基于隨機概率密度演化的結(jié)構(gòu)-TMD參數(shù)優(yōu)化

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(1.云南大學(xué) 建筑與規(guī)劃學(xué)院,昆明 650091; 2.廣西大學(xué) 廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點實驗室,南寧 530004)

調(diào)頻質(zhì)量阻尼器(TMD)可以通過調(diào)整彈簧系數(shù)與阻尼系數(shù)的大小使吸振阻尼器盡量接近激振頻率,從而起到減小建筑結(jié)構(gòu)在風(fēng)、地震等外部激勵下的振動響應(yīng)的作用,是一種有效、常用的被動控制裝置.為此,合理地選擇TMD參數(shù)顯得尤為重要.在實際工程中,地震等隨機激勵往往成為建筑結(jié)構(gòu)破壞的主因,因此帶來的結(jié)構(gòu)-TMD參數(shù)的不確定性優(yōu)化選擇成為研究的重點.

近幾十年,由于力學(xué)、數(shù)學(xué)以及計算機的進展,確定性激勵下的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計和隨機激勵下線性優(yōu)化得到了快速而廣泛的發(fā)展.但是,隨機激勵作用下的結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)約束條件求解困難,成為隨機優(yōu)化設(shè)計問題的瓶頸.

在結(jié)構(gòu)全壽命周期內(nèi),由于載荷的隨機性,結(jié)構(gòu)將不可避免地進入非線性階段. 然而,為了處理問題的方便,人們常常將隨機振動與隨機結(jié)構(gòu)人為割裂開來,不考慮兩者的耦合效應(yīng). 其中,具有代表性的有功率譜分析、矩演化方法與FPK方程(Fokker Planck Kolmogorov equation)等[1-2],而在隨機結(jié)構(gòu)分析中具有代表性的方法主要有隨機模擬方法、隨機攝動技術(shù)與正交多項式展開理論等.這些方法主要集中在平穩(wěn)激勵和低自由度情況,而對于多自由度非線性系統(tǒng),結(jié)構(gòu)非線性與隨機性的耦合效應(yīng)對隨機激勵下隨機結(jié)構(gòu)非線性分析帶來了巨大困難,而陳建兵等[3-4]提出的廣義概率密度理論,其演化方程的維數(shù)與原系統(tǒng)的維數(shù)無關(guān),因此,求解多自由度問題更為方便.而且既可以直接獲得隨機結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率密度函數(shù),又可以同時考慮結(jié)構(gòu)特性與激勵的隨機性.

本文通過基于概率密度演化理論的動力可靠度計算方法求解結(jié)構(gòu)的位移可靠度,將隨機激勵下結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計的位移約束拓展到可靠度層面,準確描述隨機激勵下結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的約束條件.從而建立了隨機激勵下多自由度剪切型框架結(jié)構(gòu)-TMD體系的優(yōu)化模型.并采用遺傳算法對TMD結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼與剛度進行優(yōu)化設(shè)計.實現(xiàn)了概率密度演化方法在隨機激勵下TMD建筑結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中的成功應(yīng)用.

1 結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)優(yōu)化模型

如圖1所示,在框架結(jié)構(gòu)頂層安裝TMD控制裝置的多自由度TMD建筑結(jié)構(gòu)形式[5-7],圖1中mi表示結(jié)構(gòu)體系第i層質(zhì)量,假設(shè)主結(jié)構(gòu)受地震激勵,則TMD裝置運動方程為

(1)

圖1 多層剪切模型Fig.1 Multilayer shear model

由于在工程實際中結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)尺寸遠遠小于地震波的波長,而且在每次地震中造成結(jié)構(gòu)破壞的最主要因素是剪切地震波的作用,所以,假設(shè)建筑結(jié)構(gòu)為剪切型模型,即各層之間的梁和板的剛度無窮大,不考慮結(jié)構(gòu)層間的梁板轉(zhuǎn)動變形,則主結(jié)構(gòu)的運動方程為

(2)

式中:[M0],[C0],[K0]分別表示主體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣;{X}為主結(jié)構(gòu)的位移列向量;In為單位列向量.

TMD控制裝置對主結(jié)構(gòu)的阻尼調(diào)制作用及剛度調(diào)制作用分別為

綜合式(1)和式(2),可列矩陣方程式(3).

(3)

M=diag (Mj(i)),j=1,2,3,…,n,Mj(i)為結(jié)構(gòu)各層質(zhì)量.

而結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的剛度矩陣

K=

(4)

式中,ki表示第i層剛度.

主結(jié)構(gòu)的阻尼形式采用瑞雷阻尼,針對設(shè)置TMD減震控制裝置的結(jié)構(gòu)體系,結(jié)構(gòu)-TMD體系的阻尼矩陣

(5)

式中,a0,a1為不依賴于頻率的常數(shù),通常采用實測的結(jié)構(gòu)阻尼比來確定,或通過給定的2個振型的阻尼比的值來確定.

