以二次函數(shù)為例談高中數(shù)學(xué)的延展建構(gòu)

☉江蘇省蘇州市吳江平望中學(xué) 沈亞平

“最近發(fā)展區(qū)”理論要求我們立足于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)來設(shè)計(jì)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生按部就班地完成數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)通過學(xué)生初中已有的二次函數(shù)認(rèn)知基礎(chǔ)，能夠高效促進(jìn)很多高中數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)，這樣的教學(xué)能幫助學(xué)生完善認(rèn)知體系，實(shí)現(xiàn)能力提升.

一、結(jié)合二次函數(shù)的解析式，進(jìn)行函數(shù)概念教學(xué)

學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)，在高中階段他們還要結(jié)合集合與映射對函數(shù)進(jìn)行重新定義，即用映射的觀點(diǎn)來說明函數(shù).教學(xué)中我們可以將二次函數(shù)作為學(xué)生的認(rèn)知橋梁，重新認(rèn)識函數(shù)的概念.

我們用映射來理解二次函數(shù)，即一個(gè)集合A到另外一個(gè)集合B的映射f：A→B，使得B中的每一個(gè)元素y=ax2+bx+c（a≠0）都與A中的元素x存在對應(yīng)關(guān)系，記作：f（x）=ax2+bx+c（a≠0）.其中“ax2+bx+c”就是對應(yīng)法則，也表示定義域中的每一個(gè)元素在值域中的象，這樣的說明能夠?yàn)閷W(xué)生在認(rèn)識函數(shù)概念時(shí)提供一個(gè)相對較為明確的認(rèn)識，而且在學(xué)生對函數(shù)值的表示有所認(rèn)識之后，我們還可以引導(dǎo)學(xué)生研究以下問題：

例1已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

上述問題在處理時(shí)，可以將f（x+1）理解為自變量等于“x+1”的函數(shù)值.

變式：已知f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

在對應(yīng)法則f下，定義域中的元素“x+1”的象就是“x2-4x+1”，要反過來求元素“x”的象，其問題的本質(zhì)就是求解對應(yīng)法則，以下介紹兩種做法：

（1）將所提供的表達(dá)式寫成關(guān)于“x+1”的多項(xiàng)式；

（2）代換處理：設(shè)t=x+1，則x=t-1，因此有f（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6.

通過以上問題的分析，學(xué)生將對函數(shù)概念形成全新的認(rèn)識，這其中也滲透著化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)研究思想.

二、結(jié)合一元二次方程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模塊化思維

學(xué)生對于一元二次方程的學(xué)習(xí)較為離散，為了幫助學(xué)生更好地掌握對應(yīng)知識，并形成模塊化認(rèn)識，我們可以這樣來進(jìn)行教學(xué).

現(xiàn)有一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），通過配方可

探究一：如何通過系數(shù)來推斷方程根的個(gè)數(shù)？（研究根的判別式）

探究二：如何從方程的根來探求方程系數(shù)的特點(diǎn)？（回憶韋達(dá)定理）

探究三：怎樣結(jié)合一元二次方程與二次函數(shù)來研究一元二次不等式？

探究三的處理可以結(jié)合一個(gè)具體的二次函數(shù)來進(jìn)行，比如，有二次函數(shù)y=x2+2x-3，我們讓學(xué)生畫出對應(yīng)的圖像，并指導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖像上y=0時(shí)所對應(yīng)的x取值分別為1和-3；當(dāng)y＜0時(shí)，則-3＜x＜1.通過以上的分析和處理，學(xué)生將逐漸了解初高中數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián)，同時(shí)這也幫助學(xué)生找到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，他們由此認(rèn)識到不等式應(yīng)該是等式的一種延展，而且解不等式與解等式還存在一定的差別.比如，學(xué)生會輕松解得x2+2x-3=0的兩個(gè)根是1和-3，但是在處理不等式x2+2x-3＜0時(shí)，他們會錯誤地解出x＜-3或x＞1，這時(shí)我們就有必要讓學(xué)生知道在處理不等式問題時(shí)函數(shù)圖像的重要性，數(shù)形結(jié)合的思想在此得到滲透.

通過以上問題的處理，我們以一元二次方程為結(jié)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合對二次函數(shù)的認(rèn)識來搭建相應(yīng)的知識網(wǎng)絡(luò)，通過學(xué)生模塊化的思維將相關(guān)知識進(jìn)行了系統(tǒng)化的整理，這樣的處理有助于學(xué)生將已有認(rèn)知融會貫通.而且學(xué)生還將更加清晰地把握問題的結(jié)構(gòu)和本質(zhì)，并由此形成問題解決的辦法和策略，這樣的處理可以讓他們深度領(lǐng)會知識之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而讓他們體會到數(shù)學(xué)知識發(fā)展的脈絡(luò).

