“以本為本”：研讀教材的幾個視角
——從函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸公共點的習(xí)題表述說起

☉江蘇省海安市海陵中學(xué)朱昌建

教材研讀一直是很多老師的“自覺”課題，并且通過研讀教材加深了對教學(xué)內(nèi)容的深刻理解，理解了教學(xué)編排順序的立意，理解了教材上某些數(shù)學(xué)概念的規(guī)范與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎?，甚至對教材上的一些?biāo)點符號的使用都能讀出深意，促進了自身的專業(yè)成長.本文從一節(jié)九年級隨堂課的聽課說起，對二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的公共點進行概念辨析，并進一步給出關(guān)于研讀教材的一些思考，供研討.

一、從一節(jié)隨堂課中的習(xí)題表述說起

最近聽了一節(jié)青年教師的隨堂課“二次函數(shù)視角看一元二次方程”，課中選用了以下一些習(xí)題：

題1：若拋物線y=x2-6x＋a與x軸有兩個交點，分析a的范圍；

題2：若拋物線y=x2-6x＋a與坐標(biāo)軸有且只有兩個交點，分析a的范圍；

題3：若拋物線y=x2＋px＋q與x軸的兩個交點分別為（-2，0）、（3，0），求p、q的值.

在師生的對話互動中，這些習(xí)題的解答都得到了確認(rèn)，教學(xué)效果也是好的.然而對照教材上關(guān)于二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的交點的描述，使用的都是“公共點”的說法，查閱一些中考試題，使用的也都是“公共點”的說法，不妨摘引兩道中考題：

中考題1：（2016年南通市中考卷第26題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2＋bx＋c經(jīng)過（-1，m2＋2m＋1）、（0，m2＋2m＋2）兩點，其中m為常數(shù).若拋物線y=x2＋bx＋c與x軸有公共點，求m的值.

中考題2：（2018年北京市中考卷第26題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=4x＋4與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y=ax2＋bx-3a經(jīng)過點A，將點B向右平移5個單位長度，得到點C.若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖像，求a的取值范圍.

從以上教材表述、中考試卷上的相關(guān)表述來看，使用的都是“公共點”的說法，可見上述題1～3中這種低端教輔資料上的表述是不規(guī)范的，應(yīng)該予以糾錯、規(guī)范.

二、相關(guān)概念辨析在網(wǎng)絡(luò)上的研討摘要

那么使用函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸（或某直線）的交點的說法與公共點的說法，有怎樣微妙的差別？筆者曾在某微信群、QQ群上發(fā)起相關(guān)話語的研討，概述起來有如下一些意見，摘要主要觀點，如下：

辨析概念：教材中說二次函數(shù)圖像與直線有公共點，有很多教師講課時說成了交點，哪個說法更恰當(dāng)？

觀點1：（來自一位初中教研員）人教版初中教材中基本上都是用“公共點”.我們可以回到初一“幾何圖形初步”時，教材上關(guān)于兩條直線相交的情況有如下表述，當(dāng)兩條不同直線有一個公共點時，就稱這兩條直線相交，這個公共點叫作它們的交點.推及曲線（如拋物線）與直線的情形，說它們有公共點比交點顯得“更上位”.

觀點2：（來自上海一位退休的高中資深教研員）交點是從兩曲線“相遇”的角度描述的，公共點是從兩曲線點“公共”的角度描述的.兩個說法描述的是同一件事，談不上高處或低位說法.對初中生來說，無需追究這一細(xì)節(jié)，應(yīng)認(rèn)為兩個說法都對.

觀點3：（來自一位高中名師）這個問題主要是點的個數(shù)問題，高中教材中基本上都是用“公共點”，建議對于教材系統(tǒng)中有明確規(guī)定的，應(yīng)該以教材為準(zhǔn)，否則會擾亂一線的教學(xué)秩序；對于教材中沒有約定的內(nèi)容，在習(xí)題或考試命題中應(yīng)該盡量回避或事先做說明.

三、關(guān)于教材研讀的幾個視角

視角1：研讀教材上概念的規(guī)范表述

像上文中提到的案例一樣，現(xiàn)在很多教輔資料、練習(xí)冊上關(guān)于函數(shù)圖像與直線的公共點都表述為交點，而一些教師對教材鉆研不夠，被這些不規(guī)范的教輔資料所“影響”，習(xí)慣成自然，一些規(guī)范的表述變得“自然而然”，對學(xué)生造成不良影響.比如，當(dāng)學(xué)生習(xí)慣了函數(shù)圖像與直線的交點這樣的表述后，待到中考這樣的重要考試，像考題1～2這樣以規(guī)范的公共點出現(xiàn)時，一些考生如果在考場上糾結(jié)公共點與交點的區(qū)別，就會對考試帶來負(fù)面影響.再比如，教材上關(guān)于方程的解的“結(jié)語”通常如下表述：

所以，原方程的解是x=2.

而有些教師對教材上的研讀不到位、不細(xì)致，“習(xí)慣成自然”，寫成：

所以，x=2是原方程的解.

后一種表述只能說明x=2是原方程的一個解，但沒有精準(zhǔn)指出原方程只有一個解（x=2）.

視角2：研讀不同年級、版本的教材

著名數(shù)學(xué)教育家傅種孫先生每教一門課都要看若干本書，比較其異同，在他的教學(xué)生涯中，同一課題，今年講的便與去年不同，第二遍絕不比第一遍輕松［1］.同樣，研讀教材不只是研讀學(xué)生手頭下發(fā)的那一冊、一本教材，為了備一節(jié)課，我們常常要研究不同年級的教材、不同版本的教材，然后將適合的內(nèi)容重組、建構(gòu)成學(xué)材，幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)、理解新知.比如，上文中關(guān)于九年級二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的“交點”“公共點”的辨析，有老師查閱了七年級的教材，回到“幾何圖形初步”一章中關(guān)于兩直線的交點是如何定義的，找到了更為上位的“公共點”的概念，本著數(shù)學(xué)概念在定義上追求前后一致、邏輯連續(xù)的理解，為九年級教材函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的公共點進行“辯護”，也顯示了研讀教材的一種重要視角，值得我們學(xué)習(xí).

記得前幾年曾參加一次同課異構(gòu)教研活動，課題是蘇科版七年級第三章第1節(jié)“字母表示數(shù)”，這個版本的教材內(nèi)容在人教版上是沒有的，查閱到小學(xué)階段學(xué)習(xí)方程時就已學(xué)過“用字母表示數(shù)”，而這節(jié)課在蘇科版七年級教材中的內(nèi)容也多是小學(xué)已學(xué)過的一些用字母表示數(shù)、式，列代數(shù)式（只是第1課時還不給出“代數(shù)式”的名詞），然后就是一些規(guī)律探究的列式問題.由于研讀教材的視角不夠，有些教師把這節(jié)課上成小學(xué)階段的“用字母表示數(shù)”的習(xí)題課，也有教師把這節(jié)課上成規(guī)律探究課，教學(xué)目標(biāo)發(fā)生了偏離.只有少數(shù)教師較好地把握了這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與學(xué)習(xí)重點，即在具體情境中用字母表示數(shù)（式），體會字母表示數(shù)的簡潔、明了，并知道在規(guī)律探究問題中用字母表示數(shù)量關(guān)系能讓這類問題從特殊走向一般.