采用哈密頓體系和 Wilson-θ法對TMD框架結(jié)構(gòu)進行了隨機激勵作用下的彈性動力時程分析,由層單元剛度矩陣,利用剛度集成法求得主結(jié)構(gòu)剛度矩陣,疊加TMD系統(tǒng)的剛度,最后求得整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣.質(zhì)量矩陣采用集中質(zhì)量法和瑞雷阻尼,采用Wilson-θ時程積分法對框架結(jié)構(gòu)動力方程進行求解.

2 概率密度演化理論

對于一個包含n個自由度的系統(tǒng),引入隨機向量后,將運動方程[8-9]可以改寫為

(6)

本文選取的物理量是結(jié)構(gòu)層間位移響應(yīng),根據(jù)概率守恒原理,(Z(t),Θ)所構(gòu)成的系統(tǒng)概率是恒定不變的,聯(lián)合概率密度函數(shù)pZΘ(z,θ,t)滿足廣義概率密度演化方程見式(7).廣義概率密度演化方程的推導(dǎo)過程詳見文獻[10].

(7)

式(7)聯(lián)合概率密度函數(shù)pZΘ(z,θ,t)的初始條件可以表示為

pZΘ(z,θ,t0)=pZΘ(z,θ,t)δ(Z-Z0)

(8)

式中:Z0為Z(t)的確定性初始值;δ(·)為Dirac函數(shù).

而對聯(lián)合概率密度函數(shù)進行θ積分,可得到只關(guān)于Z(t)的概率密度函數(shù)

(9)

式中,Ωθ為θ的分布區(qū)域.

通過對概率密度方程的求解,可以很簡便地求出在隨機作用下的線性與非線性動力反應(yīng)的概率密度,從而獲得二階及更高階的統(tǒng)計矩,完整地反映結(jié)構(gòu)體系狀態(tài)運動規(guī)律的隨機信息.

3 位移可靠度約束

通常情況下,在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中,以結(jié)構(gòu)的最大彈性層間位移限值作為控制指標建立位移極限約束方程.

μj≤μβ,j=1,2,3,…m

(10)

式中:μj為第j層層間位移響應(yīng)最大值;μβ為給定的結(jié)構(gòu)層間位移限值.

假設(shè)結(jié)構(gòu)體系的層間位移響應(yīng)需滿足約束條件μγ≤μj≤μβ,則在t時刻,結(jié)構(gòu)體系層間位移滿足約束條件的概率為

(11)

式中,pμj(μj,t)為結(jié)構(gòu)體系在隨機激勵下第j層層間位移概率密度函數(shù).

在基于首次超越破壞準則的條件下,結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)滿足約束條件的概率與結(jié)構(gòu)在t時刻的位移可靠度p(μγ≤μj≤μβ,t)相等,即

(12)

若要使結(jié)構(gòu)體系在0～t時間段內(nèi)各個時間點的位移可靠度值不小于pmin,只需要求解出結(jié)構(gòu)體系在激勵時間段內(nèi)所有時間點的位移可靠度,使之滿足

p(μγ≤μj≤μβ,0～t)≥pmin

(13)

當(dāng)采用方程(7)來求解pμj(μj,t)時,參照文獻[11],可以對結(jié)構(gòu)施加一個邊界吸收壁條件:

(14)

這表明一旦不滿足約束條件,則概率進入失效區(qū)域,且失效區(qū)域內(nèi)的概率將不再返回有效區(qū)域,即該部分的概率被完全吸收,隨之可靠度降低.

4 遺傳算法

基于隨機激勵作用下多自由度TMD框架結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)特點,以位移可靠度為約束條件,采用遺傳算法求解TMD的最優(yōu)質(zhì)量md,其模型定義為

minf(x),x=x1,x2,…,xn

目標函數(shù)f(x)為結(jié)構(gòu)體系的頂層層間位移響應(yīng).為了方便遺傳算法的應(yīng)用,將有約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題[12],當(dāng)?shù)趇個個體約束條件滿足時,Ci=0;否則,Ci=0.2,該無約束問題為

minφ(x)=f(x)(1+PC)

式中,參數(shù)P表示違約對于目標函數(shù)的影響,本文P取值為1,表示違約一次,目標函數(shù)增大,其代表的個體更容易被淘汰.

在迭代過程中,需要對每一代種群個體的適應(yīng)度進行評價,其適應(yīng)度

式中,μi為該種群中第i個個體的適應(yīng)度.

為了驗證本文所選研究方法的嚴謹性和有效性,以3層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)減震控制參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計為例,設(shè)基本參數(shù)為:第1至第3層質(zhì)量m=2 762,2 760,2 300 kg,剛度分別為2.485×104,1.921×104,1.522×104 N/m.位移可靠度約束為頂層位移在[-0.05 0.05]m范圍內(nèi)的概率不小于0.9.在基底輸入隨機載荷,隨機載荷采用20條0.2g(g為重力加速度)人工波模擬,采樣周期0.02 s.在結(jié)構(gòu)的層間位移響應(yīng)最小的情況下,得到結(jié)構(gòu)-TMD體系的最優(yōu)參數(shù).

