集合悖論再議

□楊紅梅

(山西廣播電視大學(xué),山西 太原 030027)

19世紀(jì)70年代,數(shù)學(xué)家康托爾(德國(guó),1845-1918)發(fā)表了一篇關(guān)于無(wú)窮集合理論的第一篇革命性的論文,標(biāo)志著《集合論》的創(chuàng)立。1900年,希爾伯特在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上說(shuō),“集合論是人類純粹智力活動(dòng)的最高成就之一”。然而,1903年，羅素(英國(guó)，1872-1970年)提出一個(gè)簡(jiǎn)明的集合悖論，打破了人們的希望，引發(fā)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)新的爭(zhēng)論和研究。1908年,策梅洛提出了7條公理組成的集合論體系,稱為Z公理系統(tǒng);1922年,弗蘭克爾又加進(jìn)一條公理,還把公理用符號(hào)邏輯表示出來(lái),形成了集合論的ZF公理系統(tǒng);再后來(lái)還有伯奈斯和哥德?tīng)柛倪M(jìn)的ZFC公理系統(tǒng)。這些系統(tǒng)由于嚴(yán)格規(guī)定了一個(gè)集合存在的條件,避免產(chǎn)生悖論的集合存在,初步完成了由樸素集合論(康托兒提出的集合論)到公理集合論的發(fā)展過(guò)程。

1965年,在康托爾創(chuàng)立的經(jīng)典集合論的基礎(chǔ)上,美國(guó)控制論專家扎德(L.A Zadeh)教授發(fā)表了《模糊集合》(《Fuzzy Sets》)論文,標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生。模糊數(shù)學(xué)打破了集合的三個(gè)特性之一的確定性,是描述和處理“亦此亦彼”的模糊不確定性的數(shù)學(xué)分支,也是集合理論的拓展。

1989年,我國(guó)學(xué)者趙克勤先生經(jīng)過(guò)近30年對(duì)集合論、系統(tǒng)科學(xué)等學(xué)科的潛心研究和思考,提出集對(duì)分析(Set Pair Analysis,簡(jiǎn)稱SPA)理論。SPA是系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)深度融合的新的交叉學(xué)科,是研究不確定性理論的一種新的系統(tǒng)分析方法;它不是僅僅靠計(jì)算得到的數(shù)去說(shuō)明問(wèn)題,而是還要靠對(duì)“數(shù)的構(gòu)成”去分析并尋找問(wèn)題的根源;它是研究、分析和處理由模糊、隨機(jī)、灰色等現(xiàn)象所導(dǎo)致的不確定性的數(shù)學(xué)分支;它也是集合理論的提升和發(fā)展。

危機(jī)意味著挑戰(zhàn)。無(wú)論是公理集合論,還是模糊數(shù)學(xué),亦或是SPA理論,數(shù)學(xué)家們就此展開(kāi)了激烈的爭(zhēng)論,都在為研究和完善集合論做著不懈探索。悖論的破譯過(guò)程產(chǎn)生許多新的重要成果,也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的大發(fā)展。

一、集合悖論引發(fā)的爭(zhēng)論

數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)都與“無(wú)窮”有關(guān)。每次數(shù)學(xué)危機(jī)之后,都是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)部分受到質(zhì)疑。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在公元前580～568年之間的古希臘,當(dāng)時(shí)人們對(duì)有理數(shù)的認(rèn)識(shí)還很有限,對(duì)于無(wú)理數(shù)的概念更是一無(wú)所知,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所說(shuō)的數(shù),是指整數(shù)或兩個(gè)整數(shù)之比,他們認(rèn)為,宇宙間的一切現(xiàn)象都?xì)w結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。直到發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù),建立實(shí)數(shù)理論才宣告危機(jī)解除,這期間經(jīng)歷了兩千多年的時(shí)間。

