加強(qiáng)創(chuàng)新思維，學(xué)會(huì)靈活變通
——以2017年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷為例

☉江蘇省常熟市王淦昌中學(xué) 蔣志學(xué)

2017年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷的總體特征就是立足基礎(chǔ)，注重對(duì)考生能力的考查.試卷總體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，涉及的知識(shí)點(diǎn)比較全面，對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的考核突出，層次分明.試題總體難度設(shè)置合理，既能有效地進(jìn)行區(qū)分，有利于不同層次的高校選拔人才，又貫徹落實(shí)好了素質(zhì)教育的目標(biāo).

一、試題總體特點(diǎn)

表1是必考題各知識(shí)點(diǎn)的設(shè)置情況.

表1 2017年江蘇高考數(shù)學(xué)卷知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)

1.重基礎(chǔ)，抓主干

總體來說，該套試題緊緊圍繞教材，易于學(xué)生著手解答，無偏題，無怪題，無超綱題，能較好地反映考生的真實(shí)水平.填空題1～10題、解答題15～16題以及附加題部分考查的都是學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況，解法比較常規(guī)，不存在復(fù)雜的運(yùn)算，只要用對(duì)方法，認(rèn)真解答，完全是能夠拿分的；填空題11～14題主要考查的是考生的綜合能力，與前面的“基礎(chǔ)題”相比對(duì)思維能力的要求比較高，講究數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法.盡管如此，這些所謂“難題”的解決思路及解決方法是常規(guī)的，也都是學(xué)生在日常學(xué)習(xí)過程中遇到過的；解答題的第17題考查的是解析幾何，不同以往，計(jì)算量并不大，只要考生明確方法，動(dòng)手計(jì)算，都能得到較好的分?jǐn)?shù).

例1（2017年江蘇卷第11題）已知函數(shù)（fx）=x3-2x+，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若（fa-1）+（f2a2）≤0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.

命題人將學(xué)生熟悉的函數(shù)y=x3-2x和y=ex-結(jié)合成新的函數(shù)，即f（x）=x3-2x+ex-，函數(shù)雖然相對(duì)較復(fù)雜，但考生只要經(jīng)過觀察，就能夠借助平時(shí)的解題經(jīng)驗(yàn)，通過求導(dǎo)的方法以及不等式的相關(guān)知識(shí)判斷該函數(shù)在R上遞增且為奇函數(shù).在此基礎(chǔ)上，考生就能確認(rèn)滿足f（a-1）+f（2a2）≤0的實(shí)數(shù)a的取值范圍，將問題轉(zhuǎn)化為不等式進(jìn)行求解.求解過程雖然簡單，但考查的知識(shí)點(diǎn)比較綜合，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及轉(zhuǎn)化能力的考查要求比較高.

2.能力立意，適度創(chuàng)新

相比與往年，2017年的江蘇數(shù)學(xué)卷更強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新性，題目的設(shè)置以考綱為基礎(chǔ)，重點(diǎn)考查考生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)方法的掌握情況.填空題第5題考查的是算法流程，但卻以分段函數(shù)求值的形式進(jìn)行呈現(xiàn)；第7題綜合性更強(qiáng)，將函數(shù)定義域的求解、解一元二次不等式及幾何概型的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來.像這樣的綜合考查出現(xiàn)在好多試題中，比如第12題綜合了平面向量、三角函數(shù)及解三角形，第13題同時(shí)考查了直線和圓、向量數(shù)量積及線性規(guī)劃.諸如這些試題，考點(diǎn)都是學(xué)生學(xué)過的基礎(chǔ)知識(shí)，但是對(duì)考生的思維能力有著較高的要求，需要考生綜合地、靈活地運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和方法，創(chuàng)造性地解決問題.

例2（2017年江蘇卷第19題）對(duì)于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列｛an｝滿足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+an+k=2kan對(duì)任意正整數(shù)n（n＞k）總成立，則稱數(shù)列｛an｝是“P（k）數(shù)列”.

（2）外網(wǎng)門戶。主要實(shí)現(xiàn)對(duì)外門戶的信息發(fā)布與展示，包括集團(tuán)信息，組織架構(gòu)、新聞公告等，實(shí)現(xiàn)門戶信息的動(dòng)態(tài)發(fā)布。

（1）證明：等差數(shù)列｛an｝是“P（3）數(shù)列”；

（2）若數(shù)列｛an｝既是“P（2）數(shù)列”，又是“P（3）數(shù)列”，證明：｛an｝是等差數(shù)列.

本題考查的是等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式的求解，涉及的數(shù)學(xué)方法主要有代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸，對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力要求比較高.

通過分析題干可知，本題定義了“P（k）數(shù)列”.對(duì)于考生而言，本題的重點(diǎn)就是弄清楚an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+an+k=2kan.在數(shù)列中，n是一個(gè)變量，只有認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，考生才會(huì)想到用n代替n-1.

第（2）問中，考生需要聯(lián)系到P（k）數(shù)列的定義，一個(gè)數(shù)列既是“P（2）數(shù)列”，又是“P（3）數(shù)列”，而題目要求證明該數(shù)列是等差數(shù)列.考生需要考慮到“P（2）數(shù)列”與“P（3）數(shù)列”具有同樣的性質(zhì)，即均是相鄰若干項(xiàng)的關(guān)系，最符合定義的就是“an-1+an+1=2an”.從這個(gè)突破點(diǎn)著手，考生可以嘗試去求解答案.

二、試題創(chuàng)新點(diǎn)評(píng)析——以解答題第18題第（2）問為例

在2017年的江蘇高考數(shù)學(xué)卷中，相當(dāng)一部分的考題不單單是考查單一的考點(diǎn)，而是同時(shí)考查多種數(shù)學(xué)能力與方法，對(duì)考生的創(chuàng)新能力是一大考驗(yàn).同時(shí)，命題人在設(shè)置題目時(shí)會(huì)充分考慮不同能力水平的考生之間的差異性，多數(shù)試題的解答方法與思考方式并不是唯一的，只要找到方法，就能進(jìn)行求解.

圖1

（1）將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱CC1上，求l沒入水中部分的長度；

（2）將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒入水中部分的長度.

標(biāo)準(zhǔn)答案給出的解法是設(shè)角，利用三角函數(shù)及正弦定理的知識(shí)進(jìn)行求解.除此以外，考生還可以將其視作平面幾何題，借助解析法，繪制棱臺(tái)的截面等腰梯形E1EGG1.以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，EG所在直線為x軸，OO1所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖2），建立直線方程進(jìn)行求解.

圖2

三、教學(xué)啟示

對(duì)于學(xué)生而言，創(chuàng)新意識(shí)是可以經(jīng)過系統(tǒng)的練習(xí)來提升的.在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的能動(dòng)性，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新、求異、探索精神，是現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)教育的一大重點(diǎn).

1.引導(dǎo)學(xué)生多角度考慮問題

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，考生都是選用自己已掌握的知識(shí)或之前的解題經(jīng)驗(yàn)來解答，但是在高考的答題過程中，常常會(huì)出現(xiàn)常規(guī)方法無法解答或解答過程過于煩瑣的情況，在這樣的情況下，考生就需要改變思考角度，變化思維方式.

本題的常規(guī)解法為數(shù)理分析法，但解答過程比較煩瑣.不妨可以借助向量的知識(shí)進(jìn)行解答.可以令m=（a，b），n=（c，d），因?yàn)閙·n≤|m||n|，即可證明，過程簡單易懂.當(dāng)然，要在考試過程中想到這樣的非常規(guī)解法是需要平時(shí)的思考與積累的.老師在教學(xué)過程中要注意引導(dǎo)學(xué)生用不同的角度去思考同一個(gè)問題，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)知的創(chuàng)新性與跳躍性.

2.鼓勵(lì)學(xué)生拓展思維，開放思考

在日常的教學(xué)活動(dòng)中，老師要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散性思維訓(xùn)練，要求學(xué)生看待問題不要僅僅局限在一個(gè)小點(diǎn)上，要結(jié)合已有的條件積極探索可能的解答過程與結(jié)論.下面以立體幾何的講授為例.

例5 已知三棱錐A-BCD的側(cè)棱相等，則頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影是△BCD的（ ）.

A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心

這道題目本身沒有什么難度，但在得出答案之后，老師需要就這道題進(jìn)行深入探討：“側(cè)棱相等”這一條件能否去掉？如果能去掉，需要添加什么新條件？如果要使得點(diǎn)A在底面BCD上的射影是△BCD的內(nèi)心或垂心，則分別需要添加什么條件？通過這一系列的拓展思考，學(xué)生的思維就不再簡單地局限在一道題上了，不同的條件帶來的不同結(jié)果會(huì)使學(xué)生對(duì)相類似的問題形成更為透徹的認(rèn)知，對(duì)相互之間概念的差異也會(huì)理解得更加準(zhǔn)確.最重要的是，通過這種“追問”的教學(xué)方式，會(huì)激起學(xué)生思考問題的熱情，提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、自主創(chuàng)新能力.

四、結(jié)束語

高考數(shù)學(xué)不僅僅是一場考試，它能較為真實(shí)地反映出考生的思維能力及問題處理能力.因此，近年來相當(dāng)多的高校、教學(xué)科研機(jī)構(gòu)及普通高中對(duì)高考數(shù)學(xué)命題進(jìn)行了深入的研究，推動(dòng)高考數(shù)學(xué)考題不斷推陳出新，追求內(nèi)容上的創(chuàng)新.高考不再局限地考查學(xué)生的應(yīng)試能力，通過一張考卷，命題人要對(duì)考生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法等綜合能力進(jìn)行考核，而不是簡單地考查學(xué)生的運(yùn)算、書寫等答題能力.高考試卷中出現(xiàn)的越來越多的開放性、探索性問題，表明了拘泥于傳統(tǒng)的教學(xué)方式，培養(yǎng)學(xué)生的答題能力已經(jīng)是不夠的了，老師需要有針對(duì)性地指導(dǎo)學(xué)生開展創(chuàng)新思維訓(xùn)練，做到靈活變通，真正地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

1.李昊森.數(shù)學(xué)教學(xué)模式創(chuàng)新［J］.北京：人民教育出版社，2012.

2.王弟成.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生已有的思維出發(fā)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015（8）.F