利用分類討論法解答初中數(shù)學(xué)問題

☉山東萊蕪市雪野旅游區(qū)雪野鎮(zhèn)中心中學(xué) 魏衍彬

縱觀國內(nèi)近幾年的中考數(shù)學(xué)學(xué)科試卷，可以發(fā)現(xiàn)其中有很大一部分試題考查學(xué)生分析和解決問題的思維能力，其中有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)試題比較多.但是由于部分初中生缺乏分類討論思想或思維能力不強(qiáng)，使得解題過程中常常出現(xiàn)解題結(jié)果不完整，失分比較嚴(yán)重.因此，如何才能強(qiáng)化學(xué)生對分類討論思想的認(rèn)識和應(yīng)用是當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點.

一、分類討論法概述

1.分類討論法及其作用.

分類討論法的核心在于“分類”和“討論”，即先根據(jù)實際的數(shù)學(xué)知識將相關(guān)問題根據(jù)事物性質(zhì)進(jìn)行分類，但是需要注意的是，要明確分類的原因和標(biāo)準(zhǔn)，確保可以從事物本質(zhì)層面對相關(guān)問題進(jìn)行劃分，然后在不同分類條件下進(jìn)行針對性討論.從本質(zhì)上來講，分類討論法實際上就是一種基于“化整為零，化零為整”的數(shù)學(xué)方法.作為一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，分類討論方法是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的一個重要工具.在初中數(shù)學(xué)題求解中，強(qiáng)化初中生對于分類討論法的理解、認(rèn)識和應(yīng)用具有重要意義.

2.分類討論法的規(guī)則.

為了確保分類討論法應(yīng)用的準(zhǔn)確性，確保分類的合理性，必須明確其需要遵從的一些基本規(guī)則，具體主要包括如下幾個方面：

（1）同一性規(guī)則.在對數(shù)學(xué)題進(jìn)行分類的過程中，需要按照同一標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)制來進(jìn)行，不可在分類時采用不同的幾個分類依據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，否則容易造成錯誤分類，影響結(jié)果的準(zhǔn)確性.比如，部分初中生在對三角形進(jìn)行分類時，主要分成直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形、等腰三角形和不等邊三角形，這種對三角形的分類標(biāo)準(zhǔn)是錯誤的，主要是由于其中等腰三角形既可以劃歸到銳角三角形分類中，也可以劃歸到鈍角三角形分類中，或者銳角三角形也可以歸到等腰三角形或不等腰三角形分類中.可見，上述這種分類采用了兩種不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，混亂的劃分影響了分類的準(zhǔn)確性.

（2）互斥性規(guī)則.在對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類的過程中，各個分類的子項之間要保持互斥性或互不相容.換言之，在進(jìn)行分類后，各個類別中的事物僅歸屬于該類別，不可再歸屬于其他分類.例如，某班級總計有10名學(xué)生參加了田徑和籃球兩項比賽，其中7人參加了田徑比賽，6人參加了籃球比賽，此時如果將這10人分成田徑比賽和籃球比賽兩類，就會造成分類錯誤，這主要是由于其中必然有3人同時參加了兩種比賽.

（3）相稱性規(guī)則.在進(jìn)行分類的過程中，需要確保劃分后子項外延的總和保持與母項外延之間的對等性，即不可在分類的時候，造成部分缺項情況的出現(xiàn).例如，部分學(xué)生在對有理數(shù)進(jìn)行劃分時，常常將其分成正、負(fù)兩個方面，但是這種分類不滿足分類的相稱性規(guī)則，這主要是由于缺少了零這個“項”，使得分類后的子項總和小于原有母項的范疇.

（4）多層次性規(guī)則.在對初中數(shù)學(xué)題進(jìn)行分類時，有一次和多次分類的差別，其中一次分類主要是被討論的對象進(jìn)行一次分類；多次分類則主要是將分類之后的各個子項當(dāng)作次級母項后，繼續(xù)進(jìn)行分類，這種反復(fù)的層次分類可以逐步將復(fù)雜的問題簡單化，直至求解后為止.比如，“二分法”這種分類方法實際上就是一種常見的分類方法，其主要是按照對象有無某性質(zhì)來進(jìn)行分類，之后將討論的各個子項進(jìn)一步劃分，直至最后分類結(jié)果可以便捷求解為止.

