匠心獨(dú)運(yùn)，探究概率教學(xué)中的建模思想

☉山東省東營(yíng)市墾利區(qū)第一中學(xué) 林 峰 崔殿青

近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，主要研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)、控制等各領(lǐng)域也越來(lái)越受到重視.在概率教學(xué)中，最重要的是將理論與實(shí)際相結(jié)合，從而讓學(xué)生可以學(xué)以致用.數(shù)學(xué)的建模就是用數(shù)學(xué)方法對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析、處理，以便人們進(jìn)行決策.本文從四個(gè)方面講述了教師如何應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想聯(lián)系實(shí)際，進(jìn)行概率教學(xué).

一、鏈接社會(huì)熱點(diǎn)，理順各自異同

在傳統(tǒng)的概率教學(xué)中，教師根據(jù)教材上的內(nèi)容進(jìn)行理論教學(xué)，而因?yàn)榻滩陌姹九c年代嚴(yán)重脫節(jié)，其中所描寫的案例已經(jīng)不符合實(shí)際生活，導(dǎo)致學(xué)生難以理解以及應(yīng)用.針對(duì)這種現(xiàn)象，教師可以將教材中的理論知識(shí)與社會(huì)熱點(diǎn)相結(jié)合，建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生應(yīng)用概率學(xué)對(duì)各個(gè)案例進(jìn)行分析對(duì)比，理順各自的異同，從中找出最合理的方案.

例如，在教學(xué)高中的一次概率論的基礎(chǔ)課時(shí)，為了讓學(xué)生對(duì)概率論在實(shí)際中的應(yīng)用有更深的了解，我通過(guò)上網(wǎng)查詢等手段找到了最新的共享單車話題，并針對(duì)共享單車設(shè)計(jì)了相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)概率論.首先，我問(wèn)同學(xué)們是否了解過(guò)共享單車的設(shè)計(jì)理念，幫助同學(xué)們了解生活，并引發(fā)課堂興趣.之后我讓同學(xué)們思考：某種單車每次租車時(shí)間如果超過(guò)兩個(gè)小時(shí)，則超過(guò)的部分按每小時(shí)2元進(jìn)行收費(fèi)（如果不足1小時(shí)，也按照1小時(shí)收費(fèi)），如果沒(méi)有超過(guò)2小時(shí)，則不收費(fèi).現(xiàn)在有李啟和王立兩人都要租車，設(shè)李啟和王立兩人騎行不超，兩小時(shí)到三小時(shí)的概率并且兩人騎行不超過(guò)四個(gè)小時(shí)，求兩者騎行所花費(fèi)用相同的概率.之后，我引導(dǎo)學(xué)生們針對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行研究，先分析對(duì)李啟和王立兩人來(lái)說(shuō)，騎行三小時(shí)到四小時(shí)所各占的概率為多少，再引導(dǎo)他們分析兩人騎行相同時(shí)間有幾個(gè)可能的樣本事件，每個(gè)事件的概率為多少，最后再做∑運(yùn)算匯總所有樣本事件，得到最終結(jié)果.

在鏈接社會(huì)熱點(diǎn)的教學(xué)過(guò)程中，教師以低碳生活、運(yùn)動(dòng)健身的共享單車熱點(diǎn)問(wèn)題為背景，從同學(xué)們的生活實(shí)際出發(fā)，建立明確的模型，設(shè)計(jì)了新穎別致的題目，讓學(xué)生在分析熱點(diǎn)模型問(wèn)題案例的異同的過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)的生活化和廣泛的應(yīng)用性，培養(yǎng)學(xué)生在生活中應(yīng)用和創(chuàng)新概率思想的意識(shí).

二、分析周遭事件，找出隨機(jī)變量

當(dāng)今世界，社會(huì)需要的是創(chuàng)造型、開拓型的人才，而啟發(fā)式教學(xué)在培養(yǎng)創(chuàng)造型人才上有很大效果.教師可以聯(lián)系生活實(shí)際，以人們周遭的事件為數(shù)學(xué)模型，啟發(fā)學(xué)生在分析的過(guò)程中認(rèn)真觀察，聯(lián)系概率知識(shí)發(fā)現(xiàn)隨機(jī)變量，思考并解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的概率意識(shí).

