高中數(shù)學(xué)不等式易錯題分析

☉江蘇省吳江中學(xué) 吳建芬

高中許多數(shù)學(xué)例題都是在不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的.高中生只有找到適合自己的學(xué)習(xí)方法，通過日常的訓(xùn)練和總結(jié)不斷領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，才能為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).隨著當(dāng)前科學(xué)社會的發(fā)展和當(dāng)代高中數(shù)學(xué)課程難度的提升，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法也要跟隨時(shí)代的進(jìn)步而不斷推陳出新，才能適應(yīng)難度較大的數(shù)學(xué)例題.

一、注重不等式錯題的收集，保證數(shù)學(xué)做題效率

數(shù)學(xué)是一門對學(xué)習(xí)者邏輯思維要求嚴(yán)格的學(xué)科，況且涉及到不等式的數(shù)學(xué)問題往往比較復(fù)雜和難懂.為了提高我們自身對高中數(shù)學(xué)不等式的學(xué)習(xí)探究能力以及分析問題、解決問題的技巧，在遇到各種各樣類型的不等式題型時(shí)都能找到解決辦法，我們必須要遵循以下幾點(diǎn).首先，對于一些題目繁瑣的數(shù)學(xué)問題，必要的時(shí)候需要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)邏輯思維對題目進(jìn)行化簡.這些邏輯思維可以是“倒數(shù)法”、“數(shù)學(xué)歸納法”、“推理證明法”、“數(shù)

理解和掌握高中的基本不等式，需要高中生在做題訓(xùn)練時(shí)認(rèn)真仔細(xì)地閱讀題目內(nèi)容，并能運(yùn)用基本不等式解答相關(guān)的疑惑.當(dāng)養(yǎng)成良好的解答不等式類型的數(shù)學(xué)題習(xí)慣后，我們就能在腦海中形成一整套行之有效的數(shù)學(xué)不等式學(xué)習(xí)方法，真正發(fā)揮“對題下策”的解題優(yōu)勢，能通過自己的實(shí)際能力解決一些簡單的求最值問題.例如已知函數(shù)y=（m2+4m-5）x2+4（1-m）x+3的圖像都在x軸的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.這是一道結(jié)合函數(shù)圖像的不等式綜合例題.依題意，我們要看出明顯的已知條件，即對于任意的x∈R，y＞0恒成立，所以函數(shù)的圖像開口方向向上.“圖像都在x軸的上方”，這是告訴我們圖像與x軸無交點(diǎn)，就可以列出兩個(gè)不等式：m2+4m-5＞0和△=［4（1-m）］2-4×3（m2+4m-5）＜0，解出1＜m＜19.但很多同學(xué)就把這個(gè)當(dāng)作最終答案，就忽略了最核心和重要的部分.題設(shè)中的函數(shù)未必是二次函數(shù)，我們還需要討論當(dāng)m2+4m-5=0的情況.因此實(shí)數(shù)m的取值范圍為1≤m＜19.這才是正確的答案.對于類似的錯題分析，我們可以記錄在錯題本上，以便今后的復(fù)習(xí)和鞏固，也保證了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量.通過這道題的分析和總結(jié)，我們應(yīng)該學(xué)會構(gòu)造間接條件來配合題目的已知條件，使用基本不等式來解決多復(fù)合的數(shù)學(xué)應(yīng)用題.

二、加強(qiáng)不等式錯題的總結(jié)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意識

“對于任意實(shí)數(shù)a，b，有a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立”這是均值不等式的基本定理，在解決實(shí)際的應(yīng)用題和證明題時(shí)往往都要用到，類似于這樣的數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)公式還有很多，我們一定要牢記于心并經(jīng)常復(fù)習(xí)和鞏固，才能在做題時(shí)快速想起需要的學(xué)習(xí)資料，達(dá)到“得心應(yīng)手”的做題效果.我們要從感性認(rèn)識基本不等式到理性證明，再通過反復(fù)的揣摩和推敲實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的升華，從不同角度、不同的知識層面來看待高中各種各樣的不等式應(yīng)用題型，才能養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，遇到復(fù)雜題型時(shí)有整道題的解題思路，有自己的思維和理解.此外，課本是學(xué)生了解世界的窗口和工具，許多重要和核心的數(shù)學(xué)理論知識都被詳細(xì)的記錄在數(shù)學(xué)課本中.所以，我們在選擇輔助教材和訓(xùn)練資料時(shí)，一定要以數(shù)學(xué)課本為核心參考方向，以教師課堂中講解過的知識為主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，并把課本上的數(shù)學(xué)例題反復(fù)揣摩、理解透徹.當(dāng)在安靜的學(xué)習(xí)氛圍中，要學(xué)會認(rèn)真看書、用心思考，解決一些實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，在喧鬧的環(huán)境下也要不驕不躁，養(yǎng)成講講議議、動手動筆、仔細(xì)觀察、認(rèn)真總結(jié)的好習(xí)慣，遇到不懂的實(shí)際問題多向老師和同學(xué)請教，真正學(xué)會從“數(shù)學(xué)探究”的過程中提升自己的數(shù)學(xué)能力.

