結(jié)合認知規(guī)律高效教學(xué)三角函數(shù)

摘 要：三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重點與難點內(nèi)容。在本文中，筆者根據(jù)多年的教學(xué)實踐經(jīng)驗，針對學(xué)生們在學(xué)習(xí)三角函數(shù)這部分內(nèi)容時經(jīng)常遇到的困難和容易出現(xiàn)的錯誤，淺談了幾點高效教學(xué)三角函數(shù)的策略，旨在對癥下藥，提高課堂教學(xué)的有效性。

關(guān)鍵詞：高中；數(shù)學(xué)；三角函數(shù)

新課標(biāo)強調(diào)，教師在教學(xué)時應(yīng)當(dāng)堅持以生為本，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位。因此筆者認為，教師開展課堂教學(xué)時，應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的實際情況與認知規(guī)律采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略。筆者通過教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生們在學(xué)習(xí)三角函數(shù)這一章節(jié)時，普遍存在概念掌握不到位、對于三角函數(shù)公式變形的規(guī)律掌握不夠、綜合應(yīng)用能力差等問題。針對這些問題，筆者在不斷的模式與實踐下，總結(jié)出了下述三點策略，與各位同行共享。

一、 理解與概括，適度抽象

正確理解相關(guān)概念是學(xué)生們應(yīng)用三角函數(shù)解決問題的基礎(chǔ)，很多學(xué)生因為對概念的理解比較模糊或者存在偏差，導(dǎo)致在推理能力方面比較差，解決問題時常常思維阻塞。由此可見，強化概念教學(xué)是三角函數(shù)教學(xué)的重中之重，教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生進行適度的抽象，提高學(xué)生們的理解能力與概括能力，深入數(shù)學(xué)本質(zhì)。

比如筆者在對《任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義》這一節(jié)內(nèi)容進行教學(xué)時，通過一系列的提問，引導(dǎo)學(xué)生們通過自主探究，抽象概括出了任意角的正、余弦函數(shù)的定義。首先筆者向?qū)W生們提問道：“根據(jù)初中所學(xué)銳角三角函數(shù)的定義，大家說一下下圖1中∠A的正弦值和余弦值。”學(xué)生們迅速回答道：“正弦值為BC/AB，余弦值為AC/AB?！本o接著筆者提問：“∠A的正弦值、余弦值會隨著三角形的大小而發(fā)生改變嗎？”學(xué)生們通過探究發(fā)現(xiàn)，根據(jù)相似三角形的知識可知，只要角度確定了，無論角的邊長如何改變，正、余弦值都不會發(fā)生改變。隨后筆者引入了這節(jié)課的重點內(nèi)容：“現(xiàn)在我們將角的范圍擴大到任意角，請同學(xué)們通過在直角坐標(biāo)系中探究，重新定義一下正弦函數(shù)與余弦函數(shù)?！比鐖D2所示，α是平面直角坐標(biāo)系中的任意角，點B是角α終邊上的一點，點B到坐標(biāo)原點的距離記為r。學(xué)生們通過計算得到結(jié)論：sinα=y/r，cosα=x/r。緊接著筆者通過改變了角α的大小，得到了如圖3所示的變式。經(jīng)過一段時間的思考與分析后，學(xué)生們得到了如下的結(jié)果：sinα=b/r，cosα=a/r。最后筆者引導(dǎo)學(xué)生們通過對上述問題進行概括，抽象出任意角正、余弦函數(shù)的定義：“既然我們已經(jīng)知道，只要角度確定，角的邊長變化不會改變角的正余弦值，那么我們可以假設(shè)P、Q都是角α的終邊與單位圓的交點，即r=1?，F(xiàn)在請大家試著總結(jié)一下任意角正、余弦函數(shù)的定義。”最后學(xué)生們成功抽象出了任意角正、余弦函數(shù)的定義，例如對于正弦函數(shù)來說，∠α與單位圓的交點P的縱坐標(biāo)與圓半徑的比值叫做正弦，即sinα=y。

在上述教學(xué)活動中，筆者通過引導(dǎo)學(xué)生們自主探究，使他們成功抽象出了三角函數(shù)的定義，深化了學(xué)生們對概念的理解與認知，取得了很好的教學(xué)效果。

