jìn)去呢？

（學(xué)生討論，確定先量洞口的高度是8cm，再用工具量最高處到最低處，從頂點(diǎn)到下面這條邊的距離。教師指出，頂點(diǎn)到這條對(duì)邊的距離，也就是這塊餅干現(xiàn)在的高度。餅干的高度是10厘米，確定不可以推進(jìn)去）

師：（從餅干上抽離出三角形研究）畫下來，量一量，在這個(gè)三角形中，我們量的是一條怎樣的線段？

生1：這是從一個(gè)頂點(diǎn)畫下來的垂直線段。

師：是的。它是從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂直線段，在三角形中叫作三角形的高，這條對(duì)邊是三角形的底。

師：餅干太高了，推不進(jìn)去，怎么辦呢？

生2：可以將餅干轉(zhuǎn)一下，試試看。

師：量哪里呢？

生2：還是量頂點(diǎn)到這條邊的距離，也就是現(xiàn)在的高度。

師：它與這條邊有什么關(guān)系？

生3：它們互相垂直。（課件用三角板量出高度是9厘米，還是不能通過）

師：你們覺得還有希望嗎？

生3：還可以將餅干轉(zhuǎn)一下再推。（課件顯示餅干轉(zhuǎn)動(dòng)）

師：高度變了嗎？該怎么量出高度呢？

生3：還是量出從頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離。（課件顯示測(cè)量高度過程，是7.4厘米，低于8厘米，終于通過）

師：小老鼠順利地解決了問題，留下了一組圖形，仔細(xì)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：三角形有三條高。

生5：每條邊都可以作為底，每條底邊和高是對(duì)應(yīng)的。

師：繼續(xù)觀察（課件顯示三個(gè)三角形重疊）你發(fā)現(xiàn)了什么？

（學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)，一個(gè)三角形里的三條高還相交于一點(diǎn)）

思考：三角形的高是認(rèn)識(shí)的難點(diǎn)。高有兩個(gè)不同層面的含義，一指的是一條線段，二指的是高線的度量值。借助“小老鼠推餅干”的故事情境，依據(jù)學(xué)生對(duì)“高度”的已有經(jīng)驗(yàn)理解高線的特點(diǎn)，再?gòu)娘灨缮铣橄蟪龈呔€，清晰高是一條怎樣的線段。餅干的幾次轉(zhuǎn)動(dòng)，讓學(xué)生逐漸清晰三角形不同的擺放位置高也會(huì)變化。在餅干位置的變化中，學(xué)生還能發(fā)現(xiàn)底和高的對(duì)應(yīng)關(guān)系，意識(shí)到三角形的三條邊都可以作為底，每條底都有對(duì)應(yīng)的高。情境的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)了學(xué)生探索的興趣。

活動(dòng)四：畫三角形的高

師：我們認(rèn)識(shí)了三角形的高，你能畫出下面三角形底邊上的高嗎？

（學(xué)生獨(dú)立畫。發(fā)現(xiàn)有學(xué)生在畫第三個(gè)三角形的高時(shí)有困難，有的畫了斜邊上的高，有的畫的不是高，有的在遲疑）

師：老師發(fā)現(xiàn)有同學(xué)遇到困難了，誰來說說？

生1：這是一個(gè)直角三角形，我發(fā)現(xiàn)畫這里的高時(shí)，它與三角形的邊重合了，不知道怎么辦了。（其他學(xué)生也認(rèn)同他的困惑）

師：想一下，三角形的高是怎樣的線段？如果與邊重合，說明三角形的直角邊就是這條底邊上的高，我們標(biāo)明就可以了。（學(xué)生釋然）

思考：畫高，實(shí)質(zhì)是畫過直線外一點(diǎn)的垂直線段，只是這點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)罷了，練習(xí)時(shí)需關(guān)注特殊三角形高的畫法。由于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與規(guī)定，畫直角三角形的高放在練習(xí)中處理，可以讓學(xué)生從一般中感受到特殊，在問題解決中進(jìn)一步理解高的含義。

活動(dòng)五：再畫三角形

師：研究了三角形和它的高，我們?cè)賮懋嬋切?。不過老師的要求是這樣的：請(qǐng)畫出底為5厘米，高為3厘米的三角形。同桌兩人一人先畫，另一人后畫，你們能畫出不一樣的三角形嗎？

（學(xué)生討論，畫三角形。展示學(xué)生作品）

師：確定一下，他們畫的都對(duì)嗎？（學(xué)生認(rèn)為都對(duì)）比較這些三角形，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：它們的形狀不一樣。

