對(duì)一道中考?jí)狠S選擇題解法及變式的探析

四川省巴中市巴州區(qū)大和初中

李發(fā)勇 (郵編：636031)

近年來(lái)，各地中考數(shù)學(xué)中不斷涌現(xiàn)了一批立意好，創(chuàng)新佳的客觀性試題，具有壓軸題的功能，讓人耳目一新.通常解答很具有挑戰(zhàn)性，對(duì)考生靈活思維提出了較高要求.下面對(duì)一道中考?jí)狠S選擇題開(kāi)展解法和變式探究.

題目(2012年重慶中考)甲、乙兩人玩紙牌游戲，從足夠數(shù)量的紙牌中取牌．規(guī)定每人最多兩種取法，甲每次取4張或(4-k)張，乙每次取6張或(6-k)張(k是常數(shù)，0

此題屬于應(yīng)用類問(wèn)題，設(shè)計(jì)了數(shù)的整除、一次函數(shù)的增減性及最值的求法，綜合性較強(qiáng)，此題對(duì)考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力有很好的體現(xiàn)，題目具有創(chuàng)新性，是一道立意優(yōu)秀的好試題.但對(duì)很多考生來(lái)講，抽象難懂，加之問(wèn)題中一個(gè)“或”字了得，更是愁煞了許多學(xué)生.

1 問(wèn)題提出

參考答案：設(shè)甲a次取(4-k)張，乙b次取(6-k)張，則甲(15-a)次取4張，乙(17-b)次取6張，則甲取牌(60-ak)張，乙取牌(102-kb)張.

則總共取牌：N=a(4-k)+4(15-a)+b(6-k)+6(17-b)=-k(a+b)+162，

從而要使牌最少，則可使N最小，因?yàn)閗為正數(shù)，函數(shù)為減函數(shù)，則可使(a+b)盡可能的大，由題意得，a≤15，b≤16，

又最終兩人所取牌的總張數(shù)恰好相等，

故k(b-a)=42，而0

則由整除的知識(shí)，可得k可為1，2，3，

①當(dāng)k=1時(shí)，b-a=42，因?yàn)閍≤15，b≤16，所以這種情況舍去；

②當(dāng)k=2時(shí)，b-a=21，因?yàn)閍≤15，b≤16，所以這種情況舍去；

③當(dāng)k=3時(shí)，b-a=14，此時(shí)可以符合題意.

綜上可得：要保證a≤15，b≤16，b-a=14，(a+b)值最大，

則可使b=16，a=2；b=15，a=1；b=14，a=0；

當(dāng)b=16，a=2時(shí)，a+b最大，a+b=18，

繼而可確定k=3，a+b=18，

所以N=-3×18+162=108張．

利用分類討論和方程思想，雖答案正確，但過(guò)程繁復(fù)，估計(jì)選擇這樣解法的學(xué)生鳳毛麟角，同時(shí)，教師這樣講解也不利于學(xué)生理解和學(xué)習(xí).有沒(méi)有簡(jiǎn)便一些的解法呢？

2 問(wèn)題解決

2.1 利用關(guān)鍵條件“乙至少取了一次6張牌”

解法1構(gòu)造不等式

設(shè)甲取了x次4張牌，取了(15-x)次(4-k)張牌，乙取y次6張牌，取了(17-y)次(6-k)張牌.依題意得：4x+(4-k)(15-x)=6y+(6-k)(17-y)，化簡(jiǎn)得k(x-y)=42-2k，因0

故當(dāng)k=1時(shí)，x-y=40>15，不合題意；

當(dāng)k=2時(shí)，x-y=19>15，不合題意；

當(dāng)k=3時(shí)，x-y=12<15，又y≥1，即y=x-12≥1，故x≥13.

共取牌總張數(shù)M=3(x+y)+66，當(dāng)x=13，y=1，M最小為108.

故紙牌最少有108張.

解法2利用一次函數(shù)性質(zhì)：設(shè)甲4張取a次、(4-k)張取(15-a)次，乙6張取b次、(6-k)張取(17-b)次，滿足0

由0

(1)當(dāng)k=1時(shí)，甲取牌4a+3(15-a)=a+45張，乙取牌6b+5(17-b)=b+85張，

則a+45=b+85，所以a-b=40，不可能，舍去.

(2)當(dāng)k=2時(shí)，甲取牌4a+2(15-a)=2a+30張，乙取牌6b+4(17-b)=2b+68張，

則2a+30=2b+68，所以a-b=19，不可能，舍去.

(3)當(dāng)k=3時(shí)，甲取牌4a+1(15-a)=3a+15張，乙取牌6b+3(17-b)=3b+51張，

則3a+15=3b+51，所以a=b+12.

則取牌總張數(shù)為W=3(a+b)+66，即W=6b+102.W是b的一次函數(shù)，當(dāng)b最小時(shí)，取牌張數(shù)最小.當(dāng)b=1時(shí)，a=13，W最小=108.