3.分類討論法應(yīng)用的基本步驟.

在初中數(shù)學(xué)題目求解的過程中，為了確保分類討論法應(yīng)用的質(zhì)量，除了明確分類討論法的基本分類規(guī)則，還要注意明確其基本的應(yīng)用步驟，確?？梢园凑胀缓饬繕?biāo)準(zhǔn)推進(jìn)分析，做到不遺漏、不重復(fù)，增強(qiáng)問題討論的全面性和系統(tǒng)化.從整體上看，分類討論法應(yīng)用的基本步驟主要包括如下幾個環(huán)節(jié)：其一，先明確需要進(jìn)行分類討論的對象，確定所要分類討論對象的取值范圍；其二，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)和規(guī)則，對分類討論對象進(jìn)行合理分類；其三，根據(jù)不同的分類，進(jìn)行逐類討論，求解不同類別下的問題；其四，進(jìn)行歸納、總結(jié)，得出結(jié)論，確保討論的全面性和完善性.需要注意的是，需要充分重視各個分類討論的步驟，確保分類的全面性和科學(xué)性，以及討論的嚴(yán)謹(jǐn)性和合理性.

二、分類討論法在初中數(shù)學(xué)題求解中的應(yīng)用

1.在含絕對值的數(shù)學(xué)題求解中的應(yīng)用.

在初中數(shù)學(xué)題中，常見的一類題就是帶有絕對值符號的題，這時候通常無法直接采用一般的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解，而是需要利用絕對值的定義，將絕對值符號去掉，將其內(nèi)部項分成正數(shù)、負(fù)數(shù)和零三類分別進(jìn)行討論，針對不同的類別采用不同的數(shù)學(xué)計算方法，確保分類討論方法應(yīng)用的質(zhì)量.

例1化簡：|x-2|+|x+3|.

分析：該題是一道典型的考查分類討論思想的題.由于兩個代數(shù)式均帶有絕對值符號，所以需要考慮x在不同取值條件下，絕對值符號去掉時的對應(yīng)等式情況，這時必須采用分類討論法，根據(jù)不同的x的取值范圍分別進(jìn)行化簡.

解：先根據(jù)|x-2|和|x+3|二者來確定x的兩個關(guān)鍵邊界為-3和2，之后根據(jù)這兩個邊界值來分別進(jìn)行討論，具體如下.

假定x≤-3，那么|x-2|+|x+3|=-1-2x；

假定-3

假定x≥2，那么|x-2|+|x+3|=2x+1.

例2 如果|m-n|=n-m，且|m|=4，|n|=3，則（m+n）2=_______.

分析：該題已經(jīng)給出了取絕對值后參數(shù)n和m的大小，由|m-n|=n-m可得出n≥m.這時可以分別對m=±4和n=±3在不同搭配條件下的取值情況進(jìn)行討論.

解：當(dāng)n=3時，參數(shù)m的取值必然為-4，此時（m+n）2=1.

當(dāng)n=-3時，參數(shù)m的取值必然為-4，此時（m+n）2=49.

由此可知，該題的正確答案為1或49.

2.在考查數(shù)學(xué)公式、定理或性質(zhì)的等數(shù)學(xué)題求解中的應(yīng)用.

在初中數(shù)學(xué)題中，有一部分?jǐn)?shù)學(xué)題主要考查數(shù)學(xué)公式、定理或性質(zhì)，這時在不同條件下可能會得到不同結(jié)果，所以針對考查這些數(shù)學(xué)公式、定理或性質(zhì)的題，也需要適當(dāng)進(jìn)行分類討論.具體地，需要依據(jù)數(shù)學(xué)公式的條件進(jìn)行合理分類討論.需要注意的是，針對該種涉及數(shù)學(xué)公式或性質(zhì)的數(shù)學(xué)問題的分類討論，必須充分明確相關(guān)數(shù)學(xué)性質(zhì)或公式的實際應(yīng)用條件或限制條件，確?？梢栽诜诸愑懻摃r做到嚴(yán)密，避免因為忽視數(shù)學(xué)公式或性質(zhì)的應(yīng)用條件而造成分類討論時出現(xiàn)錯誤.