二、 局部與整體，聯(lián)系對比

數(shù)學(xué)的很多知識之間是相互聯(lián)系的，教師在教學(xué)時，應(yīng)當(dāng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生們建立一個整體的意識，通過對相關(guān)知識進行多元的聯(lián)系與對比，促進他們學(xué)會把局部的知識放到一個更大的知識框架中進行理解與應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

比如在最后的總復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)，為了讓學(xué)生們對數(shù)學(xué)知識建構(gòu)一個完整的知識體系，能夠靈活應(yīng)用三角函數(shù)解決復(fù)雜問題，筆者設(shè)計了相關(guān)例題引導(dǎo)學(xué)生們進行解答，使他們體會到三角函數(shù)與非三角函數(shù)部分之間的聯(lián)系。例如：已知x、y都是正實數(shù)，1/x+9/y=1，求解x+y的最小值。剛開始學(xué)生們都摸不著頭腦，找不到解題的思路，于是筆者提示道：“可以嘗試利用cos2α+sin2α=1這一性質(zhì)。”在筆者的提示下，學(xué)生們假設(shè)cos2α=1/x，sin2α=9/y，那么x+y=1/cos2α+9/sin2α=10+tan2α+9/tan2α，最后利用基本不等式的相關(guān)知識可以得到10+tan2α+9/tan2α≥10+6=16（當(dāng)且僅當(dāng)tan2α=3時等號成立），即x+y的最小值為16。

在上述教學(xué)活動中，筆者通過有意識地引導(dǎo)，使學(xué)生們認識到了三角函數(shù)知識與其他知識點之間的聯(lián)系，提高了他們應(yīng)用三角函數(shù)解決問題的基本能力，顯著提高了課堂教學(xué)的效率。

三、 抽象與綜合，學(xué)會反省

三角函數(shù)這章的公式較多且靈活性很強，學(xué)生們?nèi)舨荒軐⑦@些瑣碎的知識點整合起來，很容易造成綜合應(yīng)用能力差的問題。筆者認為，教師采用傳統(tǒng)的灌輸式方法去幫助學(xué)生梳理整章的知識點遠不如引導(dǎo)學(xué)生自我整理效率要高，因此可以通過引導(dǎo)他們自我反省，促進他們提高自身的抽象與綜合能力。

比如筆者在對《正弦函數(shù)的性質(zhì)》這一節(jié)的內(nèi)容進行教學(xué)時，在基本完成教學(xué)目標(biāo)后，筆者對學(xué)生們講到：“現(xiàn)在大家對這節(jié)課的內(nèi)容做一個總結(jié)，你學(xué)到了什么知識，掌握了哪些數(shù)學(xué)思想？收獲了什么？”隨后筆者隨機選擇學(xué)生進行發(fā)言，例如有的學(xué)生談到：“我學(xué)會了用五點作圖法繪制正弦函數(shù)的圖像，掌握了正弦函數(shù)的值域是[-1，1]……”在該學(xué)生回答完畢后，筆者讓其他學(xué)生進行補充。例如有學(xué)生補充道：“我體會到了數(shù)形結(jié)合思想的巨大用處，比如在比較正弦值大小時，可以首先做出函數(shù)圖像，然后結(jié)合函數(shù)圖像實現(xiàn)快速地比較與判斷?！?/p>

在上述教學(xué)活動中，筆者通過引導(dǎo)學(xué)生進行自我反省與總結(jié)，促進他們對整堂課的內(nèi)容進行了綜合與梳理，不僅使他們進一步鞏固了所學(xué)知識，查漏補缺，同時也加強了學(xué)生們的反省抽象能力，顯著提高了課堂教學(xué)的效率。

綜上所述，教師通過引導(dǎo)學(xué)生“適度抽象”“聯(lián)系對比”以及“學(xué)會反省”，能夠有效增強學(xué)生們對三角函數(shù)的理解與掌握，提高他們的思維能力，深化其數(shù)學(xué)素養(yǎng)！

參考文獻：

[1]張安濤，湯強.新課程背景下高中三角函數(shù)教學(xué)中的問題及對策[J].教育教學(xué)論壇，2013（37）：117.

[2]吳義平.高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)要點分析[J].學(xué)周刊，2016（28）：8.

作者簡介：

張英，云南省曲靖市，富源縣勝境中學(xué)。endprint