例如，在教學(xué)高中的一次概率論的基礎(chǔ)課時(shí)，為了讓學(xué)生對(duì)概率論中隨機(jī)變量的概率分布以及期望計(jì)算有更深的了解，我以生活中常見(jiàn)的事件為模型，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析與計(jì)算.首先，為了讓學(xué)生們對(duì)隨機(jī)變量有更好的了解，我建立模型，問(wèn)學(xué)生如果大二學(xué)生劉蕓想考取英語(yǔ)六級(jí)證書，而國(guó)家教育部規(guī)定一年可以考兩次，一旦考試通過(guò)，便可領(lǐng)取證書，不再參加之后的考試，否則就一直考，劉蕓想在兩年內(nèi)考完，也就是說(shuō)她只有四次機(jī)會(huì)，設(shè)她每次參加考試及格通過(guò)的概率依次為0.6、0.7、0.8、0.9，求在兩年內(nèi)劉蕓參加英語(yǔ)六級(jí)考試的次數(shù)α的分布列與α的期望，并求劉蕓在兩年內(nèi)得到六級(jí)證書的概率.之后，我引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：第一步，引導(dǎo)學(xué)生自主明確隨機(jī)變量有幾種，即隨機(jī)變量可能取到那些值，在這題中即為1、2、3、4四個(gè)值；第二步，我引導(dǎo)學(xué)生按照相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的求導(dǎo)公式去自主計(jì)算隨機(jī)變量的每個(gè)值取到的概率，從而得到分布列，例如第3次才拿到證書這個(gè)事件發(fā)生概率的計(jì)算的公式為［1-P（1）］×［1-P（2）］×P（3）；第三步，我讓學(xué)生根據(jù)分布列求解期望，即按照公式過(guò)這個(gè)例題，我?guī)椭鷮W(xué)生加深了對(duì)離散型隨機(jī)變量的理解，并充分記憶公式.

在教學(xué)隨機(jī)變量的過(guò)程中，教師通過(guò)聯(lián)系生活，以我們周遭常見(jiàn)的事件為模型進(jìn)行教學(xué)，不僅提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生理解知識(shí)，還能在找出隨機(jī)變量的過(guò)程中啟發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，讓學(xué)生在自主研究的過(guò)程中充分理解與記憶知識(shí)，養(yǎng)成運(yùn)用概率思想探索生活的意識(shí).

三、引入復(fù)雜案例，鼓勵(lì)個(gè)性理解

概率統(tǒng)計(jì)是一種與實(shí)際聯(lián)系密切、應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科.針對(duì)知識(shí)的重難點(diǎn)，教師可以引用一些復(fù)雜的案例，并通過(guò)與生活中簡(jiǎn)單的案例相互對(duì)比，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)重點(diǎn)概念的理解，讓學(xué)生在專業(yè)的理論基礎(chǔ)上，提出自己獨(dú)到的個(gè)性的理解，既保證了專業(yè)性，又具有了創(chuàng)新性.

例如，在教學(xué)高中的一次概率論的提高課時(shí)，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)插空類型的概率求解例題容易混淆，不知道怎樣思考，所以我引入了不相鄰問(wèn)題插空策略的案例模型，幫助學(xué)生充分掌握類似題的求解方法.首先，我問(wèn)學(xué)生們：如果一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目中有4個(gè)舞蹈，2個(gè)相聲，3個(gè)獨(dú)唱，并且要求舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出現(xiàn)，那么節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種呢？對(duì)這個(gè)問(wèn)題，我引導(dǎo)學(xué)生們分為三步進(jìn)行求解：第一步，我們應(yīng)該了解到2個(gè)相聲與3個(gè)獨(dú)唱是可以隨便排的，所以他們共有種；第二步，我引導(dǎo)學(xué)生將4個(gè)舞蹈節(jié)目進(jìn)行插空，前面5個(gè)節(jié)目包括首尾一共有6個(gè)位置，那么有種排法；第三步，我讓學(xué)生由分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行總結(jié)，節(jié)目一共有種可能的排序方法.之后，我引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)這個(gè)例題解決“拍照順序”問(wèn)題：有八個(gè)學(xué)生、三位老師進(jìn)行拍照，要求老師不能挨著，你如何排序進(jìn)行拍照.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，我引導(dǎo)學(xué)生們聯(lián)系實(shí)際，有一個(gè)男生思考到為了表示尊重，老師應(yīng)該在中間進(jìn)行拍照，那么就只有在中間的三個(gè)空位上進(jìn)行拍照，故而有種可能最為適合.