例3已知參數(shù)a、b和c滿足那么參數(shù)k的值為多少？

分析：該題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì).針對該題的求解，必須充分理解等比數(shù)列的性質(zhì)在使用時的一些限制，具體就是要確保a+b+c≠0，但是該題中卻沒有給出這個條件，所以實際的求解過程中需要對a+b+c≠0和a+b+c=0這兩種情況進(jìn)行分類討論，否則容易因為考慮不周全而影響最終求解結(jié)果的全面性.

解：根據(jù)題干信息可得：a=k（b+c），b=k（c+a），c=k（a+b），所以可以變形得到下式：（a+b+c）=k（a+b+c+a+b+c）.

分類二：假定a+b+c=0，那么可知b+c=-a，所以k=

例4已知函數(shù)y=ax2+x+1（a為常數(shù)）的圖像和x軸僅有一個交點，試求參數(shù)a的值.

分析：考慮到待求參數(shù)a位于關(guān)鍵的位置，其值的選取會決定函數(shù)y是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，所以在實際的求解過程中需要對參數(shù)a是否為0進(jìn)行討論.

解：假定參數(shù)a=0，那么該函數(shù)為y=x+1，這個函數(shù)與x軸的交點為（-1，0）.

假定a≠0，那么函數(shù)為二次函數(shù)，此時Δ=1-4a.由于函數(shù)圖像和x軸有且僅有一個交點，所以令Δ等于0，可得此時函數(shù)和x軸有一個交點（-2，0）.

3.在已知條件不明確的數(shù)學(xué)題求解中的應(yīng)用.

在初中數(shù)學(xué)題中，涉及許多給定的題干條件信息不明確，或者題目本身表述不太清楚，這時會因條件的不確定而產(chǎn)生不同的求解結(jié)果，所以為了確保求解的準(zhǔn)確性，要注意采用分類討論思想進(jìn)行求解.比如，在平面上任選三個點，最多能確定多少條直線？這時根據(jù)選點位置的不同，可以確定為1條或3條，這種就是因為圖形位置不確定所引發(fā)的需要進(jìn)行分類討論的數(shù)學(xué)問題.實際上，在初中數(shù)學(xué)眾多題中，有一大部分?jǐn)?shù)學(xué)問題是因為條件不確定需要進(jìn)行分類討論.

例5現(xiàn)在已知某直角三角形的兩條邊長分別為3和4，試求該三角形第三條邊的邊長.

分析：該題看似簡單，考慮到許多初中生非常熟悉的勾股定理，“勾三股四弦五”，這些學(xué)生可能會因為思維定式而將3和4分別確定為直角三角形的兩個直角邊，這樣勢必會造成求解結(jié)果不全面的問題.

分類一：如果給定的兩條邊長分別為直角邊，那么第三條邊長為5；

分類二：如果給定的兩條邊長一個為斜邊4，一個為直角邊3，那么第三條邊長為

例6已知相交的兩圓的半徑尺寸分別為4cm和5cm，公共弦長尺寸為6cm，試求這兩個相交圓的圓心距.

分析：該題同樣無法確定兩圓的具體位置.考慮到圓本身的對稱性，兩個圓的公共弦不僅可以在圓心同旁位置處，也可以處于兩圓心之間，所以實際求解過程中需要根據(jù)不同的位置進(jìn)行分類討論.

解：分類一：如果兩個圓的公共弦處于兩個圓的圓心之間，那么這兩個圓的圓心距為4+

分類二：如果兩個圓的公共弦處于兩個圓的圓心同旁位置處，那么這兩個圓的圓心距為

總之，分類討論法是初中數(shù)學(xué)題求解中非常重要的一種解題方法，其可以化解某些比較繁雜的數(shù)學(xué)問題，降低解題難度.但是為了確保分類討論法應(yīng)用的質(zhì)量，必須立足于數(shù)學(xué)分類討論法應(yīng)用的基本流程，結(jié)合數(shù)學(xué)性質(zhì)和公式應(yīng)用條件等合理制定應(yīng)用方案，確保解題的系統(tǒng)性和全面性.