視角3：研讀、對比教材新知導(dǎo)入情境

我們注意到《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出，要注意靈活選用生活現(xiàn)實、數(shù)學(xué)現(xiàn)實及其他學(xué)科現(xiàn)實引入新知.新世紀(jì)以來，由于過分倡導(dǎo)所謂生活情境導(dǎo)入新知，突出體現(xiàn)在一些教材上時時處處“注重”用生活現(xiàn)實引入新知，原本簡潔、自然的由學(xué)科知識角度引入新知的也莫名其妙地“加塞”一個生活現(xiàn)實，這種過分注重導(dǎo)入的外在形式和非認(rèn)知功能的生活情境已為不少數(shù)學(xué)教育研究者所批判［2］，并在改版后很多教材中得到糾偏.這就要求我們在日常備課過程中，注意對比教材新知引入時所用的問題情境是否已經(jīng)變化，而不能停留在原有認(rèn)知上，一個“教學(xué)慣習(xí)”形成后，往往不利于我們認(rèn)真研習(xí)教材，對教材上的一些變化選擇性忽視，看似研讀教材不細(xì)致，實質(zhì)上是“教學(xué)慣習(xí)”使然.比如，不少教師在引入勾股定理教學(xué)時，受到有些教材中情境創(chuàng)設(shè)的影響，仍然花大力氣制作動畫、視頻，模擬、再現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯到友人家做客，面對客廳的地磚靈光忽現(xiàn)，有了“重大發(fā)現(xiàn)”，發(fā)現(xiàn)并證明了勾股定理.且不論這個傳說的真?zhèn)?，這樣的導(dǎo)入方式本身就值得商榷，特別是其中有很多非學(xué)科本質(zhì)的內(nèi)容會對后續(xù)教學(xué)產(chǎn)生干擾.其實勾股定理的導(dǎo)入方式，可以用中國古代的趙爽弦圖簡潔、明了地呈現(xiàn)出來，介紹我國古代的數(shù)學(xué)成就，并引導(dǎo)學(xué)生解讀、理解中國古人的拼圖智慧并學(xué)習(xí)勾股定理.

視角4：研讀教材上例、習(xí)題的選編意圖

人民教育出版社中數(shù)室資深編審章建躍博士曾說過：“課本是一科之本，課堂教學(xué)應(yīng)‘以課本為本’.”教材中的例題、習(xí)題的選編也是值得教學(xué)中重視的.然而，現(xiàn)在有一種不好的現(xiàn)象，以“習(xí)題單式”的導(dǎo)學(xué)案代替教材，而習(xí)題單上所選的習(xí)題來自全國各地中考試題或所謂出處不明的名校?？碱}，這種“考題橫行”的“去教材化”教學(xué)是危險的.憑心而論，目前全國各地多數(shù)地區(qū)的中考命題是地級市單位的命題形式，命題水平差異大，特別是省級單位的中考命題質(zhì)量不可比較.很多教輔書商在這些考題、?？碱}的“引導(dǎo)”下組織教師作者匯編成練習(xí)冊，又“引領(lǐng)”著一些教師進行習(xí)題教學(xué)，“劣幣驅(qū)逐良幣”的現(xiàn)象令人心憂.我們認(rèn)為，青年教師的專業(yè)發(fā)展一個重要方面就是要認(rèn)真研讀教材上的例、習(xí)題，讀懂例、習(xí)題的訓(xùn)練意圖、編排順序，弄清、辨析每個課時中的例題和習(xí)題的教學(xué)訓(xùn)練重點與難點，而不簡單化地“這個教材例題太簡單了，換成一個中考題”.以人教版八年級等腰三角形的判定為例，教材上安排了兩道例題，例1是訓(xùn)練“等角對等邊”，例2則是一道尺規(guī)作圖題，作出等腰三角形.有些教師不理解例2的設(shè)計意圖，其實這是對用“定義法”判定等腰三角形的一種例題跟進，同時訓(xùn)練了尺規(guī)作圖題.想清這點后，教學(xué)中不但要讓學(xué)生熟悉尺規(guī)作圖的順序，還應(yīng)該在作法之后，跟進追問：為什么作出的三角形一定為等腰三角形？讓學(xué)生運用“定義法”證明等腰三角形.