初設(shè)設(shè)計變量的取值范圍為:md∈(0.03,10.52) t,cd=0.9×c11,kd=0,其中,c11表示結(jié)構(gòu)-TMD體系中阻尼矩陣C內(nèi)的第一個數(shù).

取篩選概率0.3,交叉概率0.2,變異概率0.2,隨機載荷采用20條人工波模擬,種群大小分別取20,30,40,迭代50次,計算結(jié)果如表1所示.從表1中可以看出,在最小可靠度pmin=0.9的約束條件下,當(dāng)TMD質(zhì)量取4.13 t時,優(yōu)化后的TMD結(jié)構(gòu)對位移響應(yīng)的控制效果最優(yōu),優(yōu)化后的最大位移可達到優(yōu)化前的56.27%.隨著種群數(shù)的增加,計算結(jié)果越來越好,且趨于穩(wěn)定.圖2和圖3給出了最優(yōu)個體頂層的層間位移概率密度演化曲面和典型時刻的概率密度函數(shù)曲線.由圖2和圖3可知,通過對概率密度演化方程進行求解,可以方便地提取任意時刻結(jié)構(gòu)層間位移響應(yīng)的概率密度信息,這樣能夠準確地描述結(jié)構(gòu)在任意時刻的隨機響應(yīng),進而計算出結(jié)構(gòu)在任意時刻的位移可靠度.結(jié)果表明,雖然隨機激勵屬于正態(tài)分布,但是,位移響應(yīng)在任意時刻的概率分布既不屬于通常假定的正態(tài)分布,也不屬于其他特殊分布,它具有明顯的多峰特性,且隨著時間改變而變化.圖4給出了優(yōu)化過程中所有個體的結(jié)構(gòu)頂層層間位移可靠度的平均值變化,由于是在一定的位移可靠度約束下,且目標函數(shù)是結(jié)構(gòu)頂層層間位移響應(yīng)最小,所以,位移可靠度隨時間的增加逐漸增加,最終達到位移可靠度約束0.9,表明優(yōu)化后位移可靠度增加,TMD具有減震效果.

表1 結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Structural optimization results

圖2 頂層的層間位移概率密度演化曲面Fig.2 Evolving surface of the displacement probabilitydensity function of the top floor

圖3 典型時刻的概率密度函數(shù)Fig.3 Probability density function at typical time

通過對比優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)頂層層間的位移響應(yīng),如圖5所示,可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)結(jié)構(gòu)本身位移響應(yīng)越大的時候,控制效果越明顯;當(dāng)結(jié)構(gòu)本身位移響應(yīng)很小的時候,TMD裝置對結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的控制效果不明顯.所以,總體上TMD對降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)具有很好的效果,優(yōu)化后的峰值響應(yīng)為優(yōu)化前的56.27%.

圖4 頂層的層間位移可靠度Fig.4 Vertical displacement reliability of the top floor

圖5 優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)頂層層間位移響應(yīng)Fig.5 Comparison between the displacement responsesat the top and bottom of the structure beforeand after optimization

5 結(jié) 論

針對多自由度TMD結(jié)構(gòu)體系在非平穩(wěn)隨機地震作用下的最優(yōu)TMD參數(shù)求解問題,將改進遺傳算法中的位移約束條件用隨機概率密度理論求解出的位移可靠度描述,解決了傳統(tǒng)的位移約束條件對于隨機激勵下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的不適應(yīng)性問題.通過算例可以看出:

a. TMD能夠很好地發(fā)揮作用,特別是能夠降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)的最大峰值,優(yōu)化后的峰值響應(yīng)為優(yōu)化前的56.27%,即大大降低了結(jié)構(gòu)的失效概率.

b. 通過對任意時刻結(jié)構(gòu)位移的概率密度信息進行提取,實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)全災(zāi)變的準確描述.結(jié)果表明,雖然隨機激勵屬于正態(tài)分布,但是,位移響應(yīng)具有多峰的性質(zhì),且隨著時間的變化而變化,因此,對全過程的概率描述是必要的.

c. 在位移可靠度約束下,對優(yōu)化過程中所有個體結(jié)構(gòu)頂層層間位移可靠度平均值監(jiān)測結(jié)果說明位移可靠度隨時間的增加逐漸增加,最終達到位移可靠度約束0.9的理想效果,進一步說明該方法得到的TMD參數(shù)具有良好的減震效果.

本文所提出的思路與方法為計算隨機激勵下的結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)可靠度提供了新的途徑,實現(xiàn)了概率密度演化方法在隨機激勵下TMD建筑結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中的成功應(yīng)用,為隨機載荷下多塔結(jié)構(gòu)控制優(yōu)化設(shè)計提供了很好的技術(shù)支持.

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