基于逆Gaussian過程的MEMS加速度計壽命融合預(yù)測方法

周 源，呂衛(wèi)民，孫 媛

（1. 海軍航空大學(xué)，煙臺 264001；2. 海軍工程大學(xué)，武漢 430000）

MEMS（Micro-Electro-Mechanical Systems）加速度計是武器裝備慣導(dǎo)系統(tǒng)的核心部件，其可靠性與穩(wěn)定性直接決定了武器裝備的作戰(zhàn)使用效能，準確掌握MEMS加速度計的壽命信息對于有效開展預(yù)防性維修、視情維修等工作至關(guān)重要。MEMS加速度計是高精度的機電一體化產(chǎn)品，某些性能參數(shù)在工作或長期貯存過程中不可避免發(fā)生退化，退化量的累積最終會導(dǎo)致產(chǎn)品失效。已有研究結(jié)論表明，MEMS加速度計內(nèi)部的性能退化綜合表現(xiàn)為零位電壓的測量值增大[1]，因此，如果將零位電壓作為性能退化指標建立退化失效模型，能夠預(yù)測出 MEMS加速度計的壽命信息。MEMS加速度計的失效機理較為復(fù)雜，尚不能通過失效物理分析的手段建立其退化失效模型，這種情況下可考慮采用退化數(shù)據(jù)擬合的手段建立產(chǎn)品的退化失效模型[2-4]。隨機過程由于天然適合描述產(chǎn)品退化的不確定性，目前廣泛用于基于退化數(shù)據(jù)擬合的性能退化建模。將MEMS性能退化數(shù)據(jù)與Wiener、Gamma、逆Gaussian[5-8]這三種廣泛使用的隨機過程分別進行擬合表明，逆Gaussian隨機過程具有最優(yōu)的擬合效果，因此本文嘗試利用逆Gaussian隨機過程構(gòu)建MEMS加速度計的退化失效模型，從而預(yù)測其壽命信息。

產(chǎn)品壽命包括兩個層面：第一是產(chǎn)品的總體壽命特征，例如可靠壽命、平均壽命，可作為實施批次產(chǎn)品預(yù)防性維修的重要參考[4]；第二是產(chǎn)品中某個體的壽命指標，例如個體剩余壽命，這是開展視情維修工作的重要依據(jù)[9]。從發(fā)展歷史上看，總體壽命特征預(yù)測屬于傳統(tǒng)可靠性領(lǐng)域，采用概率論與數(shù)理統(tǒng)計方法進行預(yù)測，而個體剩余壽命預(yù)測屬于PHM（Prognostics and health management）領(lǐng)域，通常采用卡爾曼濾波、向量機等智能算法進行預(yù)測。文獻[10]通過某型加速度計的歷年故障數(shù)據(jù)評估貯存壽命的分布特征，利用了若干個壽命分布模型與故障數(shù)據(jù)進行擬合，最終得出此加速度計貯存壽命服從極值分布，貯存壽命為12.94年的結(jié)論。此方法需要累積一定數(shù)量的故障數(shù)據(jù)，并不適用于新型MEMS加速度計的壽命預(yù)測。文獻[11]在預(yù)測某型寶石軸承支撐擺式加速度計貯存壽命時，將加速度計時標因數(shù)作為性能退化參數(shù)，設(shè)計了溫度加速退化試驗高效預(yù)測出貯存壽命為64 200 h。此方法是對產(chǎn)品的總體壽命特征進行預(yù)測，沒能實現(xiàn)個體剩余壽命的預(yù)測。文獻[12-13]也探討了利用加速試驗快速預(yù)測某型加速度計貯存壽命的方法，其中依然探討的是總體壽命特征的離線預(yù)測方法。

以往的研究工作大都沒有考慮兩類壽命預(yù)測的融合，這不僅額外增加了壽命預(yù)測的工作量，而且制約了壽命預(yù)測水平的發(fā)展。為此，本文基于逆Gaussian隨機過程，提出了總體壽命特征預(yù)測與個體剩余壽命預(yù)測的一體化解決方案，并且為了應(yīng)對目前 MEMS加速度計的樣本量較小、測試數(shù)據(jù)有限的不足，采用融合預(yù)測方法提高預(yù)測結(jié)果的準確性。

1 總體壽命特征預(yù)測方法

以上模型中沒有考慮產(chǎn)品個體間的退化過程差異，現(xiàn)有研究表明，考慮產(chǎn)品個體之間的退化過程差異有助于提高壽命預(yù)測結(jié)果的準確性。為了描述產(chǎn)品個體之間的退化差異性，可分別設(shè)為服從某種概率分布的隨機參數(shù)[5,8,15-16]。為了便于統(tǒng)計分析，本文設(shè)服從如下共軛先驗分布：λ服從 Gamma分布，如；記，且服從如下條件正態(tài)分布，如，其中為超參數(shù)。

相對于式(3)中基于固定參數(shù)逆 Gaussian過程推導(dǎo)出的 CDF，MEMS加速度計基于隨機參數(shù)逆Gaussian過程的CDF為

2 個體剩余壽命預(yù)測方法

圖1 產(chǎn)品剩余壽命示意圖Fig.1 Residual life of the product

聯(lián)合后驗密度函數(shù) π (δ,λ|Y1:n)由Bayes公式推導(dǎo)出：

其中，

代入式(4)，則：

共軛先驗分布與其后驗分布具有相同的分布函數(shù)，區(qū)別只是參數(shù)值的變化，據(jù)此從式(10)中推導(dǎo)出超參數(shù)的后驗估計、、、分別為

當?shù)玫礁嗟默F(xiàn)場數(shù)據(jù)時，超參數(shù)的后驗估計值可不斷更新。將、、、、代入式(6)，得到后驗剩余壽命的分布函數(shù)，進一步可獲得后驗剩余壽命期望值。即為利用Bayes方法獲取的個體剩余壽命預(yù)測值。

3 參數(shù)估計方法

無論是進行總體壽命特征預(yù)測還是個體剩余壽命預(yù)測，前提是必須要獲得時間參數(shù)及超參數(shù)的估計值。

3.1 估計時間參數(shù)

3.2 估計超參數(shù)

可首先估計出每個產(chǎn)品的逆Gaussian退化模型的參數(shù)值，然后再進一步利用每個產(chǎn)品對應(yīng)的估計 ，然而，文獻[17-18]指出此兩步估計法的參數(shù)估計精度不如 EM(Expectation Maximization)算法，因此本節(jié)設(shè)計了EM算法一體化估計出。

M-step：將式(17)中的各隱含數(shù)據(jù)項利用對應(yīng)的期望值代替后，得到：

式(26)中，ψ-1(?)為逆digamma函數(shù)。

第L+1次迭代：

4 案例應(yīng)用

對某型 MEMS加速度計的零位電壓輸出值進行了定期測量，發(fā)現(xiàn)此款產(chǎn)品的零位電壓輸出值在長期貯存過程中有逐漸增大的趨勢，將t時刻零位電壓測量值相當于初始時刻測量值的百分比增量

表1 MEMS加速度計零位電壓的百分比增量Tab.1 The percentage increments of zero voltage of MEMS accelerometers

4.1 總體壽命特征預(yù)測

首先利用假設(shè)檢驗方法對每個樣品的性能退化是否為逆Gaussian過程進行驗證。假定每個樣品的性能退化為逆 Gaussian過程，并估計出每個樣品對應(yīng)的退化模型參數(shù)值，如表2所示。根據(jù)文獻[5,17]，如果 服從自由度為1的分布，則樣品性能退化服從逆Gaussian過程。設(shè)顯著性水平為0.05，采用Anderson-Darling方法判斷是否接受零假設(shè)，驗證出所有樣品的性能退化都服從逆Gaussian過程。

表2 逆Gaussian退化模型參數(shù)估計值Tab.2 Parameter estimates of inverse Gaussian model

利用式(16)對所有樣品的性能退化數(shù)據(jù)進行一體化參數(shù)估計，獲得極大似然估計值為。設(shè)超參數(shù)的初始值為，結(jié)束條件為10-5，利用 EM 算法經(jīng)過10751次迭代獲得超參數(shù)估計值為(138.230,0.008, 3.537, 0.056)，迭代收斂過程如圖2所示。

確定 MEMS加速度計基于隨機參數(shù)逆 Gaussian過程的CDF為

從而得到累積失效概率變化曲線如圖3所示，根據(jù)圖中曲線可知產(chǎn)品在最初40 000 h前的失效風(fēng)險幾乎為0，而50 000 h后失效風(fēng)險明顯增加。

圖2 超參數(shù)估計值的迭代收斂過程Fig.2 Iteration convergence process of hype-parameter estimates

圖3 MEMS加速度計累積失效概率曲線Fig.3 Accumulative failure curves of MEMS accelerometer

表3 總體壽命特征預(yù)測值及其置信區(qū)間Tab.3 The predictions and confidence intervals of the population life

4.2 個體剩余壽命預(yù)測

對樣品9的零位電壓進行了6次測量，各次測量時間及計算出的零位電壓百分比增量如表4所示。將表4中的數(shù)據(jù)作為現(xiàn)場信息，表1中的數(shù)據(jù)作為先驗信息，利用Bayes信息融合理論對樣品9的剩余壽命進行預(yù)測。

表4 樣品9的零位電壓百分比增量Tab.4 The percentage increments of zero voltage of sample 9

表5 超參數(shù)的后驗估計值Tab.5 The posteriori estimates of hyper-parameters

圖4 超參數(shù)后驗估計值的更新過程Fig.4 The updating process of hyper-parameters’posteriori estimates

如表6及圖5所示，得出如下主要結(jié)論：

表6 剩余壽命預(yù)測值Tab.6 The residual life predictions

1）在對個體性能退化測量較少的情況下，傳統(tǒng)方法無法預(yù)測出剩余壽命值，而本文所提方法克服了此缺陷；

2）傳統(tǒng)方法獲得的壽命預(yù)測值波動幅度較大，顯示出預(yù)測結(jié)果具有較大的不確定性，而本文所提方法由于融合了充分的先驗信息，有效降低了預(yù)測結(jié)果的不確定性；

3）由于本文方法采用了隨機參數(shù)的共軛先驗分布，每獲取新的性能退化數(shù)據(jù)后可立即更新超參數(shù)的后驗估計值，能夠?qū)崿F(xiàn)個體剩余壽命的實時預(yù)測。

圖5 個體剩余壽命估計情況Fig.5 Evaluation of the individual residual life

5 結(jié) 論

為了高效預(yù)測MEMS加速度計的總體壽命特征與個體剩余壽命，提出了基于逆Gaussian退化模型的一體化壽命預(yù)測方法。主要結(jié)論如下：

1）MEMS加速度計零位電壓具有較為明顯的趨勢，以此作為性能退化指標毋須產(chǎn)品失效即可預(yù)測出產(chǎn)品的失效信息，進而實現(xiàn)產(chǎn)品的壽命預(yù)測，具有較好的工程應(yīng)用價值。

2）逆 Gaussian隨機過程具有良好的統(tǒng)計特性，利用隨機參數(shù)的共軛先驗分布函數(shù)可描述個體退化間的差異性，EM 算法提供了一種估計共軛先驗分布函數(shù)超參數(shù)值的有效手段。

3）融合先驗信息和現(xiàn)場信息預(yù)測個體剩余壽命在現(xiàn)場退化數(shù)據(jù)有限的情況下是非常必要的，能夠克服僅利用現(xiàn)場退化數(shù)據(jù)預(yù)測的剩余壽命不確定性較大的缺陷。

4）本文基于逆Gaussian退化模型將總體壽命預(yù)測方法與個體剩余壽命預(yù)測方法結(jié)合到一起，為產(chǎn)品壽命的融合預(yù)測提供了有益參考和借鑒。

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