微分中值定理及其應(yīng)用

摘 要：本文簡單介紹了微分中值定理中幾個定理之間的關(guān)系，同時給出了微分中值定理在高等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；微分中值定理；應(yīng)用

微分中值定理包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理，這一組中值定理是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，在微分中值定理中拉格朗日中值定理建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)之間的定量關(guān)系，泰勒中值定理建立了函數(shù)值與高階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。

一、 微分中值定理間的關(guān)系

微分中值定理是一系列中值定理總稱，是研究函數(shù)的有力工具。在這一系列定理中拉格朗日定理處于核心地位，因?yàn)樵诶窭嗜斩ɡ碇?，如果f（a）=f（b），那么就可以得到羅爾中值定理，柯西中值定理是其推廣形式，另外如果把泰勒定理中的n看作0就可以得到拉格朗日定理，可以說其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情況或推廣。它們之間的關(guān)系如下表所示：

定理1：設(shè)f（x），g（x），φ（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）上可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得

f（a）g（b）φ（a）

f（b）g（b）φ（b）

f′（ξ）g′（ξ）φ′（ξ）=0

證明：作輔助函數(shù)F（x），

令F（x）=f（a）g（b）φ（a）

f（b）g（b）φ（b）

f（x）g（x）φ（x），顯然F（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）上可導(dǎo)，又因?yàn)镕（a）=F（b）=0，根據(jù)求導(dǎo)法則和羅爾定理知，ξ∈（a，b），使得

F′（ξ）=f（a）g（b）φ（a）

f（b）g（b）φ（b）

f′（ξ）g′（ξ）φ′（ξ）

特別的：

（1）若令φ（x）=1，g（x）=x，x∈（a，b），f（a）=f（b），可得到羅爾定理的結(jié)論：f′（ξ）=0

（2）若令φ（x）=1，g（x）=x，x∈（a，b），可得到拉格朗日中值定理f（b）-f（a）b-a=f′（ξ）

（3）若令φ（x）=1，g（x）≠0，x∈（a，b），則有f（a）g（b）1

f（b）g（b）1

f′（ξ）g′（ξ）0=0，從而可得到柯西定理f（b）-f（a）F（b）-F（a）=f′（ξ）F′（ξ）

二、 微分中值定理的應(yīng)用

微分中值定理在高等數(shù)學(xué)中的地位是不容置疑的，且在解題中的應(yīng)用也是十分廣泛的，微分中值定理反映了導(dǎo)數(shù)的局部性與函數(shù)的整體性之間的關(guān)系，應(yīng)用十分廣泛。

1. 利用中值定理證明不等式

利用中值定理證明不等式的關(guān)鍵是首先利用中值定理得到等式。然后根據(jù)中值ξ的取值范圍對所得等式進(jìn)行適當(dāng)放大或縮小即可得到要證明的不等式。

【例1】 設(shè)a>b>0，證明：a-ba

證明：令f（x）=lnx，利用拉格朗日中值定理，有ξ∈（b，a），使得f′（ξ）=f（a）-f（b）a-b ，即a-bξ=lna-lnb=lnab

又因?yàn)棣巍剩╞，a），那么有1a<1ξ<1ba-ba

從而有a-ba

2. 證明含f′（ξ）及f（ξ）的關(guān)系式

欲證明結(jié)論為“至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b）使某個等式成立”，其證明的一般方法是：第一步構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）；第二步驗(yàn)證F（x）滿足中值定理的條件。

【例2】 設(shè)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在（a，b）上可導(dǎo)，證明在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得bf（b）-af（a）b-a=ξf′（ξ）+f（ξ）

證明：方法一：證k=bf（b）-af（a）b-a，將其變形得到bf（b）-kb=af（a）-ka

令F（x）=xf（x）-kx，且有F（b）=F（a），那么F（x）

在[a，b]上滿足羅爾定理?xiàng)l件，于是ξ∈（b，a），使得f′（ξ）=0

即bf（b）-af（a）b-a=ξf′（ξ）+f（ξ）

方法二：令F（x）=xf（x），則F（x）在[a，b]上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，ξ∈（b，a）使得F（b）-F（a）b-a=F′（ξ）

即bf（b）-af（a）b-a=ξf′（ξ）+f（ξ）

3. 證明f（n）（ξ）=0或f（n）（ξ）=k

【例3】 設(shè)函數(shù)f（x）在[0，3]上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）+f（1）+f（2）=3，f（3）=1，證明必存在ξ∈（0，3），使f′（ξ）=0

證明：∵f（x）在[0，3]上連續(xù)，∴f（x）在[0，2]上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知，f（x）在[0，2]上必有最大值M和最小值m，那么m≤f（0）≤M，m≤f（1）≤M，m≤f（2）≤M，

則m≤f（0）+f（1）+f（2）3≤M，由介值定理知，至少存在一點(diǎn)c∈[0，2]，使f（c）=f（0）+f（1）+f（2）3=1

因?yàn)閒（c）=1=f（3），且f（x）在[c，3]上連續(xù)，在（c，3）內(nèi)可導(dǎo)，所以由羅爾定理知，必存在ξ∈（c，3）（0，3），使f′（ξ）=0

【例4】 設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f（-1）=0，f（1）=0，f′（0）=0，證明在開區(qū)間（-1，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f（ξ）=3

證明：f（x）在x=0點(diǎn)的泰勒展開式為

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+f（η）3！x3①

其中η在0與x之間，x∈[-1，1]，在①式中分別取x=1與x=-1得

1=f（1）=f（0）+f″（0）2+16f（η1），0<η1<1②

0=f（-1）=f（0）+f″（0）2-16f（η2），-1<η2<0③

②-③得f（η1）+f（η2）=6。由f（x）在[-1，1]上的連續(xù)性，知它在[η1，η2][-1，1]上存在最大值M和最小值m，故有m≤12[f（η1）+f（η2）]≤M

再由閉區(qū)間[η1，η2]上連續(xù)函數(shù)f（x）的介值定理，知ξ∈[η1，η2][-1，1]使得f（ξ）=12[f（η1）+f（η2）]=3

一般來說，證明f（n）（ξ）=0或f（n）（ξ）=k時，如果n=0，那么利用介值定理能夠得證，而當(dāng)n=1時，需要利用拉格朗日中值定理，當(dāng)n≥2時，往往需要應(yīng)用泰勒公式，需要強(qiáng)調(diào)的是，當(dāng)利用泰勒公式時，點(diǎn)x0的選取是關(guān)鍵。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉章輝.微分中值定理及其應(yīng)用[J].山西大同大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2007，23（5）：79-81.

[2]張?zhí)斓?高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)[M].沈陽：沈陽出版社，2015.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2002.

作者簡介：

魏建剛，平頂山工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院。