“函數(shù)奇偶性”小專題教學(xué)探究

☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué) 陳宏春

有效的課堂教學(xué)是促進學(xué)生成長和實現(xiàn)教師自身發(fā)展的主要途徑，在平時教學(xué)實際中，筆者發(fā)現(xiàn)，如果能夠?qū)σ还?jié)課進行了合理的專題化探究，在研究中堅持以學(xué)生為主體，以訓(xùn)練為主線，突出專題性，必定能夠保證課堂教學(xué)的效果.本文以“函數(shù)奇偶性”為例談?wù)勑率谡n中小專題探究的教學(xué)設(shè)計，進一步提升教師駕馭教材的能力和調(diào)控課堂教學(xué)的能力.

一、專題設(shè)計的準備工作

相比高三的大專題復(fù)習(xí)課而言，新授課中的小專題設(shè)計還要考慮新生的接受能力，知識的關(guān)聯(lián)度以及課時進度的安排等因素，因此，在設(shè)計小專題時應(yīng)堅持如下的思路.

1.明確本節(jié)課的課標要求是核心

以“函數(shù)奇偶性”為例，課程標準對本節(jié)課的要求可以分為三個層次，一是學(xué)生能通過對具體函數(shù)的分析，了解奇偶性的含義；二是在理解概念的基礎(chǔ)上能解決與之有關(guān)的數(shù)學(xué)問題；三是給學(xué)生提供一些具體函數(shù)的圖像，讓學(xué)生從形的角度認識這些函數(shù)圖像的特征，然后從數(shù)的角度對函數(shù)的圖像特征加以詮釋，得出函數(shù)奇偶性的關(guān)鍵是等量關(guān)系，這是一個由感性認識上升到理性認識的過程.

2.分析好教材是關(guān)鍵

利用函數(shù)的奇偶性，可以為我們研究函數(shù)的求值、定義域、值域、單調(diào)性、圖像的繪制等問題提供方便.教材中采用了由數(shù)到形的引導(dǎo)方式，首先給出了兩個具體函數(shù).通過運算和觀察得出奇偶性的定義，接著又對兩個函數(shù)的圖像進行分析，總結(jié)出奇偶性函數(shù)的圖形特征，比較系統(tǒng)地介紹了函數(shù)的奇偶性，然后配備了兩個典型例題，每道例題突出的重點不同.其中例1的目的是讓學(xué)生學(xué)會利用定義對函數(shù)的奇偶性進行判定，同時體會定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提；例2的目的是讓學(xué)生體會在學(xué)習(xí)了奇、偶性后為研究函數(shù)性質(zhì)帶來的便利.從教材的安排上可以看出本節(jié)課的重點在于函數(shù)奇偶性的定義和圖像特征.

3.研究學(xué)情是課堂教學(xué)的前提

本節(jié)課是以學(xué)生在初中研究過的函數(shù)為基礎(chǔ)，且在前幾節(jié)詳細學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義及單調(diào)性的前提下對函數(shù)性質(zhì)的進一步探討，學(xué)生對于常見的基本函數(shù)的圖像已經(jīng)有了直觀的認識，立足于利用函數(shù)圖像的結(jié)構(gòu)特點引入函數(shù)奇偶性的定義，能夠自然地過渡到對概念的直觀認識，然后引入對定義的數(shù)學(xué)表達式，這樣層層深入的教學(xué)構(gòu)思更有利于學(xué)生對知識的掌握.

二、專題設(shè)置的主要思路

本節(jié)課通過對課標和教材的分析，可以劃分為4個專題：函數(shù)奇偶性的定義、函數(shù)奇偶性的圖像特征、分段函數(shù)奇偶性問題、奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系.

在每個專題中，首先要以問題的形式呈現(xiàn)教材中的主要內(nèi)容，例題的選取要體現(xiàn)內(nèi)容的基礎(chǔ)性與目標性，然后對該問題進行展開，主要采用變式訓(xùn)練的形式將該專題的題型進行串聯(lián)，設(shè)計意圖要體現(xiàn)出對問題的理解和應(yīng)該注意的問題環(huán)節(jié)等，具體設(shè)計如下：

專題一：函數(shù)奇偶性的定義

1.問題設(shè)計

閱讀教材P47～P48“例1”以上的內(nèi)容，完成如下問題：

判斷下列命題的正誤：

（1）對于y=f（x），若?x，使f（-x）=-f（x），則y=f（x）一定是奇函數(shù).

（2）不存在一個函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).

（3）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則此函數(shù)不是奇函數(shù)就是偶函數(shù).

（5）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的一定是f（x）=0（x∈R）.

2.問題解讀

（1）定義域關(guān)于原點對稱，是一個函數(shù)存在奇偶性的必要條件.否則這個函數(shù)既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù).

（2）滿足定義域關(guān)于坐標對稱時，函數(shù)f（x）=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，因為它既滿足f（-x）=-f（x），又滿足f（-x）=f（x），并且這樣的函數(shù)因定義域的不同有無數(shù)多個.

（3）函數(shù)奇偶性分為4類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

（4）用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：①求f（x）的定義域，若定義域不關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若定義域關(guān)于原點對稱，則進一步判斷.②根據(jù)f（x）的定義域，化簡f（x）的解析式.③求f（-x），根據(jù)f（x）與f（-x）的關(guān)系，判斷f（x）的奇偶性.