三、研究二次函數(shù)的單調(diào)性，發(fā)展學(xué)生的知識遷移能力

對于函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)生在初中階段實(shí)際上是有所認(rèn)識的，只不過沒有進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)訓(xùn)練而已.到了高中階段，學(xué)生要建構(gòu)單調(diào)性的概念，并從多個(gè)角度對單調(diào)性進(jìn)行認(rèn)識，這樣的處理有助于學(xué)生強(qiáng)化對已有認(rèn)識的理解，而且配合新學(xué)概念，他們的認(rèn)識還將更加深刻而嚴(yán)謹(jǐn)，當(dāng)然新舊知識的融合還將訓(xùn)練學(xué)生的知識遷移能力，學(xué)生也將由此感受到初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的緊密關(guān)系.

關(guān)于二次函數(shù)（fx）=ax2+bx+c（a≠0），學(xué)生在初中階段已經(jīng)認(rèn)識到，當(dāng)a＞0時(shí)，在其對稱軸x=-的右側(cè)，y將跟隨x的增加而增加，我們可以據(jù)此引導(dǎo)學(xué)生建立增函數(shù)的定義：如果對于某定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上任意兩個(gè)自變量x1和x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有（fx1）＜（fx2），這表明函數(shù)在該區(qū)間D上為增函數(shù).

二次函數(shù)（fx）=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)a＞0時(shí)，其單調(diào)增區(qū)間為 [-，+∞ ）；當(dāng)a＜0時(shí)，其單調(diào)增區(qū)間為 （-∞ ，-].由此可見，二次函數(shù)的單調(diào)性與a的取值情形以及對稱軸有關(guān)，這里包含著分類討論的思想.教師可以通過下面的問題來訓(xùn)練學(xué)生的思維遷移能力.

例2求二次函數(shù)f（x）=x2-12x+3的對稱軸和單調(diào)區(qū)間.

變式一：已知二次函數(shù)f（x）=x2+4ax+2在區(qū)間（-∞，6）上為減函數(shù)，在（6，+∞）上為增函數(shù)，請確定a的取值.

變式二：已知二次函數(shù)f（x）=x2+4ax+2在區(qū)間［2，4］上為單調(diào)函數(shù)，請確定a的取值.

學(xué)生通過上述問題的處理，將結(jié)合初中已學(xué)知識來同化高中數(shù)學(xué)的新內(nèi)容，這也將在一定程度上激活學(xué)生的求知欲望，同時(shí)學(xué)生原有的固定且單一的數(shù)學(xué)思維也將由此而發(fā)生進(jìn)化，他們將逐漸適應(yīng)放散且動態(tài)的高中數(shù)學(xué)思維，而且他們也將更加深刻地體會到高中數(shù)學(xué)的獨(dú)有魅力.

四、分析二次函數(shù)的最值，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展多維思考能力

相比于初中階段，高中數(shù)學(xué)更加復(fù)雜且靈活，而且高中數(shù)學(xué)問題的處理尤其需要學(xué)生展開多維思考，從而對問題形成更加全面且深入的認(rèn)識.

初中生已經(jīng)對二次函數(shù)的最值有所認(rèn)識，對一個(gè)二次函數(shù)（fx）=ax2+bx+c（a≠0）來講，學(xué)生知道當(dāng)函數(shù)有最值

探究一：圍繞初中函數(shù)最值的認(rèn)識來研究高中某變化函數(shù)的最值.

例3 已知二次函數(shù)y=x2-2x-2，x∈R，求該函數(shù)的最值.

變式一：已知二次函數(shù)y=x2-2x-2，請分別確定當(dāng)x∈［-2，0］，x∈［0，2］時(shí)函數(shù)的最小值和最大值.

變式二：已知二次函數(shù)y=x2-ax-2，求函數(shù)在x∈［0，2］上的最小值和最大值.

探究二：從二次函數(shù)最值出發(fā)研究恒成立問題.

設(shè)（fx）=ax2+bx+c（a≠0），（fx）＞0在全集R上恒成立

例4已知f（x）=x2+2（a-2）x+4.

（1）若對于一切x∈R，f（x）＞0恒成立，請確定a的取值范圍.（最值）

（2）若對于一切x∈［-3，1］，f（x）＞0恒成立，請確定a的取值范圍.（最值）

（3）若對于一切x∈［1，2］，f（x）＞0恒成立，請確定a的取值范圍.（參數(shù)分離）

（4）若對任意a∈［-1，1］，f（x）＞0恒成立，請確定實(shí)數(shù)x的取值范圍.（換元）

學(xué)生通過上述問題的處理和比較，將總結(jié)出基本的解題策略，他們會逐步地由初中單一的知識體系過渡到高中多維的知識體系，并在對比中發(fā)現(xiàn)更快的解題策略.以上問題大多與二次函數(shù)有關(guān)，但是由于題設(shè)的變化，問題的內(nèi)涵已經(jīng)有所調(diào)整，因此學(xué)生在問題的處理中需要靈活地進(jìn)行應(yīng)對.

綜上所述，教師要讓學(xué)生認(rèn)識到高中階段的學(xué)習(xí)其實(shí)是初中數(shù)學(xué)的有效延伸和拓展，從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)出發(fā)來創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，這樣的處理將充分利用學(xué)生的基礎(chǔ)，將學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展和智慧提升導(dǎo)向更高的層次.

1.朱松林.變式延伸從最近發(fā)展區(qū)開始［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013（1）.

2.李紅婷.數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)設(shè)計(jì)及其實(shí)施策略［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（6）.F