綜上，所求最小值為108張.

思考1還有沒(méi)有更簡(jiǎn)單一些的解法呢？

2.2 充分利用隱含條件

根據(jù)甲乙取牌數(shù)相等且總數(shù)最小，可得只需乙最小即可，進(jìn)而要求k最大，同時(shí)讓乙的最大牌數(shù)次數(shù)最少，這樣解答，簡(jiǎn)單、直白.

解法3數(shù)學(xué)直觀 因?yàn)橐夜踩×?7次，并且乙至少取了一次6張牌，所以要使乙的張數(shù)最少，他就只能取一次6張牌，并且6-k最小，只能k最大，由題意當(dāng)k=3時(shí)，6-k=3，即3張牌取16次，乙最少共取54張.甲對(duì)應(yīng)取4×13+1×2=54張，甲乙一樣多，所以兩人共108張.

解法4列舉法 因乙取6張至少一次，要使乙的張數(shù)最少，乙取6張牌的次數(shù)越少越小.當(dāng)6張取1次，則6-k張應(yīng)取16次.下面分類討論：由題意得，當(dāng)k=1，2時(shí)，乙取牌為6+(6-1)×16=86和6+(6-2)×16=70，而甲最多能取4×15=60張牌，甲乙不可能相等，舍去.當(dāng)k=3時(shí)，有6+(6-3)×16=54張，這時(shí)甲取4×13+2×(4-3)=54，甲乙一樣多，故最少為108張.

解法5構(gòu)造一次函數(shù)

(1)設(shè)甲取4張x次，則取(4-k)張(15-x)次.由于乙最多取6張1次，于是(6-k)張取16次.則甲所取的紙牌張數(shù)M=4x+(4-k)(15-x)，乙所取的紙牌張數(shù)N=6+16(6-k)=-16k+102.則N是關(guān)于k的一次減函數(shù).

(2)因?yàn)?

(3)又因?yàn)樽罱K兩人所取牌的總張數(shù)恰好相等，所以3x+15=54時(shí)，x=13，即甲取4張13次，取1張2次，那么可以使其張數(shù)為54.

(4)那么紙牌最少有54×2=108(張).

思考2k取最大值3和乙至少取了一次6張牌，誰(shuí)具有一般規(guī)律呢？下面通過(guò)變式探索，尋找數(shù)學(xué)本質(zhì).

3 變式

變式1只改變甲的條件為“甲每次取5張或(5-k)張”，其余不變.

甲、乙兩人玩紙牌游戲，從足夠數(shù)量的紙牌中取牌．規(guī)定每人最多兩種取法，甲每次取5張或(5-k)張，乙每次取6張或(6-k)張(k是常數(shù)，0

解設(shè)甲取5張a次、取(5-k)張(15-a)次，乙取6張b次、取(6-k)張(17-b)次， (0

當(dāng)k=4時(shí)，甲共取5a+1(15-a)=4a+15，乙共取6b+2(17-b)=4b+34，

由題意，得4a+15=4b+34，所以4(a-b)=19，無(wú)解，舍去.

同理，當(dāng)k=1、2、4時(shí)，都無(wú)解.

當(dāng)k=3時(shí)，甲共取5a+2(15-a)=3a+30，乙共取6b+3(17-b)=3b+51，由題意，得3a+30=3b+51，所以a=b+7.

設(shè)取牌總張數(shù)為P，則P=3(a+b)+81即P=6b+102.P是b的一次函數(shù)，當(dāng)b最小時(shí)，取牌張數(shù)最小.取b=1，a=8，得P最小=108.

綜上，所求最小值為108張.

變式2修改甲、乙取的次數(shù)，譬如“甲共取了13次，乙共取了16次”，其余條件不變，將結(jié)果改為存在性問(wèn)題.

甲、乙兩人玩紙牌游戲，從足夠數(shù)量的紙牌中取牌．規(guī)定每人最多兩種取法，甲每次取4張或(4-k)張，乙每次取6張或(6-k)張(k是常數(shù)，0

略解不存在.理由：設(shè)甲取4張a次、取(4-k)張(13-a)次，乙取6張b次、取(6-k)張(16-b)次，(0

(1)當(dāng)k=1時(shí)，甲共取4a+3(13-a)=a+39，乙共取6b+5(16-b)=b+80，由題意，得a+39=b+80，所以a=b+41，因0

(2)當(dāng)k=2時(shí)，甲共取4a+2(13-a)=2a+26，乙共取6b+4(16-b)=2b+64，由題意，得2a+26=2b+64，所以a=b+19，因0

(3)當(dāng)k=3時(shí)，甲共取4a+1(13-a)=3a+13，乙共取6b+3(16-b)=3b+48，由題意，得3a+13=3b+48，所以3(a-b)=35，無(wú)解，舍去.