3.知識拓展

變式3.已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+3a+b為偶函數(shù)，其定義域為［a-1，2a］，則a+b=______.

4.設(shè)計意圖

本環(huán)節(jié)的設(shè)計主要圍繞對函數(shù)奇偶性定義的理解，一是要注意判斷定義域的對稱性；二是了解函數(shù)根據(jù)奇偶性可分為四類；三是根據(jù)定義判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟，在這一步驟中要特別注意結(jié)合定義域?qū)馕鍪竭M行化簡，否則在判斷過程中極易出錯.

專題二：分段函數(shù)奇偶性問題

1.問題設(shè)計

2.問題解讀

（1）分段函數(shù)奇偶性應(yīng)分段證明f（-x）與f（x）的關(guān)系，只有當對稱的兩段上都滿足相同的關(guān)系時，才能判斷其奇偶性，因為奇偶性是對整個定義域而言的.

3.知識拓展

（1）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=x3+x+1.

①當x＜0時，f（x）的解析式為______；

②在R上f（x）的解析式為______；

③若將f（x）改為偶函數(shù)，則當x＜0時，f（x）的解析式為______.

4.設(shè)計意圖

利用函數(shù)奇偶性求解析式是難點，本環(huán)節(jié)先從判斷分段函數(shù)的奇偶性入手，從步驟上分析解析式的特點，然后引入到解析式的求解上，應(yīng)特別注意拓展中第（1）問的第②小問，在R上的解析式應(yīng)特別注意f（0）=0，這是奇函數(shù)的重要性質(zhì).

專題三：函數(shù)奇偶性的圖像特征

1.問題設(shè)計

2.問題解讀

本環(huán)節(jié)從課本例2入手，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，利用該結(jié)論可以畫函數(shù)的圖像，進而討論函數(shù)性質(zhì).

3.知識拓展

設(shè)f（x）為偶函數(shù)，在（-∞，0）上為減函數(shù)，且f（-2）=0，則不等式x·f（x）＜0的解集為______.

能否求得f（x-1）＜0的解集？若f（x）為奇函數(shù)呢？

4.設(shè)計意圖

應(yīng)用奇偶性并結(jié)合圖像是解決函數(shù)問題的主要方法，因此本環(huán)節(jié)的設(shè)計要圍繞如何利用奇、偶函數(shù)的對稱性，簡化研究函數(shù)的某些性質(zhì)，并借助數(shù)形結(jié)合思路快速、準確地解題.

專題四：奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系

1.問題設(shè)計

如果奇函數(shù)f（x）在區(qū)間［1，6］上是增函數(shù)，且最大值為10，最小值為4，那么f（x）在區(qū)間［-6，-1］上是增函數(shù)還是減函數(shù)？求f（x）在［-6，-1］上的最大值和最小值.

2.問題解讀

若f（x）為奇函數(shù)，則f（x）在區(qū)間［a，b］和［-b，-a］上的單調(diào)性相同；若f（x）為偶函數(shù)，則f（x）在區(qū)間［a，b］和［-b，-a］上的單調(diào)性相異，簡記“奇同偶異”.

3.知識拓展

（1）已知偶函數(shù)f（x）是區(qū)間［-3，-1］上的單調(diào)減函數(shù)，則f（-3），f（1），f（2）的大小關(guān)系為______.

（2）已知定義在［-1，1］上的偶函數(shù)f（x），當x≥0時，f（x）為增函數(shù)，若f（1+m）＜f（2m），求m的取值范圍.

4.設(shè)計意圖

本專題是在上一專題“函數(shù)奇偶性與圖像關(guān)系”的深入拓展，結(jié)合圖像讓學(xué)生理解單調(diào)性與奇偶性的關(guān)系，牢記結(jié)論，“奇同偶異”，同時在利用奇偶性和單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小，關(guān)鍵是利用奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用單調(diào)性比較；利用奇偶性和單調(diào)性求參數(shù)范圍，首先要弄清楚函數(shù)在各個區(qū)間的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性列出不等式求解，同時不要忘記函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響.

三、數(shù)學(xué)課堂有效性小專題設(shè)計的實施措施

為了讓“數(shù)學(xué)課堂有效性小專題設(shè)計”能夠順利進行，需要教研組共同來認真梳理和修改完善，基本上做到研究切口細小化，研究個性化，研究方法通俗化，以便更好地適應(yīng)新授課的特點.為了將小專題研究根植到課堂教學(xué)中，我們應(yīng)該加大管理的引導(dǎo)力度，具體做法：

（1）圍繞小專題研究進行說課，教師介紹自己近期小專題的實施策略及目前存在的主要問題.

（2）現(xiàn)場觀摩聽課，教研組教師和學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)共同參與，并對課堂教學(xué)進行評課，針對性提出問題和下一步措施.

（3）集體會診評課，教研組根據(jù)教師意見進行歸納形成研究成果集.

通過專題問題的設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)問題，通過問題的解讀使得問題得到強化，利用拓展練習(xí)強化對問題的應(yīng)用，通過這幾個專題會讓學(xué)生更加明確本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu).F