斐波那契指數(shù)數(shù)列

樓明

【摘要】 自相似迭代產(chǎn)生斐波那契數(shù)列，它前后兩項(xiàng)的比收斂于黃金分割比.斐波那契指數(shù)數(shù)列也和斐波那契數(shù)列一樣具有無(wú)比美麗的分割比.

【關(guān)鍵詞】 斐波那契;數(shù)列;指數(shù);分割比

我們考查迭代數(shù)列{a n}，a n=a ?n-1 a ?n-2 ，n≥3，n∈ N .

a 1=a>0，a 2=b>0.

a 1=a，a 2=b，a 3=ab，a 4=ab2，a 5=a2b3，a 6=a3b5，

a 7=a5b8，a 8=a8b 13 ，a 9=a 13 b 21 ，a ?10 =a 21 b 34 ，…，

a n=a ?1? 5???? 1+ 5? 2? ?n-3 -? 1- 5? 2? ?n-3 ??b ?1? 5???? 1+ 5? 2? ?n-2 -? 1- 5? 2? ?n-2 ??.

我們把這種形式的迭代數(shù)列叫作斐波那契指數(shù)數(shù)列.

特別地，當(dāng)a=b時(shí)，a n=a ?1? 5???? 1+ 5? 2? ?n-1 -? 1- 5? 2? ?n-1 ??.

如果把斐波那契數(shù)列{F n}看成是一維空間自相似迭代數(shù)列，那么二維空間的自相似迭代數(shù)列在一維空間的投影就是斐波那契數(shù)列{F n}本身，這就是斐波那契指數(shù)數(shù)列的幾何意義.

{1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610， 987，… } F n F ?n-1 ?→ 1+ 5? 2 ≈1.618.

而每個(gè){F n}數(shù)列項(xiàng)的數(shù)值表示二維空間在一維空間投影中心的坐標(biāo)位置.

我們接著考查，三維自相似迭代數(shù)列：

{a n}，a n=a ?n-1 a ?n-2 a ?n-3 ，n≥4，n∈ N .

a 1=a>0，a 2=b>0，a 3=c>0.

如下表所示：b n是a和c的指數(shù)變化規(guī)律，c n是b的指數(shù)變化規(guī)律.

n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …

b n 1 2 4 7 13 24 44 81 149 274 504 927 1705 …

c n 1 2 3 6 11 20 37 68 125 230 423 778 1431 …

三維空間的自相似迭代數(shù)列在二維空間的投影是兩個(gè)斐波那契指數(shù)數(shù)列{b n}和{c n}.

b n b ?n-1 ?→1.839…， c n c ?n-1 ?→1.839….

我們繼續(xù)考查，四維自相似迭代數(shù)列：

{a n}，a n=a ?n-1 a ?n-2 a ?n-3 a ?n-4 ，n≥5，n∈ N .

a 1=a>0，a 2=b>0，a 3=c>0，a 4=d>0.

如下表所示：d n是a和d的指數(shù)變化規(guī)律，e n是b的指數(shù)變化規(guī)律，f n是c的指數(shù)變化規(guī)律.

n 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 …

d n 1 2 4 8 15 29 56 108 208 401 773 1490 2872 …

e n 1 2 3 6 12 23 44 85 164 316 609 1174 2263 …

f n 1 2 4 7 14 27 52 100 193 372 717 1382 2664 …

四維空間的自相似迭代數(shù)列在三維空間的投影是三個(gè)斐波那契指數(shù)數(shù)列{d n}、{e n}、{f n}. d n d ?n-1 ?→1.927…， e n e ?n-1 ?→1.927…， f n f ?n-1 ?→1.927…

由上可以得到一個(gè)基本結(jié)論：N維空間的自相似迭代數(shù)列在N-1維空間的投影是N-1個(gè)斐波那契指數(shù)數(shù)列，而每個(gè)數(shù)列項(xiàng)的數(shù)值其幾何意義就是N維空間在N-1維空間投影中心的坐標(biāo)位置.并且每個(gè)斐波那契指數(shù)數(shù)列的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比收斂于同一個(gè)常數(shù)（分割比）.

【參考文獻(xiàn)】

[1]賈菲菲.斐波那契數(shù)列的研究與應(yīng)用[J].科技創(chuàng)新與應(yīng)用，2014（13）：53.