綜上，所求最小值不存在.

變式3條件修改為“甲共取了17次，乙共取了15次”，其余不變.

甲、乙兩人玩紙牌游戲，從足夠數(shù)量的紙牌中取牌．規(guī)定每人最多兩種取法，甲每次取4張或(4-k)張，乙每次取6張或(6-k)張(k是常數(shù)，0

解設(shè)甲取4張a次、取(4-k)張(17-a)次，取乙6張b次、取(6-k)張(15-b)次， (0

(1)當(dāng)k=1時(shí)，甲共取4a+3(17-a)=a+51，乙共取6b+5(15-b)=b+75，

由題意，得a+51=b+75，所以a-b=24，不可能，舍去.

(2)當(dāng)k=2時(shí)，甲共取4a+2(17-a)=2a+34，乙共取6b+4(15-b)=2b+60，

由題意，得2a+34=2b+60，所以a=b+13.

設(shè)取牌總張數(shù)為P，則P=2(a+b)+94即P=4b+120.P是b的一次函數(shù)，當(dāng)b最小時(shí)，取牌張數(shù)最小.取b=1，a=14，得P最小=124.

(3)當(dāng)k=3時(shí)，甲共取4a+1(17-a)=3a+17，乙共取6b+3(15-b)=3b+45，

由題意，得3a+17=3b+45，所以3(a-b)=28，不可能，舍去.

綜上，所求最小值為124張.

變式4修改甲乙條件，改變乙的必取張數(shù)，問(wèn)題不變.

甲、乙兩人玩紙牌游戲，從足夠數(shù)量的紙牌中取牌．規(guī)定每人最多兩種取法，甲每次取6張或(6-k)張，乙每次取5張或(5-k)張(k是常數(shù)，0

解設(shè)甲取6張a次、取(6-k)張(13-a)次，取乙5張b次、取(5-k)張(19-b)次， (0

(1)當(dāng)k=1時(shí)，甲共取6a+5(13-a)=a+65，乙共取5b+4(19-b)=b+76，

由題意，得a+65=b+76，所以a-b=11.

設(shè)總張數(shù)為P，則P=a+b+141即P=2b+152.P是b的一次函數(shù)，當(dāng)b最小時(shí)，取牌張數(shù)最小.取b=1，a=12，得P最小=154.

(2)當(dāng)k=2時(shí)，甲共取6a+4(13-a)=2a+52，乙共取5b+3(19-b)=2b+57，

由題意，得2a+52=2b+57，所以2(a-b)=5.不可能，舍去.

(3)當(dāng)k=3時(shí)，甲共取6a+3(13-a)=3a+39，乙共取5b+2(19-b)=3b+38，

由題意，得3a+39=3b+38，所以3(b-a)=1，不可能，舍去.

(4)當(dāng)k=4時(shí)，甲共取6a+2(13-a)=4a+26，乙共取5b+(19-b)=4b+19，

由題意，得4a+26=4b+19，所以4(b-a)=7，不可能，舍去.

綜上，所求最小值為152張.

通過(guò)上述探究，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？發(fā)現(xiàn)：①k取最大值既不是特例，也不具有一般規(guī)律，而是原題條件下的巧合.②在甲乙取法中，乙的最大張數(shù)至少取1次，具有一般規(guī)律性.這些都是命題和講解時(shí)需要注意的問(wèn)題.因此，上述解法中，參考答案、解法1和解法2具有普遍性.

思考3如果假定甲的最大張數(shù)至少取1次，可以不？答案是肯定的.

4 一般化

甲、乙兩人玩紙牌游戲，從足夠數(shù)量的紙牌中取牌．規(guī)定每人最多兩種取法，甲每次取A張或(A-k)張，乙每次取B張或(B-k)張(k是常數(shù)，0

設(shè)甲取A張a次、取(A-k)張(M-a)次，乙取B張b次、取(B-k)張(N-b)次，

0

由于最終甲乙一樣多，則Aa+(A-k)(M-a)=Bb+(B-k)(N-b).

整理，得

k(a-b)=(B-k)N-(A-k)M(*)

由于0

若(*)式無(wú)解，則紙牌沒(méi)有最小張數(shù)；

若(*)式有解，總數(shù)P=AM+BN+k(a+b-M-N)，取其最小者為所求.

5 對(duì)命題的反思

客觀題的功能主要在于考查“四基”，若為增加區(qū)分度，在客觀題中命制一道壓軸題是可取的措施，但要控制難度，把控效度，這對(duì)命題老師提出了較高要求.倘若這類試題難度過(guò)大，超過(guò)應(yīng)有的限度，不僅會(huì)降低本題的信度，而且可能影響整套題的效度，就得不償失了，這是值得命題人重視和改進(jìn)的.讓數(shù)學(xué)中考客觀性壓軸題多一些啟迪，少一些糾結(jié)，這是大家所期盼的.