生2：只要距離底邊3格，那個(gè)點(diǎn)的位置有很多。

生3：另一個(gè)點(diǎn)可以在上面，還可以在下面。

生4：另一個(gè)點(diǎn)畫斜過去，高也就跑外面出了。

師：同學(xué)們有很多的發(fā)現(xiàn)，三角形的底相同，高也相同，但呈現(xiàn)的形式卻是豐富多樣的，里面還有秘密呢，課后你們可以繼續(xù)研究。

思考：只固定底邊，讓學(xué)生再畫三角形，既可以對(duì)底和高的對(duì)應(yīng)關(guān)系有進(jìn)一步的理解，也可以讓學(xué)生有自由的探索空間，保持開放的學(xué)習(xí)狀態(tài)。畫后再比較作品，讓學(xué)生看到底為5厘米，高為3厘米的三角形是豐富多樣的，激活學(xué)生的思維，讓他們感受到圖形的神奇，底和高不變，形狀竟然可以變，為后續(xù)學(xué)習(xí)積累了經(jīng)驗(yàn)和興趣。

【教后思考】按照教育心理學(xué)的學(xué)習(xí)原理，概念學(xué)習(xí)一般有概念形成、概念同化兩種基本方式，它們都需要具體的、直接的感性材料進(jìn)行觀察、感知、操作等活動(dòng)，幫助學(xué)生理解概念的豐富內(nèi)涵。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行概念的教學(xué)，我們要從多維度、多因素進(jìn)行思考和設(shè)計(jì)。

1.把“奇趣”放入活動(dòng)中。由于概念形成的過程需要學(xué)生自覺地從一些生動(dòng)、具體的實(shí)例或操作活動(dòng)中歸納、概括出概念的特征，因而設(shè)計(jì)時(shí)要充分了解學(xué)生的認(rèn)知水平和心理發(fā)展特點(diǎn)，選擇刺激強(qiáng)度適當(dāng)、新穎有趣的情境或事例吸引學(xué)生興趣，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)觀察、操作、歸納，展開積極思考。另外，要深入理解概念的形成過程和本質(zhì)屬性，將新奇、趣味放到活動(dòng)中，讓活動(dòng)能吸引學(xué)生。如“小老鼠推餅干”的故事情境，盡管生活中沒有這樣的原型，但貓和老鼠的動(dòng)畫人物深受學(xué)生歡迎；將三個(gè)三角形疊放在一起，學(xué)生看到三條高竟然相交于一點(diǎn)，讓他們產(chǎn)生了驚奇之心，從而讓課堂有了生機(jī)。

2.把“思維”放入活動(dòng)中。數(shù)學(xué)活動(dòng)不僅有外部的具體行為操作，還有內(nèi)部的抽象思維活動(dòng)，并且以內(nèi)部的積極思維活動(dòng)為主要行為。概念教學(xué)中，要通過問題設(shè)計(jì)把“思維”放入到活動(dòng)，把概念的生成過程轉(zhuǎn)化為一系列帶有探究性的問題，把形式化的材料轉(zhuǎn)化為可探究的問題。如在抽象三角形的本質(zhì)屬性時(shí)，學(xué)生需思考“為什么畫的不是三角形”“什么樣的圖形是三角形”“為什么三角形由3條線段圍成，卻只有3個(gè)頂點(diǎn)”；在研究高時(shí)，學(xué)生需思考“小老鼠的餅干為什么推不進(jìn)去，可以怎么做？”這些問題引導(dǎo)學(xué)生在思考中逐漸接近概念的本質(zhì)。

3.把“自主”放入活動(dòng)中。概念形成的過程需要學(xué)生親歷概念產(chǎn)生的過程，了解概念產(chǎn)生的背景、條件，感悟本質(zhì)的特征。活動(dòng)中應(yīng)給學(xué)生自主探索的空間，避免學(xué)生無體驗(yàn)、無經(jīng)歷，要精心設(shè)計(jì)學(xué)生的自主活動(dòng)，目標(biāo)清晰，給學(xué)生充裕的探索時(shí)間，增加體驗(yàn)的豐富性。如在描述“_____的圖形是三角形”時(shí)，放足時(shí)間讓學(xué)生思考、交流，體驗(yàn)數(shù)學(xué)表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)與簡(jiǎn)潔，感悟三角形的本質(zhì)特征；在“再畫三角形”的活動(dòng)中，鼓勵(lì)學(xué)生尋求不一樣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)，感悟高的特征以及圖形間的聯(lián)系。

總之，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行概念教學(xué)，應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立自主地開展探究活動(dòng)，由樸素的、零碎的直觀經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建清晰、良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)概念的過程中增長(zhǎng)知識(shí)，提升能力，逐步形成用數(shù)學(xué)思維思考、解決問題的意識(shí)。