在引入復(fù)雜案例模型進(jìn)行插空排序教學(xué)的過(guò)程中，教師通過(guò)引入復(fù)雜的概率例題，讓學(xué)生總結(jié)到：在解決元素相離問(wèn)題時(shí)應(yīng)先把沒(méi)有位置要求的進(jìn)行排隊(duì)，再把不相鄰的插入中間.在與其他案例進(jìn)行對(duì)比分析的過(guò)程中，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際，對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生了自己的個(gè)性理解.

四、組織小組討論，培養(yǎng)發(fā)散思維

在之前的教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常以定義、性質(zhì)、例題、反復(fù)練習(xí)的模式進(jìn)行教學(xué)，這種枯燥的教學(xué)方式很難讓學(xué)生形成發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)的思維過(guò)程.針對(duì)這個(gè)，教師可以創(chuàng)新教學(xué)方式，創(chuàng)設(shè)教學(xué)模型，組織學(xué)生小組討論，讓其在互相交流中充分思考，發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)，提高課堂的高效性.

例如，在教學(xué)高中的一次概率論的討論課時(shí)，為了讓學(xué)生對(duì)平均分組概念有充分的理解，而不是死記公式，我引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分組討論，鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題，并進(jìn)行小組間的專題討論.首先，我將學(xué)生分為六個(gè)人一組，然后我讓學(xué)生們進(jìn)行思考：如果將6個(gè)人平均分為3排，每排2個(gè)人，總共有多少種分法.學(xué)生們自己在組內(nèi)進(jìn)行討論與實(shí)踐，六個(gè)人分別記為ABCDEF，然后第一步取出AB，第二步取出CD，第三步取出EF，則依次排序下去得相等.我引導(dǎo)學(xué)生們自己分組實(shí)踐操作與理論討論，讓學(xué)生們自己在相互交流中發(fā)現(xiàn)，平均分成的組無(wú)論順序如何都是一種情況，所以分組后一定要除以n為均分的組數(shù)），從而避免重復(fù)計(jì)數(shù).之后，我又布置了一些例題，讓學(xué)生進(jìn)行分組討論，并且要求他們?cè)谟懻摰倪^(guò)程中發(fā)現(xiàn)這類題的本質(zhì)與規(guī)律，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)，分組討論解決問(wèn)題的過(guò)程中相互學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步.

在組織學(xué)生進(jìn)行討論的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該通過(guò)創(chuàng)設(shè)與實(shí)際相關(guān)的問(wèn)題情境，建立數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生開展專題討論活動(dòng)，幫助學(xué)生相互交流學(xué)習(xí)，并在交流中發(fā)現(xiàn)事物本質(zhì)的推理過(guò)程，對(duì)知識(shí)有更深的了解.

總的來(lái)說(shuō)，將數(shù)學(xué)建模思想滲透進(jìn)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過(guò)程中的方法，就是聯(lián)系生活實(shí)際，將社會(huì)中的熱點(diǎn)問(wèn)題、周遭的常見(jiàn)事例以模型的方式化為例題，循序漸進(jìn)，由易到難地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新思考，激發(fā)學(xué)生興趣，幫助學(xué)生了解時(shí)事政治，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組討論，讓學(xué)生在相互交流，相互學(xué)習(xí)的過(guò)程中理解知識(shí)的本質(zhì)，提高課堂的高效性.J