思維生長(zhǎng)，追求自然與必然
——以“分式章首課”教學(xué)設(shè)計(jì)為例

☉江蘇省南京市江寧區(qū)麒麟初級(jí)中學(xué) 謝蓓蓓

☉江蘇省南京市竹山中學(xué) 黃秀旺

“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”倡導(dǎo)根據(jù)具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，順應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律實(shí)施教學(xué)，教師只在必要時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生自然而然地向必然的思維方向生長(zhǎng).這對(duì)于每一章節(jié)的第1課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)來說是一個(gè)新的挑戰(zhàn).那么，如何在每一章節(jié)的第1課時(shí)讓學(xué)生獲得知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的快速生長(zhǎng)呢？筆者是從以下幾個(gè)方面著手的.

一、概念——注重自然內(nèi)生

學(xué)生要想真正理解并能運(yùn)用新的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，首先要對(duì)這個(gè)新知識(shí)的概念有深刻的理解.有的教師會(huì)選擇直接告訴學(xué)生新概念的內(nèi)容，這種強(qiáng)加給學(xué)生、非自然生長(zhǎng)出的新知識(shí)是沒有生命力的.建構(gòu)主義認(rèn)為，對(duì)于新知識(shí)的接受并不單單是把知識(shí)直接搬進(jìn)腦中，而是在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過與外部的相互作用對(duì)新知識(shí)產(chǎn)生新的理解.也就是說，學(xué)習(xí)過程并不是簡(jiǎn)單的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的積累，而是新經(jīng)驗(yàn)和舊經(jīng)驗(yàn)沖突導(dǎo)致發(fā)生改變和重組的過程.從這個(gè)意義上說，在教學(xué)過程中，教師可以把學(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從以往的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)中生長(zhǎng)出新的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn).教師可以通過創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的情境或提出學(xué)生熟悉的問題，讓學(xué)生在交流中感受、探究、發(fā)現(xiàn)，讓新概念自然內(nèi)生.

比如，在講解新蘇科版八下第十章“分式”第1課時(shí)時(shí)，筆者了解到在學(xué)習(xí)分式之前，學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)學(xué)過了分?jǐn)?shù)，在七年級(jí)也已經(jīng)學(xué)過了整式，教師完全可以把這些已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)作為學(xué)生理解分式概念的生長(zhǎng)點(diǎn)，讓學(xué)生自然內(nèi)生出分式的概念.經(jīng)過思考，筆者提出了以下問題：

問題1：用代數(shù)式表示下列問題：

（1）某工廠有5噸貨物，若安排4輛貨車一次性將貨物運(yùn)走，那么平均每輛貨車能運(yùn)多少噸貨物？

（2）某工廠有a噸貨物，若安排4輛貨車一次性將貨物運(yùn)走，那么平均每輛貨車能運(yùn)多少噸貨物？

（3）某工廠有a噸貨物，若安排b輛貨車一次性將貨物運(yùn)走，那么平均每輛貨車能運(yùn)多少噸貨物？

（4）某工廠有甲、乙兩個(gè)車間，其中甲車間有a噸貨物，乙車間有b噸貨物，該工廠共安排4輛貨車一次性運(yùn)走所有貨物，那么平均每輛貨車能運(yùn)多少噸貨物？

（5）某工廠有a噸貨物，原計(jì)劃安排4輛貨車將貨物一次性運(yùn)走，為了提高效率，實(shí)際運(yùn)輸時(shí)，該工廠又增加了b輛貨車，那么實(shí)際運(yùn)輸時(shí)平均每輛貨車能運(yùn)多少噸貨物？

通過問題1，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生列出代數(shù)式，為問題2中感悟分?jǐn)?shù)和分式、整式和分式之間的區(qū)別和聯(lián)系做鋪墊.

問題2：你能將上述結(jié)果中的（進(jìn)行分類嗎？說說你分類的理由.

問題2的分類方法很多，有的學(xué)生可能將（1）單獨(dú)歸為一類，因?yàn)樗J(rèn)為分子、分母中都不含字母.借此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶小學(xué)時(shí)學(xué)過的分?jǐn)?shù)的內(nèi)容，為后面引出分式的名字做準(zhǔn)備.有的學(xué)生可能將（1）（2）（3）歸為一類，因?yàn)樗J(rèn)為這三個(gè)代數(shù)式的分子和分母都是單項(xiàng)式，而（4）（5）中，分子或分母是多項(xiàng)式.此時(shí)，教師正好可以追問（1）（2）（3）中哪些是單項(xiàng)式，（4）（5）中哪些是多項(xiàng)式，從而引導(dǎo)學(xué)生回憶整式的內(nèi)容，并發(fā)現(xiàn)（3）（5）與整式的不同之處就在于分母中含有字母.這時(shí)，教師可順勢(shì)根據(jù)分母中是否含有字母將（3）（5）分為一類，剩下的整式（1）（2）（4）分為一類.需要注意的是，在學(xué)生回答過程中，只要學(xué)生講出合理的理由，教師不應(yīng)該急于否定學(xué)生，而應(yīng)該順著學(xué)生思維發(fā)展的方向，通過適當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo)學(xué)生感悟分式與整式的區(qū)別和聯(lián)系.

