與“角”初相識(shí)

角，是幾何圖形中最為基本的圖形之一.三角形、四邊形等圖形中都有角的身影.熟練地掌握角的知識(shí)，對(duì)日后學(xué)習(xí)幾何有著很大的幫助.

一、基本概念

角，是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，這個(gè)公共端點(diǎn)就是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊.如圖1，O是這個(gè)角的頂點(diǎn)，射線OA、OB是這個(gè)角的兩條邊.

[圖1][圖2]

角的符號(hào)為“∠”，讀作“角”.為了表示一個(gè)角，通常會(huì)用三個(gè)大寫字母，如圖1可以用∠AOB或∠BOA來(lái)表示.其中應(yīng)注意表示頂點(diǎn)的字母必須放在中間.當(dāng)用一個(gè)字母表示角沒(méi)有歧義時(shí)，可以直接用頂點(diǎn)字母來(lái)表示這個(gè)角，反之，則不可以.如圖1可以直接記作∠O.在圖2中，∠AOB則不能表示為∠O，因?yàn)椤螦OC、∠BOC的頂點(diǎn)均為O.當(dāng)角內(nèi)標(biāo)上希臘字母或數(shù)字時(shí)，也可以直接表達(dá).如圖1也可以用∠α來(lái)表示.此外，從運(yùn)動(dòng)的角度來(lái)看，角還可以看成是一條射線繞著端點(diǎn)（也就是頂點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.

二、角的分類

角的基本度量單位是“°”，讀作“度”.根據(jù)度數(shù)的大小可以進(jìn)行如下分類：如圖3，90°以下0°以上的角看上去比較尖銳，叫做銳角；如圖4，90°的角稱為直角；如圖5，大于90°且小于180°的角叫做鈍角；180°的角看上去像是一條直線（其實(shí)中間有一個(gè)頂點(diǎn)），稱為平角；大于180°且小于360°的角稱為優(yōu)角；360°的角是由兩條完全重合的射線構(gòu)成的，稱為周角.初中階段，主要研究前三種角，即銳角、直角、鈍角.

[圖3][圖4][圖5]

三、角的大小比較

顯然，鈍角>直角>銳角，這是比較簡(jiǎn)單的一種粗略對(duì)比方式.如果同屬一種類型的角，我們可以使用疊合法，將角的頂點(diǎn)和一條邊重合，并使另外一條邊處于同側(cè)，角的大小便很容易看出.當(dāng)然，這一個(gè)方法也有一定的局限性.當(dāng)角度相當(dāng)接近時(shí)，實(shí)際操作中可能難以分辨或出現(xiàn)判斷誤差.所以，我們還可以用量角器度量（如圖6），或者通過(guò)計(jì)算來(lái)加以對(duì)比.

圖6

四、角的度量單位

除了度（°）以外，還有一些其他的度量單位，例如分（′）和秒（″）.是不是有點(diǎn)眼熟？沒(méi)錯(cuò)，在時(shí)間單位上也有分和秒.更有意思的是，角度單位（度、分、秒）之間的換算也和時(shí)間一樣，為六十進(jìn)制.即1度=60分，1分=60秒.歸納一下就是1°=60′=3600″.

五、畫一個(gè)角

如果要求畫一個(gè)規(guī)定度數(shù)的角該怎么做？

部分特殊的角可以直接用三角尺畫出，如30°、60°、90°、120°等等，其余的一些角我們可以用量角器畫出.我們先畫的是角的頂點(diǎn)和一邊，這和度量角度的方法類似，頂點(diǎn)和一邊可以隨意畫，它們的位置并不影響最后所成角的度數(shù).完成之后我們需要把角的頂點(diǎn)和量角器中心重合，一邊和零刻度線重合，需要畫多少度的角，就在量角器上多少度的刻度的地方點(diǎn)一點(diǎn)，再以畫的射線的端點(diǎn)為端點(diǎn)，通過(guò)剛畫的點(diǎn)，再畫出另一射線.

六、角平分線

當(dāng)一條射線將一個(gè)角分為兩個(gè)相等的角時(shí)，我們就說(shuō)這條射線是這個(gè)角的角平分線，或者說(shuō)這條射線平分了這個(gè)角，如圖7所示.若∠AOC=∠BOC，我們便可以說(shuō)OC是∠AOB的角平分線或者 OC平分∠AOB.被分出來(lái)的兩個(gè)角的度數(shù)是原角度數(shù)的一半.

圖7

七、余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角

如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱互余.如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱互補(bǔ).兩個(gè)角，在頂點(diǎn)重合的情況下，若兩邊互為反向延長(zhǎng)線，則這樣的兩個(gè)角被稱為對(duì)頂角，值得注意的是，對(duì)頂角都是成對(duì)出現(xiàn)的.同樣地，我們也可以這樣理解對(duì)頂角：兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)而沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角互為對(duì)頂角.顯然對(duì)頂角相等.

八、能力挑戰(zhàn)

【問(wèn)題探究1】若在同一平面內(nèi)，有三條直線兩兩相交，有幾組對(duì)頂角？猜想：如果有n條直線兩兩相交，有幾組對(duì)頂角？

【問(wèn)題解析】這道題顯然是屬于找規(guī)律類型的題目，當(dāng)我們面對(duì)較大或未知的數(shù)據(jù)時(shí)，不用擔(dān)心，我們可以從最簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)入手，畫出基本圖形.如圖8，三條直線交于一個(gè)點(diǎn)；如圖9，三條直線兩兩相交的一般情形.我們都知道，兩條直線相交，可以產(chǎn)生兩組對(duì)頂角，以此類推，那么在圖8、圖9的情況下，我們可以看成有三組這樣的兩條直線分別相交，3×2=6，一共有6組對(duì)頂角.進(jìn)而可以猜想，n條直線兩兩相交，一共有n（n-1）組對(duì)頂角.

[圖8][圖9]

【問(wèn)題探究2】

（1）一個(gè)角的補(bǔ)角加上10°后，等于這個(gè)角的余角的3倍，求這個(gè)角以及它的余角和補(bǔ)角的度數(shù).

（2）一個(gè)角的余角與這個(gè)角的補(bǔ)角的和比平角多2°，求這個(gè)角.

【問(wèn)題解析】

（1）本題屬于對(duì)概念的考查，互補(bǔ)的角之和為180°，互余的角之和為90°，所以，我們不妨設(shè)這個(gè)角度數(shù)為α，由題意可知：180°-α+10°=3·（90°-α）.

解得α=40°.

∴180°-α=140°，90°-α=50°.

答：這個(gè)角為40°，它的余角為50°，補(bǔ)角為140°.

（2）此題比上題多考查了平角這一知識(shí)點(diǎn)，平角即180°的角.設(shè)這個(gè)角度數(shù)為β，則它的補(bǔ)角為（180°-β），余角為（90°-β）.由題意知90°-β+180°-β=180°+2°，解得β=44°.

答：這個(gè)角為44°.

角，作為構(gòu)成簡(jiǎn)單或復(fù)雜圖形的重要部分，在日后的學(xué)習(xí)中我們將會(huì)經(jīng)常碰到，難度也千變?nèi)f化.所以，上面所講到的角的基礎(chǔ)知識(shí)一定要掌握牢固.未來(lái)還有許多更為復(fù)雜的角的知識(shí)需要我們?nèi)ヌ剿?、去學(xué)習(xí).相信，與“角”的初相識(shí)，這一步走好，走扎實(shí)了，對(duì)我們今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大有裨益.在今后的幾何學(xué)習(xí)中，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)更多“角”的無(wú)窮奧秘！

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市蠡園中學(xué)）