對(duì)充要條件教學(xué)的再認(rèn)知

☉江蘇省無(wú)錫市堰橋高級(jí)中學(xué) 陸旌霞

中學(xué)數(shù)學(xué)第一章集合論可以說(shuō)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，有了集合論規(guī)范的表述，才有了后來(lái)各種數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí).集合論教學(xué)中，子集、交集、并集、全集、補(bǔ)集是集合中最基本的五大要點(diǎn)，形成了集合論的基礎(chǔ).比如：子集關(guān)系是運(yùn)用到各種知識(shí)銜接的重要知識(shí).以命題為例：“若p，則q”指的是就是集合論中的子集關(guān)系，但是學(xué)生在學(xué)習(xí)中卻鮮有將知識(shí)串聯(lián)在一起思考.因此教師教學(xué)需要打通這些知識(shí)的單一性，形成教學(xué)的全方位處理，形成知識(shí)的綜合理解成為關(guān)鍵.

一、概念的認(rèn)識(shí)

充要條件的概念在教材中僅僅是描述性的介紹，并沒有實(shí)質(zhì)性的闡述和解釋，常常在論壇中聽到學(xué)生這樣抱怨：充分條件是什么意思？老師叫我們記住“左邊推出右邊”叫充分條件，這是為什么？筆者認(rèn)為：這樣的抱怨說(shuō)明了幾個(gè)問(wèn)題：第一，概念教學(xué)沒有做到真正理解，更多是以灌輸性的教學(xué)進(jìn)行；第二，教師自身沒有全面思考充分條件的概念，更多地是站在孤立的角度去思考概念，發(fā)現(xiàn)概念不好闡述，因此用比較生硬的強(qiáng)行記憶的方式進(jìn)行了灌輸.那么我們?nèi)绾卫斫獬浞謼l件的概念才是合理的？筆者認(rèn)為需要結(jié)合以往的知識(shí)一起來(lái)思考、理解.

1.知識(shí)的對(duì)比

眾所周知，集合論中其實(shí)早就存在了充分條件，只是表述不一，我們挖掘其中的知識(shí)來(lái)對(duì)比概念，使其對(duì)于何為充分性有足夠的認(rèn)識(shí).觀察下表：

基本概念 數(shù)學(xué)化符號(hào)集合論：p是q的子集 p?q命題：若p，則q p?q Venn圖示子集關(guān)系 p?q

上述知識(shí)都是p?q的數(shù)學(xué)化符號(hào)不同形態(tài)，有子集形態(tài)、命題形態(tài)等等.這里教師需要對(duì)上述三方面知識(shí)進(jìn)行合理的總結(jié)，使學(xué)生理解知識(shí)，打通這些知識(shí)之間的相關(guān)聯(lián)系.

師：我們發(fā)現(xiàn)，這些知識(shí)其本質(zhì)是一樣的，也就是說(shuō)q怎么樣才能成立？

生：只要p成立，一定可以有q成立.

師：那這樣成立的條件夠充分嗎？

生：足夠充分了！

師：所以，今天我們?cè)谏鲜鋈齻€(gè)基本概念的基礎(chǔ)上，引入全新的一種更加數(shù)學(xué)化的說(shuō)法：我們把p?q稱之為p是q的充分條件，意思就是條件p足夠充分推導(dǎo)出結(jié)論q了！

生：明白了！原來(lái)充分條件的概念非常容易理解，只要對(duì)比命題和集合論就可以了.

師：另一方面，q是p應(yīng)該怎么稱呼呢？

生：集合論中沒有倒過(guò)來(lái)的講法啊！

師：的確如此.我們可以這樣想，命題q成立的時(shí)候必須要求命題p作為要求保障，因此可以說(shuō)q是p的必要條件.

生：這樣對(duì)概念的理解，我們比較清楚了.

意圖：?jiǎn)我坏母拍罱虒W(xué)顯然是比較孤立的，學(xué)生之所以不理解充分和必要，主要因素在于教師講解概念的時(shí)候過(guò)于孤立和抽象，其實(shí)引用集合論中子集的概念以及命題中“若p，則q”的表述，我們不難真正理解充分性的含義了.

2.知識(shí)的具象化

另一方面，為了進(jìn)一步加深充分條件的認(rèn)知，我們可以借助數(shù)學(xué)相關(guān)實(shí)驗(yàn)去嘗試，這里經(jīng)典的實(shí)驗(yàn)正是借助物理電器元件的電路圖來(lái)實(shí)現(xiàn)的.我們知道，電路的通暢與否很好地展示了充分與必要的關(guān)系.設(shè)“開關(guān)A閉合”為條件A，“燈泡B亮”為結(jié)論B.

分析1：觀察圖1，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)開關(guān)A閉合時(shí)，燈泡B必然會(huì)亮，這說(shuō)明“若p，則q”是成立的，即開關(guān)A閉合充分保障了燈泡B必然會(huì)亮，這是充分性最好的實(shí)驗(yàn)體現(xiàn).反之，若燈泡B會(huì)亮，不能說(shuō)明一定是開關(guān)A閉合的結(jié)果，有可能是開關(guān)C閉合，因此“若q則p”是不成立的，這樣來(lái)說(shuō)A是B成立的充分不必要條件，因此電路實(shí)驗(yàn)較好地反映了這一數(shù)學(xué)本質(zhì).

圖1

圖2

圖3

圖4

分析2：觀察圖2，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)開關(guān)A閉合時(shí)，燈泡B不會(huì)亮，這說(shuō)明“若p則q”是不成立的，即開關(guān)A閉合無(wú)法充分保障燈泡B會(huì)亮.反之，若燈泡B會(huì)亮，說(shuō)明開關(guān)A必須是閉合的結(jié)果，因此“若q則p”是一定成立的，這樣來(lái)說(shuō)A是B成立的必要不充分條件，因此概念的反饋躍然紙上.