問題3：你能再寫出一些和（3）（5）歸為一類的代數(shù)式嗎？你能給這些代數(shù)式起個(gè)名字嗎？

通過問題1和問題2的探索，類比小學(xué)分?jǐn)?shù)的形式，學(xué)生自然而然就講出了新概念“分式”的名稱.

問題4：你能給分式下個(gè)定義嗎？

讓學(xué)生經(jīng)歷從感受到發(fā)現(xiàn)再到歸納的過程，最終，引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)出分式的概念：“一般地，形如的式子叫作分式，其中A和B均為整式，B中含有字母”，在原來的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上生長(zhǎng)出“分式”這個(gè)新知識(shí)，同時(shí)，讓學(xué)生了解“樣子+條件”這種下定義的方法.

問題5：你能在下列條件下求出分式的值嗎？

（1）a=1；

（2）a=3；

（3）a=-2.

通過問題5，促使學(xué)生在計(jì)算中感受分式何時(shí)有意義、何時(shí)值為0，從而加深對(duì)分式概念的理解.

二、整體——構(gòu)建結(jié)構(gòu)框架

“整體”是指由事物的各內(nèi)在要素相互聯(lián)系構(gòu)成的有機(jī)統(tǒng)一體及其發(fā)展的全過程.在“分式”學(xué)習(xí)過程中，如果教師能夠引導(dǎo)學(xué)生利用整體的觀點(diǎn)探究數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生就會(huì)有一種“一覽眾山小”的感受.從這個(gè)角度而言，“分式”的第1課時(shí)既可以看作本章知識(shí)的敲門磚，更可以看作本章知識(shí)結(jié)構(gòu)的引領(lǐng).教師可以直奔“分式”主題，提出“分式”探究性的問題，讓學(xué)生結(jié)合自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，將“分式”學(xué)習(xí)的重點(diǎn)從碎片化的技能訓(xùn)練層面轉(zhuǎn)移到探究學(xué)習(xí)一個(gè)新課題的層面上來.

以“分式”教學(xué)為例，教材是將分式的基本性質(zhì)、分式的運(yùn)算、分式方程及應(yīng)用分開來研究，其實(shí)這樣不利于學(xué)生整體思維的構(gòu)建，所以，筆者在教學(xué)“分式”時(shí)，改變以往的教學(xué)方式，提出了以下問題：

問題6：如果讓你來研究分式，你想從哪些方面研究呢？

為了讓學(xué)生在腦海中對(duì)本章內(nèi)容形成一個(gè)整體的框架，筆者提出了一個(gè)開放性的問題.對(duì)于這個(gè)問題，學(xué)生最容易聯(lián)想到的就是分?jǐn)?shù).那么，教師可以順著學(xué)生的思路，追問學(xué)生小學(xué)學(xué)過分?jǐn)?shù)的哪些方面.學(xué)生自然聯(lián)想到分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、加減乘除等運(yùn)算及相關(guān)應(yīng)用.而學(xué)生關(guān)于分?jǐn)?shù)各方面的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)就可以作為研究分式的生長(zhǎng)點(diǎn)，也便于學(xué)生理解研究“式”類問題遵循“概念—性質(zhì)—運(yùn)算—應(yīng)用”的常見套路.所以，對(duì)于每一章節(jié)的第1課時(shí)，筆者希望學(xué)生不僅僅滿足于完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，更應(yīng)站在宏觀的角度上對(duì)本章內(nèi)容有一個(gè)整體的把握，要用整體的觀點(diǎn)、聯(lián)系的思想、統(tǒng)領(lǐng)的方法研究新概念，從而形成研究某類問題的套路，這樣才能使得學(xué)生的思維得到自然生長(zhǎng).