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在17世紀(jì)微積分誕生后,由于微積分的理論基礎(chǔ)不夠完善,數(shù)學(xué)界出現(xiàn)了混亂局面。微積分的形成給數(shù)學(xué)界帶來(lái)了革命性的變化,在各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用,但微積分在理論上存在矛盾的地方。無(wú)窮小量是微積分的基礎(chǔ)概念之一。微積分的主要?jiǎng)?chuàng)始人牛頓在一些典型的推導(dǎo)過(guò)程中,第一步用了無(wú)窮小量作分母進(jìn)行除法,當(dāng)然無(wú)窮小量不能為零;第二步牛頓又把無(wú)窮小量看作零,去掉那些包含它的項(xiàng),從而得到所要的公式,在力學(xué)和幾何學(xué)的應(yīng)用證明了這些公式是正確的,但它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程卻在邏輯上自相矛盾。正所謂是用錯(cuò)誤的方法得到正確的結(jié)果。此后,貝克萊提出質(zhì)疑(貝克萊悖論):無(wú)窮小量是零還是非零?如果是零,怎么能用它做除數(shù)?如果不是零,又怎么能把包含著無(wú)窮小量的那些項(xiàng)去掉呢?直到19世紀(jì),柯西詳細(xì)而有系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論。柯西認(rèn)為無(wú)窮小量應(yīng)該是要怎樣小就怎樣小的量,因此本質(zhì)上它是變量,而且是以零為極限的量,至此柯西澄清了無(wú)窮小的概念,第二次數(shù)學(xué)危機(jī)基本解決。這期間經(jīng)歷了200多年的時(shí)間。

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在19世紀(jì)末和20世紀(jì)初。19世紀(jì)70年代德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾提出集合理論。它的問(wèn)世引起了數(shù)學(xué)界的巨大震動(dòng),同時(shí)也遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開(kāi)創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了,并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù)。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn),從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石?！耙磺袛?shù)學(xué)成果可建立在集合論的基礎(chǔ)上”,這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹兆怼?/p>

然而,英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素打破了這種局面。他提出了著名的集合悖論(羅素悖論),也可通俗地表述為理發(fā)師悖論:村上有一個(gè)理發(fā)師貼出公告,宣稱他為所有不為自己理發(fā)的人理發(fā)。這公告看上去沒(méi)有邏輯問(wèn)題,但理發(fā)師的頭發(fā)該由誰(shuí)理?他給自己理與不理發(fā)都有矛盾。集合論是有漏洞的,這讓數(shù)學(xué)界很震驚,也讓很多數(shù)學(xué)家很沮喪,甚至這個(gè)問(wèn)題逼瘋了集合論的創(chuàng)立者康托兒。還有德國(guó)著名的邏輯學(xué)家弗雷格在他的關(guān)于集合的基礎(chǔ)理論完稿付印時(shí),收到羅素關(guān)于這一悖論的信。他發(fā)現(xiàn)自己忙了很久得出的一系列結(jié)果卻被這條悖論攪得一團(tuán)糟。于是,他只能在自己著作的末尾寫道:“一個(gè)科學(xué)家所碰到的最倒霉的事,莫過(guò)于是在他的工作即將完成時(shí)卻發(fā)現(xiàn)所干的工作的基礎(chǔ)崩潰了?！?/p>

危機(jī)出現(xiàn)后,包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家們做了巨大的努力來(lái)消除悖論。當(dāng)時(shí),消除悖論的方法有兩種,一種是拋棄集合論,再尋找新的理論基礎(chǔ),另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因,改造集合論,探討消除悖論的可能。

二、破解集合悖論所產(chǎn)生的新成果

數(shù)學(xué)家們選擇破解、改造集合悖論。在數(shù)學(xué)家們和學(xué)者們的努力之下,在康托兒的樸素集合理論的基礎(chǔ)上形成了很多數(shù)學(xué)分支。

(一)ZFC公理化集合論。羅素悖論提出后,數(shù)學(xué)家們紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過(guò)對(duì)康托爾的集合論進(jìn)行改造,通過(guò)對(duì)集合定義加以限制來(lái)排除悖論,這就需要建立新的原則。這些原則必須足夠狹窄,以保證排除一切矛盾;另一方面又必須充分廣闊,使康托爾集合論中一切有價(jià)值的內(nèi)容得以保存下來(lái)。解決這一悖論主要有兩種選擇,ZFC公理系統(tǒng)和NBG公理系統(tǒng)。

策梅洛在自己這一原則基礎(chǔ)上提出第一個(gè)公理化集合論體系,后來(lái)這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷。這一公理化系統(tǒng)在通過(guò)弗蘭克爾的改進(jìn)后被稱為ZF公理系統(tǒng),還有被伯奈斯和哥德?tīng)柛倪M(jìn)的ZFC公理系統(tǒng)。

除ZFC系統(tǒng)外,集合論的公理系統(tǒng)還有多種,如馮·諾伊曼等人提出的NBG系統(tǒng)等。

(二)模糊集合理論。集合論中集合元素有三個(gè)特征,即確定性、互異性和無(wú)序性。模糊集合理論是對(duì)集合概念中元素確定性的挑戰(zhàn)。

Zadeh教授提出的模糊集理論,試圖突破經(jīng)典集合論中元素的確定性特征,去創(chuàng)建一種新的數(shù)學(xué)理論去研究一大類模糊系統(tǒng),但人們很快發(fā)現(xiàn),Zadeh的模糊集理論在本質(zhì)上仍然以經(jīng)典集合論為基礎(chǔ),在用隸屬度刻畫系統(tǒng)的模糊性時(shí)丟掉了真正的模糊信息。

(三)集對(duì)分析理論。集對(duì)分析是在系統(tǒng)科學(xué)、集合理論等學(xué)科基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的新的數(shù)學(xué)分支。

系統(tǒng)是事物存在的一種方式,系統(tǒng)普遍存在。但由于人們對(duì)客觀事物認(rèn)識(shí)的階段性限制,直到20世紀(jì)20年代,才由奧地利生物學(xué)家貝塔朗菲建立了一般系統(tǒng)論的理論框架;幾乎同時(shí),英國(guó)軍事部門的科學(xué)家和工程師用系統(tǒng)的思想研究和解決雷達(dá)系統(tǒng)在應(yīng)用中遇到的問(wèn)題,使得對(duì)系統(tǒng)的研究延伸到工程技術(shù)層次;之后,美國(guó)研制原子彈的曼哈頓工程,阿波羅登月工程,都應(yīng)用系統(tǒng)原理,成為系統(tǒng)科學(xué)與工程取得巨大成功的范例。至今,系統(tǒng)科學(xué)與系統(tǒng)工程技術(shù)被廣泛應(yīng)用于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、政治、軍事、外交、文化教育、生態(tài)環(huán)境、醫(yī)療保健、行政管理等眾多部門,取得眾多令人滿意的成果。

20世紀(jì)80年代以來(lái),人們陸續(xù)發(fā)現(xiàn)一大類自然系統(tǒng)與社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)存在復(fù)雜性,特別是系統(tǒng)內(nèi)在運(yùn)行機(jī)制的復(fù)雜性,一個(gè)突出的例子是系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn),使得對(duì)系統(tǒng)的科學(xué)研究進(jìn)入到復(fù)雜性研究階段。上世紀(jì)末,普利高津在非平衡統(tǒng)計(jì)物理研究中提出了耗散結(jié)構(gòu)理論,把對(duì)復(fù)雜性與復(fù)雜系統(tǒng)的研究推到了一個(gè)新的水平,而不確定性是導(dǎo)致系統(tǒng)復(fù)雜性的一大因素。如今,不確定性、復(fù)雜性和復(fù)雜系統(tǒng)的概念涵蓋了物理、生物、社會(huì)經(jīng)濟(jì)與工程、人文與教育等眾多領(lǐng)域。系統(tǒng)科學(xué)著眼于對(duì)系統(tǒng)性質(zhì)和演化行為具有不確定性規(guī)律的研究,已成為21世紀(jì)系統(tǒng)科學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要方向。

在國(guó)內(nèi),系統(tǒng)科學(xué)的研究始于20世紀(jì)50年代推廣應(yīng)用的運(yùn)籌學(xué)。70年代末,著名科學(xué)家錢學(xué)森等專家學(xué)者提出利用系統(tǒng)思想把運(yùn)籌學(xué)和管理科學(xué)統(tǒng)一起來(lái),推動(dòng)了系統(tǒng)科學(xué)在社會(huì)經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)各個(gè)方面的廣泛應(yīng)用。中國(guó)科學(xué)院在上世紀(jì)把所屬的數(shù)學(xué)研究所與系統(tǒng)科學(xué)研究所合并組建為數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院,成為我國(guó)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究的中堅(jiān)力量。最近幾年,人工智能和量子通訊又大踏步進(jìn)入人們的視野,中國(guó)科學(xué)家在人工智能和量子科學(xué)方面的研究已走在世界前列,但這兩者也與系統(tǒng)不確定性的研究有關(guān)。

至于經(jīng)典的處理不確定性的概率統(tǒng)計(jì)理論,其公理化體系也完全建立在集合論的基礎(chǔ)上,但集合論存在“羅素悖論”“說(shuō)謊者悖論”等多種悖論,哥德?tīng)柌煌耆远ɡ碜C明了含有算術(shù)運(yùn)算的系統(tǒng)都是不完備系統(tǒng),說(shuō)明了對(duì)于系統(tǒng)的研究無(wú)法避開(kāi)不確定性的困擾。

趙克勤提出的經(jīng)過(guò)多年思考的集對(duì)分析理論,是把有一定聯(lián)系的兩個(gè)集合組成一個(gè)對(duì)子(集對(duì))加以研究,對(duì)組成集對(duì)的兩個(gè)集合在給定問(wèn)題背景下的全部關(guān)系分為確定性關(guān)系和不確定性關(guān)系兩類,對(duì)這兩類關(guān)系占所論兩個(gè)集合總關(guān)系的比例用一個(gè)滿足歸一化的二元聯(lián)系數(shù)表示,實(shí)現(xiàn)了對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)中確定性關(guān)系與不確定性關(guān)系對(duì)立統(tǒng)一的整體定量刻畫和系統(tǒng)描述,從而突破了經(jīng)典集合論的理論束縛。經(jīng)由二元聯(lián)系數(shù)擴(kuò)展而來(lái)的三元、四元、五元直至無(wú)窮多元聯(lián)系數(shù),把人們對(duì)不確定性與確定性關(guān)系的辯證認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)換成具體的數(shù)學(xué)工具,可以在不同的空間尺度上刻畫系統(tǒng)中確定性與不確定性的相互聯(lián)系,聯(lián)系數(shù)也因此成為集對(duì)的特征函數(shù)。如今,集對(duì)分析及其聯(lián)系數(shù)已在載人航天數(shù)據(jù)快速評(píng)估、氣象預(yù)報(bào)和水文水資源、計(jì)算機(jī)與人工智能、安全與非傳統(tǒng)安全、管理與決策、教育與衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用,在中國(guó)知網(wǎng)上用關(guān)鍵詞集對(duì)分析檢索有2000多篇中文文獻(xiàn),100多篇英文文獻(xiàn),其中有中國(guó)工程院院士、天津大學(xué)校長(zhǎng)鐘登華為第一作者的《基于改進(jìn)集對(duì)分析方法的高心墻堆石壩填筑工期仿真及風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)》(水力發(fā)電學(xué)報(bào)2015年第3期第137-144頁(yè))。從系統(tǒng)的角度看,集對(duì)分析能得到廣泛應(yīng)用的一個(gè)原因是集對(duì)分析對(duì)所研究的系統(tǒng)問(wèn)題中的不確定性,“客觀承認(rèn)、系統(tǒng)描述、定量刻畫、具體分析”,實(shí)質(zhì)是把一個(gè)系統(tǒng)的確定性關(guān)系與不確定性關(guān)系作為這個(gè)系統(tǒng)的子系統(tǒng)處理。從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)看,集對(duì)分析不僅對(duì)集合論的羅素悖論作了合理的解讀(同時(shí)用一個(gè)確定的集合和不確定的集合(組成集對(duì))去描述理發(fā)師要服務(wù)的全體對(duì)象),為羅素悖論建立了一個(gè)合理的數(shù)學(xué)模型;還借助聯(lián)系數(shù),把經(jīng)典概率論和模糊集理論統(tǒng)一起來(lái);又通過(guò)聯(lián)系數(shù)的伴隨函數(shù)偏聯(lián)系數(shù),刻畫系統(tǒng)在微觀層次上的矛盾運(yùn)動(dòng)。

集合是處理元素與集合的關(guān)系,集對(duì)是處理集合與集合的關(guān)系,因此,集對(duì)分析比集合理論更為復(fù)雜。集對(duì)分析理論對(duì)羅素悖論采取集對(duì)解讀方式,在破解悖論方面很實(shí)用。

三、集對(duì)分析與微積分交叉結(jié)合的前景

微積分的建立給17世紀(jì)的數(shù)學(xué)界帶來(lái)了巨大的繁榮，是數(shù)學(xué)史上初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的分水嶺和轉(zhuǎn)折點(diǎn)。也是高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科。集對(duì)分析是一門新興的交叉學(xué)科逐漸被人們所認(rèn)識(shí)。

集對(duì)分析中偏聯(lián)系數(shù)刻畫的系統(tǒng)微觀層次上的矛盾運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)(“見(jiàn)微知著”)與同一系統(tǒng)在宏觀層次上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律(“宏觀觀控”)的關(guān)系與協(xié)調(diào)機(jī)制研究處于國(guó)際國(guó)內(nèi)領(lǐng)先水平。

集對(duì)分析是從系統(tǒng)的角度考慮問(wèn)題,經(jīng)典微積分是從運(yùn)動(dòng)的角度考慮問(wèn)題。如何從微觀結(jié)構(gòu)的演化趨勢(shì)與系統(tǒng)宏觀狀態(tài)的相互作用機(jī)制進(jìn)行研究;如何定量刻畫系統(tǒng)微觀結(jié)構(gòu)演化階段性趨勢(shì)和結(jié)局的聯(lián)系數(shù)模型和聯(lián)系數(shù)算法;如何從系統(tǒng)微觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化與系統(tǒng)整體狀態(tài)優(yōu)化的關(guān)系,包括協(xié)同關(guān)系、變異關(guān)系和對(duì)立關(guān)系(簡(jiǎn)稱同異反關(guān)系)出發(fā);如何就基于集對(duì)分析聯(lián)系數(shù)的系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)建模及算法與經(jīng)典微積分中刻畫物體宏觀運(yùn)動(dòng)的微積分建立聯(lián)系,構(gòu)建系統(tǒng)的“狀態(tài)-趨勢(shì)模型”。再將其成果推廣應(yīng)用,這將會(huì)產(chǎn)生更多研究成果。

四、結(jié)論

實(shí)踐證明,集合悖論引發(fā)的第三次數(shù)學(xué)危機(jī),促進(jìn)了數(shù)學(xué)的大發(fā)展。

(一)ZFC公理化集合理論為排除出現(xiàn)悖論，對(duì)構(gòu)成集合的元素附加了嚴(yán)格的條件，把有可能產(chǎn)生悖論的元素先排除，不讓其進(jìn)入集合，就如羅素理發(fā)師悖論中，理發(fā)師自己是在“所有不為自己理發(fā)的人”之外的人。此理論也可認(rèn)為是消極地躲避矛盾。

(二)打破集合中元素的確定性特征催生了模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)立與發(fā)展。模糊數(shù)學(xué)的本質(zhì)思想是隸屬度思想，它是在集合論的基礎(chǔ)上將不確定性轉(zhuǎn)化為確定性問(wèn)題來(lái)處理。

(三)數(shù)學(xué)本性是要把得到的概念、方法和結(jié)論，推廣到所有、全體、無(wú)窮，從這個(gè)意義上說(shuō)，ZFC有違這一本性。模糊數(shù)學(xué)本質(zhì)上仍然是以經(jīng)典集合論為基礎(chǔ)，在用隸屬度刻畫系統(tǒng)的模糊性時(shí)丟掉了真正的模糊信息。集對(duì)分析認(rèn)為確定性與不確定性是個(gè)對(duì)立統(tǒng)一體，立足于“所有、全體、無(wú)窮”，就要對(duì)不確定性“客觀承認(rèn)、系統(tǒng)描述、定量刻畫、具體分析”，既符合數(shù)學(xué)本性，也符合事實(shí)，也不會(huì)出現(xiàn)所謂的悖論，因此為數(shù)學(xué)的發(fā)展展示出一個(gè)新天地。