分析3：觀察圖3，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)開關(guān)A閉合時(shí)，燈泡B必然會(huì)亮，這說(shuō)明“若p則q”是成立的，即開關(guān)A閉合充分保障了燈泡B必然會(huì)亮，這是充分性最好的實(shí)驗(yàn)體現(xiàn).反之，若燈泡B會(huì)亮，說(shuō)明一定是開關(guān)A閉合的結(jié)果，因此“若q，則p”是成立的，這樣來(lái)說(shuō)A是B成立的充分必要條件，因此充要條件的數(shù)學(xué)本質(zhì)體現(xiàn)了充分的等價(jià)性原則.

分析4：觀察圖4，顯然是既不充分也不必要條件了.

意圖：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)電路是充分顯示充分必要條件的一種具象化操作，這種操作大大加快了學(xué)生對(duì)于充分必要條件的理解，有了這種實(shí)驗(yàn)作為保障，形成了充要條件概念的再認(rèn)知，從感官角度思考得到了充分性和必要性，從而擺脫了教學(xué)的刻板和灌輸性，獲得了知識(shí)形成的過(guò)程性，符合課程標(biāo)準(zhǔn)提出的數(shù)學(xué)抽象這一最重要的核心素養(yǎng)要求.

二、問(wèn)題的探索

從充要條件的概念理解來(lái)說(shuō)，學(xué)生達(dá)到了一定的認(rèn)知，進(jìn)一步在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中體會(huì)充要條件是必不可少的.可以這么說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)可以分為三個(gè)步驟：第一是概念的學(xué)習(xí)，即通過(guò)數(shù)學(xué)具象感受數(shù)學(xué)本質(zhì)；第二是數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，通過(guò)問(wèn)題的解決豐富概念的理解，從多角度、多層次中去體會(huì)數(shù)學(xué)本質(zhì)；第三是知識(shí)的內(nèi)化，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行反思，才能真正進(jìn)一步的去理解知識(shí)、體會(huì)知識(shí)，這也是學(xué)習(xí)的最后層次.從本知識(shí)來(lái)說(shuō)，我們通過(guò)具體案例來(lái)思考這充要條件的深刻意義.

問(wèn)題1：方程x2-2mx+m-1=0有兩個(gè)不同正根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

分析：本題對(duì)于高一學(xué)生而言并不困難，因?yàn)榇蟛糠謱W(xué)生都是尊崇初中數(shù)學(xué)二次方程韋達(dá)定理這一知識(shí)尋求解決，解方程組

變式1：方程x2-2mx+m-1=0有兩個(gè)不同且大于1的根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：按照問(wèn)題1的解決思路，學(xué)生自然形成了這樣的解題方式殊不知這樣的解決方式已經(jīng)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，這里的原因是什么呢？我們可以借助充要條件來(lái)說(shuō)明這個(gè)典型的錯(cuò)誤.從等價(jià)性的角度分析因此問(wèn)題1的解決思路沒有任何問(wèn)題，既沒有擴(kuò)大解集也沒有縮小解的范圍，而之是不能成立的，即不等價(jià)，這里的反例很明顯若取無(wú)法推出這恰恰是充要條件未能保障到位的結(jié)果.這樣的問(wèn)題在中學(xué)數(shù)學(xué)中往往較多的存在.

問(wèn)題2：已知f（x）=ax2+cx，且1≤f（1）≤3，-1≤f（-1）≤1，求f（2）的取值范圍.

分析：這又是充分必要條件轉(zhuǎn)化不到位的一個(gè)典型問(wèn)題.首先來(lái)看一看常見的錯(cuò)解.

（1）+（2），得0≤2x≤4，即0≤4x≤8，（2）×（-1），得-1≤y-x≤1.（3）（1）+（3），得0≤2y≤4，故而代入f（2）=4x+2y，得0≤f（2）≤12.

顯然上述解答是有問(wèn)題的，原因何在呢？其僅僅保障了問(wèn)題的充分性，未能考慮到必要性，通俗的說(shuō)也就是無(wú)形中放大了變量的范圍，導(dǎo)致求解范圍的擴(kuò)大，正解范圍還應(yīng)該縮小一些.看一下正解.

正解：f（2）=4x+2y=3f（1）+f（-1），由已知可得3≤3f（1）≤9，-1≤f（-1）≤1，故而兩式相加可得2≤f（2）≤10.

意圖：通過(guò)兩個(gè)經(jīng)典問(wèn)題的反思，我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解探索過(guò)程就是不斷轉(zhuǎn)化充要條件的過(guò)程，將形式復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)捷的表述，正是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想的體現(xiàn)，這一步一步的體現(xiàn)需要一個(gè)重要的依據(jù)，即等價(jià)，也就是充要條件.

總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程恰恰是充要條件的一個(gè)縮影.理解充要條件的概念反映了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過(guò)程中具象化策略的重要性，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解充要條件對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的等價(jià)性原理、轉(zhuǎn)化化歸思想也有著極為重要的作用.對(duì)于充要條件的再認(rèn)知，筆者以教學(xué)一線的實(shí)踐做了一番自我的思考，懇請(qǐng)讀者給予指點(diǎn)和斧正.

1.宋一衛(wèi).從生“動(dòng)”到生動(dòng)，詮釋充要條件教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015，5.

2.方可石.邏輯教學(xué)中詮釋思維品質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通訊，2012，1.

3.沈恒.淺談中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的適度形式化［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2010，5.