一道2013年中考?jí)狠S題的賞析及失分原因剖析

☉江蘇省南通市通州區(qū)袁灶初中 季春鴻

翻閱2013年江蘇省各市的中考數(shù)學(xué)試卷集，看到淮安市第28題是一道以直角三角形為載體的雙動(dòng)點(diǎn)問題，是函數(shù)幾何知識(shí)的綜合題，題型新穎，引人注目.筆者上網(wǎng)查閱了淮安市中考數(shù)學(xué)的有關(guān)信息，從他們閱卷情況的分析來看，此題得分率為9%，平均分為2.28分.因?yàn)榇祟}有一定的難度，區(qū)分度高，具有選拔功能，所以筆者重點(diǎn)對(duì)此題進(jìn)行了淺顯研究，現(xiàn)作簡(jiǎn)要的賞析典型解法及剖析可能存在的典型錯(cuò)誤，提出教學(xué)建議，以求共勉.

一、試題呈現(xiàn)

題目 （2013年江蘇省淮安市中考第28題）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿B→C→A的方向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿C→A→B的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立即原路返回.若P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)，相遇后同時(shí)停止，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）當(dāng)t=______時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇.

（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)B到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為等腰三角形？

（3）在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△PCQ的面積為S.

①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)S最大時(shí)，過點(diǎn)P作直線交AB于點(diǎn)D，將△ABC沿直線PD折疊，使點(diǎn)A落在直線PC上，求折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積.

二、賞析典型解法

（1）7.

（2）因?yàn)樵凇鰽BC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，

如圖2，點(diǎn)Q在CA上，當(dāng)△PCQ為等腰三角形時(shí)，CP=CQ，所以3-t=2t，解得t=1.

圖2

圖3

如圖3，點(diǎn)Q在AB上，當(dāng)△PCQ為等腰三角形時(shí)，CQ=PQ，由題意得CP=3-t，AQ=2t-4，BQ=9-2t.

因?yàn)椤螩=90°，QE⊥BC，所以△BQE∽△BAC.

（3）①如圖4，由題意得CP=t-3，AQ=14-2t.

圖4

如圖5，作EF⊥AC于F點(diǎn)，作QG⊥AC于G點(diǎn)，交CD于H.

圖5

又△QHE∽△PDE，所以GF∶FP=6∶5.

圖6

所以PQ的關(guān)系式為y=-2x+4.

三、剖析典型錯(cuò)誤

四、借鑒分析，有助于我們今后的課堂教學(xué)

1.低起點(diǎn)，重基礎(chǔ)

扎實(shí)的基本功是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提與關(guān)鍵.因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)基本知識(shí)，尤其是對(duì)于教材中的一些經(jīng)典例題與案例的講解，由于這些例題融合了基本的數(shù)學(xué)原理與數(shù)學(xué)思想，是課后變式練習(xí)的源頭，因此，教師在講解中要做到透徹深入，舉一反三，而非片面地注重難題的注入與延伸.例如對(duì)于概念的教學(xué)要十分重視，教學(xué)中在核心概念上做到“不惜時(shí)，不惜力”，切不可簡(jiǎn)單地抽象講解，否則就容易造成學(xué)生對(duì)概念片面的、膚淺的認(rèn)識(shí)，對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)極為不利.學(xué)生在運(yùn)用三角函數(shù)解題時(shí)，出現(xiàn)了找錯(cuò)邊的情形，說明學(xué)生對(duì)這部分的概念理解不透徹或掌握不牢，從而導(dǎo)致解題的錯(cuò)誤應(yīng)用.

2.經(jīng)過程，重思想

“沒有過程就沒有思想”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)不僅需要理論推測(cè)，更需要實(shí)踐驗(yàn)證的過程，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，非常強(qiáng)調(diào)學(xué)生的實(shí)踐運(yùn)用與自主探究.因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題的形成與解決過程，啟發(fā)學(xué)生用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，去發(fā)現(xiàn)問題、驗(yàn)證推測(cè)與解決問題，幫助學(xué)生在自主與合作探究的過程中掌握學(xué)習(xí)方法，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，把數(shù)學(xué)思想滲透到平時(shí)的核心知識(shí)學(xué)習(xí)之中.另外，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要留有余地，巧妙留白，讓學(xué)生有思有想，有做有為，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.

3.重探究，培能力

在平時(shí)教學(xué)中，要科學(xué)地把握好教師與學(xué)生在課堂中的比重，一切要圍繞學(xué)生的發(fā)展進(jìn)行，不可包辦、代辦，在實(shí)踐操作中，要注重培養(yǎng)學(xué)生自主思考、合作探究的數(shù)學(xué)活動(dòng)意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生多交流多探討，在實(shí)踐活動(dòng)中，發(fā)揮自己的優(yōu)勢(shì)，彌補(bǔ)自己的不足，取長(zhǎng)補(bǔ)短，不斷地提高自己的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力，培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論，逐步形成屬于自己、符合自己發(fā)展需求的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略.同時(shí)，教師應(yīng)該致力于為學(xué)生找搭建思維的平臺(tái)，營(yíng)造探究氛圍，在把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生的同時(shí)，要適時(shí)地進(jìn)行活動(dòng)指導(dǎo)，提高學(xué)生活動(dòng)探究的有效性，讓學(xué)生真正地從活動(dòng)中有所得，有所收益，不僅能夠感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的魅力，還能夠收獲豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

1.黃繼蒼.一道中考試題的誤因分析及教學(xué)建議［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中），2011（4）.

2.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.周揚(yáng).對(duì)一道壓軸題“典型錯(cuò)誤”的分析與思考［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中），2012（7-8）.

4.倪君霞.一道課本例題衍生出的中考題賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（1）.