例 若方程x2+（m-2）+5-m=0的兩根均大于2，求m的取值范圍.首先我們設(shè)兩根為x1和x2，由Δ≥0，x1+x2＞4，x1·x2＞4三個(gè)聯(lián)合條件推出m≤-4.產(chǎn)生這個(gè)錯誤是因?yàn)榘褁1+x2>4，x1·x2>4這兩個(gè)條件看成與x1＞2和x2＞2等價(jià)，但事實(shí)是不等價(jià)的，兩者是必要不充分條件，后者可以推出前者，前者卻推不出后者.所以還需要在三個(gè)不等式的范圍中加入兩個(gè)范圍條件，即（x1-2）+（x2-2）＞0和（x1-2）×（x2-2）＞0，最終推出-5＜m≤-4，這才是正確的結(jié)論.雖然數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，但往往核心的考點(diǎn)是不會改變的.就跟“書讀百遍其義自見”的道理一樣，接觸到的數(shù)學(xué)例題多了，自然也就能“熟能生巧”的應(yīng)對各種類型的數(shù)學(xué)題型.其次，“適合自己學(xué)習(xí)的方法才是好方法”，在解決實(shí)際問題時(shí)，要采取一系列的方案和手段，配合自己的學(xué)習(xí)進(jìn)度，了解自己在解題時(shí)容易出錯的大致方向，做好摘錄和總結(jié)，制定出步驟以及相應(yīng)的流程來避免這個(gè)缺陷，全方面的提高自己的數(shù)學(xué)能力.

三、整理不等式錯題的筆記，擴(kuò)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技巧

有句話這樣說，“在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，做五道題不如把同一道題做五遍”.這句話強(qiáng)調(diào)了總結(jié)數(shù)學(xué)錯題的重要性.如果遇到錯題不總結(jié)，做了也等同于白做.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要掌握獨(dú)特的精髓并學(xué)以致用.當(dāng)我們遇到自己的錯誤時(shí)，一定要反省自己出現(xiàn)錯誤的原因，及時(shí)和教師溝通尋找解決的方案，以便在頭腦中形成深刻的印象，下次遇到這類題型就不會出現(xiàn)相同的錯誤了.如果不注意總結(jié)，只顧盲目的刷題，這樣既浪費(fèi)了時(shí)間，又加大了學(xué)習(xí)壓力，無論做多少題都不會有效果.為了養(yǎng)成收集錯誤題集的好習(xí)慣，我們要準(zhǔn)備一本筆記本整理不等式錯題的筆記，擴(kuò)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技巧，逐漸習(xí)慣數(shù)學(xué)解題的規(guī)律意識，強(qiáng)有力地鍛煉自身的數(shù)學(xué)思維邏輯，這樣才能逐漸增加做題效率，對待什么類型的題目就要選擇什么類型的解題方案.經(jīng)歷了一個(gè)深思熟慮的過程，綜合能力才會提高.高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，數(shù)學(xué)中的諸多學(xué)習(xí)方法有效而特殊，我們要發(fā)現(xiàn)其規(guī)律并養(yǎng)成相應(yīng)的做題習(xí)慣，理解不等式內(nèi)容的同時(shí)優(yōu)化數(shù)學(xué)解題效率質(zhì)量，從而進(jìn)行不斷的知識遷移和擴(kuò)展，提高自身的探索能力和鉆研意識，讓數(shù)學(xué)推理變得簡單有趣.我們在解題過程中要注重構(gòu)造思想和不等式相結(jié)合的實(shí)際效果，一定要“專題專用”，學(xué)會對各種類型的數(shù)學(xué)題目進(jìn)行分類，不胡亂的“投機(jī)取巧”，這樣才能讓抽象的數(shù)學(xué)題目變得更具體和形象.

例如，集合A={x|x2-x-2≤0}，B={x|a＜x

為了進(jìn)一步了解不等式的性質(zhì)及運(yùn)用方法，我們必須注重不等式錯題的收集，保證數(shù)學(xué)做題效率，把教師在課堂中講解的例題認(rèn)真記到數(shù)學(xué)錯題本上.畢竟數(shù)學(xué)是一門需要投入大量時(shí)間和精力才能學(xué)好的科目，所以加強(qiáng)不等式錯題的總結(jié)這個(gè)學(xué)習(xí)過程在數(shù)學(xué)知識體系中起了承上啟下的作用.對于自身的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力，我們要有所了解，并把數(shù)學(xué)知識靈活的在生活及生產(chǎn)實(shí)際中做出有效的運(yùn)用，通過整理不等式錯題的筆記，綜合擴(kuò)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技巧，以便達(dá)到促進(jìn)自身數(shù)學(xué)不等式學(xué)習(xí)能力的效果.J