三、類比——促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)遷移

所謂類比，就是由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們?cè)谄渌再|(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式.“分式”教學(xué)過程中，通過類比聯(lián)想，可以幫助學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題.生長(zhǎng)數(shù)學(xué)理念強(qiáng)調(diào)，一個(gè)知識(shí)能生長(zhǎng)出另一個(gè)知識(shí)，這兩個(gè)知識(shí)之間一定存在某種聯(lián)系.在教學(xué)“分式”時(shí)，可以幫助學(xué)生類比分?jǐn)?shù)而獲得分式的特性，對(duì)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行提升和重組，從而得到思維力的生長(zhǎng).

“分式”學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)從以往的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)中明確了分式的研究方向.如果要深入下去，還需要將學(xué)生引入分式和分?jǐn)?shù)、分式和整式的學(xué)習(xí)境界中.

問題7：類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，你能嘗試描述分式的基本性質(zhì)嗎？

從分?jǐn)?shù)到分式意味著數(shù)到式的變化，教師可引導(dǎo)學(xué)生注意區(qū)別和表達(dá)，最終得到分式的基本性質(zhì)：分式的分子、分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變.同時(shí)，教師可再次引導(dǎo)學(xué)生說出“和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)一樣，我們也可以利用分式的基本性質(zhì)對(duì)分式進(jìn)行約分和通分”.

問題8：學(xué)習(xí)性質(zhì)，是為了更好地進(jìn)行運(yùn)算，你想如何研究分式的運(yùn)算呢？

關(guān)于分式的加減，學(xué)生通過類比分?jǐn)?shù)，能夠想到將分式的加減分為同分母和異分母加減兩種情況.計(jì)算異分母加減時(shí)，可通過通分的方法轉(zhuǎn)化為同分母的加減運(yùn)算.至于分式的乘除，學(xué)生聯(lián)系分?jǐn)?shù)，也不難聯(lián)想到解決方法.需要注意的是，教師在學(xué)生探究的過程中，不僅要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想分?jǐn)?shù)和分式運(yùn)算的相同之處，同時(shí)要讓學(xué)生注意它們的不同之處.在進(jìn)行分式有關(guān)運(yùn)算時(shí)，會(huì)遇到整式之間的加減，此時(shí)就需要使用去括號(hào)、合并同類項(xiàng)等計(jì)算法則.有時(shí)，分式的分子和分母不一定是單項(xiàng)式，也可能是多項(xiàng)式，這時(shí)該怎么找出其中的因式，進(jìn)行通分或約分呢？如果學(xué)生難以解決這個(gè)問題，教師可引導(dǎo)學(xué)生將多項(xiàng)式變成乘積形式，這樣才方便看出其中的因式.此時(shí)，學(xué)生就容易想到應(yīng)該將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.這時(shí)，學(xué)生的思路就不會(huì)僅僅局限于小學(xué)的分?jǐn)?shù)，而是將思路上升到“式”這個(gè)層次.

問題9：某廠要生產(chǎn)玩具a只，原計(jì)劃每天生產(chǎn)b只，實(shí)際比原來每天多生產(chǎn)了c只，則實(shí)際提前_____天完成任務(wù).

通過實(shí)際問題，讓學(xué)生進(jìn)一步感受學(xué)習(xí)分式的必要性，以及學(xué)習(xí)分式的價(jià)值.

問題10：我們學(xué)習(xí)整式時(shí)，除了研究整式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算和應(yīng)用，還研究了關(guān)于整式的什么方面呢？

此問題旨在引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到整式方程，并類比熟悉的一元一次方程，繼續(xù)探究分式方程的相關(guān)內(nèi)容.

問題11：你想怎么研究分式方程呢？

從整式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算和應(yīng)用類比到分式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算和應(yīng)用，這既是一次知識(shí)的生長(zhǎng)，也是一次經(jīng)驗(yàn)的生長(zhǎng).再類比這樣的研究方法，引導(dǎo)學(xué)生從整式方程出發(fā)，尋找研究分式方程的生長(zhǎng)點(diǎn)，從整式方程的概念、解法和應(yīng)用再次遷移到分式方程的概念、解法和應(yīng)用，在生長(zhǎng)點(diǎn)中形成生長(zhǎng)節(jié)，讓知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)再次生長(zhǎng)，思維再次發(fā)展.

教學(xué)“分式”時(shí)，我以整體的眼光構(gòu)建了本章的知識(shí)框架，以類比的方法引導(dǎo)學(xué)生自然生成分式的概念，掌握了研究“式”類新知識(shí)的方法.學(xué)生不僅獲得了知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的生長(zhǎng)，更重要的是經(jīng)歷了在探究過程中自我完善和優(yōu)化的思維過程，這些思維過程有力地促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng).